《等差數(shù)列的前n項和》參考教案

1/6等差數(shù)列的前n項和一、教學目標1．知識與技能通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.2.過程與方法通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第項與倒數(shù)第項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究.3．情態(tài)與價值培養(yǎng)學生利用學過的知識解決與現(xiàn)實有關的問題的能力.二、教學重、難點重點：探索并掌握等差數(shù)列的前項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列的前項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.難點：等差數(shù)列前項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數(shù)列前項公式解決一些簡單的有關問題.三、學法與教學用具學法：講練結合.教學用具：投影儀.四、教學設想【創(chuàng)設情景】等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題.在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被譽為“數(shù)學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲.那時，高斯的數(shù)學老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？當時，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，，…前100項的和的問題.今天我們就來學習如何去求等差數(shù)列的前項的和.【探索研究】我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā).人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，…，，…的前項的和：由可知上面這種加法叫“倒序相加法”.請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第項與倒數(shù)第項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中.這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前項和的.一般地，稱為數(shù)列的前項的和，用表示，即.1.思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和.我們用兩種方法表示：……①……②由①+②，得由此得到等差數(shù)列的前項和的公式.對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前項和了.2.除此之外，等差數(shù)列還有沒有其他方法？當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑.例如：.這兩個公式是可以相互轉化的.把代入中，就可以得到.引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第項與倒數(shù)第項的和等于首項與末項的和這個內在性質.第二個公式反映了等差數(shù)列的前項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較.這兩個公式的共同點都是知道和，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式.1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列的前項和.⑴；⑵.【例題講評】例1.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”⑴先閱讀題目；⑵引導學生提取有用的信息，構件等差數(shù)列模型；⑶寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解.解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起各年投入的資金，其中，.那么，到2010年，投入的資金總額為（萬元）答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2．已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前項和的公式嗎？引導學生分析得到：等差數(shù)列前項和公式就是一個關于、、或者、、的方程.若要確定其前項求和公式，則要確定和的關系式，從而求得.分析：將已知條件代入等差數(shù)列前項和的公式后，可得到兩個關于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前項和的公式.解：由題意知，，將它們代入公式，得到解：這個關于與的方程組，得到，，所以另解得……①所以…②②-①，得，所以，代入①得，所以有.評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3.已知數(shù)列的前項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)與可知，當時，……①當時，也滿足①式.所以數(shù)列的通項公式為.由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列.這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前項和，可求出通項用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.思考：一般地，如果一個數(shù)列的前項和為其中、、為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項.所以得到：如果一個數(shù)列前項和公式是常數(shù)項為0，且關于的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4.已知等差數(shù)列的前項和為，求使得最大的序號的值.分析：等差數(shù)列的前項和公式