《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/12.4平面向量數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（劉季梅）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時(shí)的數(shù)量積，使學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、類(lèi)比思想，體驗(yàn)法則學(xué)習(xí)研究的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)算一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，會(huì)運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律和幾何意義.2.以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)和形兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行探究.通過(guò)作圖分析，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.平面向量數(shù)量積的概念和幾何意義.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算律的理解.2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第103頁(yè)至105頁(yè)，填空：①已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.②|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.③；a與b同向；a與b反向.④平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：；=；.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）若，則a與b的夾角為（）A.0 B. C. D.【答案】B（2）已知，，a與b的夾角為，則a與b的數(shù)量積為（）A.3 B. C. D.【答案】C（3）已知a與b的數(shù)量積為，且，a與b的夾角為，則b的長(zhǎng)度為（）A.2 B. C. D.【答案】D（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，；當(dāng)當(dāng)a與b反向時(shí)，；；；；.（4）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：；=；.2.問(wèn)題探究探究一平面向量數(shù)量積的概念和幾何意義●活動(dòng)①引出并理解向量數(shù)量積的概念Fs如圖，如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，其中是F與s的夾角，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（搶答）Fs（1）力F所做的功W=.（2）公式中的F、s、W是矢量還是標(biāo)量？，F(xiàn)、s是矢量，W是標(biāo)量.這給我們一個(gè)啟示，我們可以把“功”看成是F與s這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果.為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.注：向量的數(shù)量積為數(shù)量而非向量，符號(hào)由的符號(hào)來(lái)定；ab中的“”不能用“×”代替.【設(shè)計(jì)意圖】以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體會(huì)概念的得出過(guò)程.●活動(dòng)②探究向量數(shù)量積的幾何意義對(duì)于，是a與b的夾角，其中（）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如圖，.AAOBba按照投影的定義，非零向量b在a方向上的投影為，其具體情況，請(qǐng)借助下面的圖形進(jìn)行分析并填空.（舉手回答）的范圍=<<=<<=OOABab圖形AABObaaABOABOabBAOabOAOABabb在a方向上的投影正數(shù)；正數(shù)；0；負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù).由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積.填空：（搶答）由，得當(dāng)為銳角時(shí)，_____0，且_____；當(dāng)為鈍角時(shí)，_____0，且_____；（用不等號(hào)填空）當(dāng)=時(shí)，_______；當(dāng)=時(shí)，_______；當(dāng)=時(shí)，_______.>；≠；<；≠.；；0.【設(shè)計(jì)意圖】從圖形的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)投影的概念和向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行探究.通過(guò)數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積的概念.探究二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)●活動(dòng)①歸納總結(jié)數(shù)量積的簡(jiǎn)單性質(zhì)已知a與b是兩個(gè)非零向量，是a與b的夾角，請(qǐng)按要求填空.（集體口答）________；a與b同向________；a與b反向________.0；；.特別地：，從而有.【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合向量數(shù)量積的概念和幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)當(dāng)兩個(gè)向量具有特殊位置關(guān)系時(shí)，向量數(shù)量積的特征，從而讓學(xué)生掌握本節(jié)課的重點(diǎn).●活動(dòng)②公式變形，提煉性質(zhì)由向量數(shù)量積公式易得：，當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線且同向時(shí)，等號(hào)成立.那么通過(guò)數(shù)量積公式變形，可以來(lái)求哪些量？（舉手回答）；.也就是可以求向量的模長(zhǎng)和向量夾角的余弦值.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)數(shù)量積公式觀察和變形提煉性質(zhì)，從而體會(huì)向量數(shù)量積的應(yīng)用.探究三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律●活動(dòng)①探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律你能證明下列平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？（舉手回答）（1）；（2）=；（3）.證明：（1）∵，又∵，∴.（2）∵，，BOACaBOACabc∴=.（3）如圖，任取一點(diǎn)，作，，.∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：.∴.∴.∴.注：指向量a與b的夾角.提示：，如當(dāng)時(shí)，就不成立不一定等于，因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線.【設(shè)計(jì)意圖】以向量數(shù)量積的概念和幾何意義為基礎(chǔ)探究向量數(shù)量積的運(yùn)算律.●活動(dòng)②簡(jiǎn)單應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律證明例1對(duì)任意，恒有，對(duì)任意向量，是否也有成立？ 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用. 【解題過(guò)程】. 【思路點(diǎn)撥】按照向量數(shù)量積的分配律打開(kāi)，再使用交換律化簡(jiǎn). 【答案】成立同類(lèi)訓(xùn)練對(duì)任意，恒有，對(duì)任意向量，是否也有成立？ 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用. 【解題過(guò)程】. 【思路點(diǎn)撥】按照向量數(shù)量積的分配律打開(kāi)，再使用交換律化簡(jiǎn). 【答案】成立.【設(shè)計(jì)意圖】簡(jiǎn)單應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律.●活動(dòng)③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例2（1）已知，a與b的夾角，求；（2）已知，且，求a與b的夾角. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的定義和性質(zhì). 【解題過(guò)程】（1）；（2）∵，又∵，∴. 【思路點(diǎn)撥】熟悉向量數(shù)量積公式以及公式變形. 【答案】（1）；（2）a與b的夾角為.同類(lèi)訓(xùn)練填空：（1）已知，且，則a與b的夾角為_(kāi)__________；（2）已知，a在b方向上的投影為，則___________. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量的性質(zhì). 【解題過(guò)程】（1）∵，又∵，∴；（2）. 【思路點(diǎn)撥】明確向量數(shù)量積的幾何意義和性質(zhì). 【答案】（1）；（2）.【設(shè)計(jì)意圖】掌握向量數(shù)量積的相關(guān)計(jì)算、投影的計(jì)算、向量數(shù)量積的性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算.●活動(dòng)④強(qiáng)化提升，靈活應(yīng)用 例3已知，a與b的夾角，求. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 【解題過(guò)程】. 【思路點(diǎn)撥】借助向量數(shù)量積運(yùn)算律. 【答案】.同類(lèi)訓(xùn)練設(shè)已知m與n是兩個(gè)單位向量，其夾角，求的模長(zhǎng). 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 【解題過(guò)程】. 【思路點(diǎn)撥】借助向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 【答案】7.【設(shè)計(jì)意圖】掌握并熟悉向量數(shù)量積的運(yùn)算律所涉及的相關(guān)應(yīng)用.例4已知，且a與b不共線.為何值時(shí)，向量與互相垂直. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律 【解題過(guò)程】∵向量與互相垂直，∴，即：，，∴，解得：. 【思路點(diǎn)撥】?jī)上蛄看怪逼鋽?shù)量積為. 【答案】時(shí)，向量與互相垂直.同類(lèi)訓(xùn)練已知，，且，則向量a與b的夾角為多少？ 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 【解題過(guò)程】∵，∴，又∵，∴，解得：.又∵，∴. 【思路點(diǎn)撥】?jī)上蛄看怪逼鋽?shù)量積為. 【答案】.【設(shè)計(jì)意圖】向量垂直的相關(guān)應(yīng)用.3.課堂總結(jié) 知識(shí)梳理（1）已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，；當(dāng)當(dāng)a與b反向時(shí)，；；；；.（4）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：；=；. 重難點(diǎn)歸納（1）掌握數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)及運(yùn)算律；（2）能應(yīng)用數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律解決問(wèn)題；（3）了解用平面向量數(shù)量積可以解決長(zhǎng)度、角度、垂直、共線等問(wèn)題.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破 1.已知a，b滿足，，且，則a與b的夾角為（） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì). 【解題過(guò)程】∵，又∵，∴. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積公式的變形求向量夾角. 【答案】C.2.若，則為（） A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.直角三角形 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律和性質(zhì). 【解題過(guò)程】∵，∴，故為直角三角形. 【思路點(diǎn)撥】數(shù)量積分配律的逆運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì). 【答案】D.3.已知，a在b方向上的投影為，則（） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的幾何意義. 【解題過(guò)程】∵a在b方向上的投影為，∴，∴. 【思路點(diǎn)撥】投影的定義和數(shù)量積的幾何意義. 【答案】B.4.若非零向量a與b的夾角為，，則向量的長(zhǎng)度為（） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律和數(shù)量積的概念. 【解題過(guò)程】由已知，，∴.解得：或（舍）. 【思路點(diǎn)撥】向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 【答案】A.5.已知向量a與b滿足，，且，則與夾角的余弦值為（） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì). 【解題過(guò)程】. 【思路點(diǎn)撥】向量數(shù)量積公式變形求向量的夾角. 【答案】C.6.若向量a與b滿足，，，則（） A.1 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 【解題過(guò)程】∵，∴又∵，∴. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長(zhǎng)度結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律. 【答案】D.能力型師生共研7.若向量a與b滿足，，，則（） A.1 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 數(shù)學(xué)思想：方程消元的思想 【解題過(guò)程】由已知：，∴，即，又，∴. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0和消元解方程組. 【答案】B.8.已知，，a與b的夾角是，，，問(wèn)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 數(shù)學(xué)思想：方程的思想 【解題過(guò)程】由已知：，即，即，解得：. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0和消元解方程組. 【答案】.探究型多維突破9.已知，，a與b的夾角是，計(jì)算向量在向量方向上的投影. 【知識(shí)點(diǎn)】投影的概念和表示，數(shù)量積的運(yùn)算律. 數(shù)學(xué)思想：方程的思想 【解題過(guò)程】∵，，∴所求投影為：. 【思路點(diǎn)撥】表示出投影進(jìn)而求值. 【答案】.10.平面內(nèi)有四點(diǎn)，記若且試判斷△ABC的形狀，并求其面積. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律，三角形的面積. 數(shù)學(xué)思想：方程的思想，數(shù)形結(jié)合 【解題過(guò)程】∵a+b+c=0，∴a(a+b+c)=0，∴｜a｜2+a·b+a·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴|a|2=2，同理|b|2=|c|2，又，∴，∴同理，，∴△ABC為等邊三角形. 【思路點(diǎn)撥】觀察聯(lián)想從而對(duì)式子進(jìn)行合理處理. 【答案】△ABC為等邊三角形，.自助餐1.設(shè)向量a與b滿足，則（） A.1 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律. 數(shù)學(xué)思想：方程組消元的思想. 【解題過(guò)程】由，得：，，解得：. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長(zhǎng)度結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律. 【答案】A.2.已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為（）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì).【解題過(guò)程】因?yàn)閍⊥(2a＋b)，所以a(2a＋b)＝0，得到ab＝－2|a|2，設(shè)a與b的夾角為θ，則＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2|a|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積公式的變形表示向量的夾角. 【答案】C.3.設(shè)a，b是向量.則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________條件. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，充分條件與必要條件.【解題過(guò)程】|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，從而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要條件. 【思路點(diǎn)撥】明確|a＋b|＝|a－b|的等價(jià)變形. 【答案】既不充分也不必要.4.已知，，且與的夾角，則________. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算律和數(shù)量積的概念. 【解題過(guò)程】由已知，，∴. 【思路點(diǎn)撥】向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 【答案】.5.已知中，，，，求. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的概念. 【解題過(guò)程】由已知，. 【思路點(diǎn)撥】找準(zhǔn)向量的夾角. 【答案】.6.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，（1）求a與b的夾角θ；（2）求|a＋b|；（3）若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律，解三角形.【解題過(guò)程】（1）∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又，∴.（2）|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋