第二章平面向量章末回顧

11/11第二章平面向量章末回顧（蔣勇）一、思維導圖二、章末檢測題（一）、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列關于向量的敘述，正確的個數是()①向量的兩個要素是大小與方向；②長度相等的向量是相等向量；③方向相同的向量是共線向量．A．0 B．1C．2 D．3【知識點】向量的概念【數學思想】分析問題【解題過程】②長度相等的向量，還有方向相同才是相等向量。①③正確，長度相等的向量不一定是相等向量，相等向量要求長度相等，方向相同．【思路點撥】對向量的概念一定要熟悉?！敬鸢浮緾2．已知向量＝(1，eq\r(3))，＝(eq\r(3)＋1，eq\r(3)－1)，則與的夾角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(3π,4)【知識點】向量的數量積【數學思想】計算能力【解題過程】，夾角為eq\f(π,4)【思路點撥】向量的數量積的公式【答案】A3．設，是共線的單位向量，則|＋|的值是()A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于2【知識點】共線的單位向量【數學思想】數形結合【解題過程】，，是共線的單位向量，，可能是同向或是反向，故|＋|的值是等于0或等于2?！舅悸伏c撥】共線向量表示方向相同或相反?！敬鸢浮緿4．已知向量＝(2,1)，，||＝5eq\r(2)，則||＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．5 D．25【知識點】向量的運算【數學思想】計算能力【解題過程】∵＝(2,1)，∴||＝eq\r(5)，∵＝50，∴故，【思路點撥】向量的運算【答案】C5．下列說法正確的是()A．單位向量都相等B．若與是共線向量，與是共線向量，則與是共線向量C．|＋|＝|－|，則D．若與是單位向量，則【知識點】向量【數學思想】數形結合【解題過程】單位向量僅僅長度相等，方向可能不同；當時，與可以為任意向量；|＋|＝|－|，即對角線相等，此時為矩形，鄰邊垂直；D項還要考慮夾角．【思路點撥】向量的概念【答案】C6．已知平面向量＝(1，－3)，＝(4，－2)，與垂直，則＝()A．－1 B．1C．－2 D．2【知識點】向量垂直【數學思想】計算能力【解題過程】由題意，＝(1，－3)，∵與垂直，∴·＝＋4＋(－3)·(－3－2)＝10＋10＝0，∴＝－1.【思路點撥】向量垂直，數量積為零【答案】A7．設向量＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，用，作基底可將表示為，則實數的值為()A．＝4，＝1 B.＝1，＝4C．＝0，＝4 D.＝1，＝－4【知識點】向量的基本定理【數學思想】計算能力【解題過程】∵，∴解得【思路點撥】向量的坐標表示.【答案】B8．若向量＝(3，)，＝(2，－1)，·＝0，則實數的值為()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C．2 D．6【知識點】向量垂直【數學思想】計算能力【解題過程】依題意得6－＝0，＝6，選D.【思路點撥】數量積為零【答案】D9．若，是非零向量，且⊥，||≠||，則函數是()A．一次函數且是奇函數B．一次函數但不是奇函數C．二次函數且是偶函數D．二次函數但不是偶函數【知識點】向量運算【數學思想】函數思想【解題過程】由題設知，因為||≠||，所以，所以函數是一次函數且為奇函數．【思路點撥】數量積為零【答案】A10．設，已知兩個向量，則向量長度的最大值是()A.B.C. D.【知識點】向量的模.【數學思想】運算能力【解題過程】∵＝－＝，∴||＝【思路點撥】向量坐標運算、模。【答案】C11．設、、是單位向量，且·＝0，則(－)·(－)的最小值為()A．－2 B.eq\r(2)－2C．－1 D．1－eq\r(2)【知識點】最值【數學思想】運算能力【解題過程】法一設＝(1,0)，＝(0,1)，＝(，)，則－＝(1－，－)，－＝(－，1－)，(－)·(·)＝－(1－)－(1－)＝1－(＋)＝1－eq\r(2)，則其最小值是1－eq\r(2)，選D.法二(－)·(－)＝·－·－·＋2＝1－(＋)·＝1－|＋|·||·，∵|＋|＝eq\r(2)，||＝1，最大值為1.∴(－)·(－)的最小值為1－eq\r(2).【思路點撥】1、坐標運算。2、向量的數量積【答案】D12．如圖所示，半圓的直徑AB＝4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值是()A．2B．0C．－1D．－2【知識點】向量的數量積及在幾何中的應用.【數學思想】數形結合【解題過程】由平行四邊形法則得，故，，且、反向，設＝(0≤≤2)，則＝－2(2－)＝2(2－2)＝2(－1)2－1．∵0≤≤2，∴當＝1時，取最小值，為－2，【思路點撥】向量的數量積及在幾何中的應用?！敬鸢浮緿.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中橫線上)13．已知平面向量，，||＝1，||＝2，⊥(－2)，則|2＋|的值是________．【知識點】向量垂直，向量模長【數學思想】計算能力【解題過程】由于⊥(－2)，所以·(－2)＝||2－2·＝0，故2·＝1，所以|2＋|＝＝eq\r(4＋2＋4)＝eq\r(10).【思路點撥】·(－2)＝0【答案】eq\r(10)14．給出下列四個結論：①若≠0，且，則＝；②若|·|＝||·||，則∥；③在△ABC中，＝5，＝8，c＝7，則；④設A(4，)，B(6,8)，C(，)，若是平行四邊形(為原點)，則∠AOC＝，其中正確的序號是________(請將你認為正確的結論的序號都填上)．【知識點】向量概念【數學思想】分析問題【解題過程】，故①錯；由|·|＝||||可知，∴∥，故②正確；＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，∴，故③錯；由OABC是平行四邊形可得＝2，＝6，則cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，故④正確．【思路點撥】向量的數量積.【答案】②、④15．與＝(12,5)平行的單位向量是________．【知識點】向量單位化【數學思想】計算能力【解題過程】【思路點撥】向量單位化【答案】(eq\f(12,13)，eq\f(5,13))或(－eq\f(12,13)，－eq\f(5,13))16．關于平面向量，，，有下列三個命題：①若·＝·，則＝.②若＝(1，)，＝(－2,6)，∥，則＝－3.③非零向量和滿足||＝||＝|－|，則與＋的夾角為60°.其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號)．【知識點】向量的模、夾角、數量積.【數學思想】分析問題【解題過程】當＝0時，①不成立；對于②，若∥，則－2＝6，∴＝－3，②成立；對于③，由于||＝||＝|－|，則以||，||為鄰邊的平行四邊形為菱形，如圖，則∠BAD＝60°，＝＋，由菱形的性質可知，與＋的夾角為∠BAC＝30°.【思路點撥】向量的模、夾角、數量積.【答案】②三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知||＝2||＝2，且向量在向量的方向上的投影為－1，求：(1)與的夾角；(2)(－2)·.【知識點】向量的投影、夾角、數量積【數學思想】運算能力【解題過程】(1)由題意，||＝2，||＝1，||＝－1，∴·＝|||b|＝－||＝－1.∴.由于θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)為所求．(2)(－2)·＝·－22＝－1－2＝－3.【思路點撥】用向量的投影、夾角、數量積的公式計算?！敬鸢浮縠q\f(2π,3)、－318．(12分)已知向量，不共線，＝＋，＝－.(1)若∥，求的值，并判斷，是否同向；(2)若||＝||，與的夾角為60°，當為何值時，⊥？【知識點】向量的共線、向量的夾角、向量垂直的條件【數學思想】運算能力，分析問題【解題過程】(1)因為∥，所以＝λ，即＋＝λ(－)．又，不共線，∴，得。即＝－，故與反向．(2)·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝(－1)2＋(1－)||2·cos60°，又⊥，故(k－1)2＋2＝0，即(－1)＋＝0，解得k＝1.【思路點撥】用向量的共線、夾角、垂直的公式計算?！敬鸢浮浚?）與反向、（2）＝119．(12分)已知||＝3，||＝4，且滿足(2－)·(＋2)≥4，求與的夾角的范圍．【知識點】向量的數量積，最值?！緮祵W思想】運算能力【解題過程】∵(2－)·(＋2)＝22＋3·－22＝2×32＋3·－2×42＝3·－14，由(2－)·(＋2)≥4，∴3·－14≥4，∴·≥6.∴.∴與的夾角滿足0≤≤eq\f(π,3).【思路點撥】數量積計算。【答案】0≤≤eq\f(π,3)20．(12分)設＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在點，使⊥，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【知識點】共線向量【數學思想】數形結合【解題過程】設存在點，使⊥.則存在實數使，∴，＝(3－6，1－3)．設(2－6)(3－6)＋(5－3)(1－3)＝0.∴452－48＋11＝0，解得＝eq\f(1,3)或＝eq\f(11,15).∴＝(2,1)或＝(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))，即存在滿足題意的(2,1)或(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))．【思路點撥】設實數使表示點的坐標，結合數量積為零?！敬鸢浮?2,1)或(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))與的夾21．(12分)已知平面上三個向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角為120°.(1)求證：(－)⊥；(2)若|＋＋|>1(k∈R)，求的取值范圍．【知識點】向量的模、夾角、垂直?！緮祵W思想】數形結合、運算能力?！窘忸}過程】(1)證明：∵||＝||＝||＝1，且、、之間的夾角均為120°，∴(－)·＝·－·＝||||cos120°－||||cos120°＝0.∴(－)⊥.(2)解：∵|＋＋|>1，∴|＋＋|2>1.∴(＋＋)·(＋＋)>1.∴＋·＋·＋2·＋2·＋2·>1.∵·＝·＝·＝cos120°＝－eq\f(1,2)，∴－2>0，∴<0或>2.【思路點撥】向量的垂直、模、夾角的公式?！敬鸢浮浚?）略，（2）<0或>222．(12分)已知中，邊上的高為.(1)求證：⊥；(2)求點和向量的坐標；(3)設，求；(4)求證：.【知識點】向量的共線、坐標、夾角【數學思想】數形結合【解題過程】解析(1)＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴⊥.(2)設點坐標為，則．∵⊥，∴·.①又，而與共線，∵，②