3.2.2 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(分層練習(xí))(解析版)

第三章圓錐曲線(xiàn)的方程3.2.2雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇雙曲線(xiàn)y2?x2mA．9 B．－9 C．19 D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程，求得a=1,b=m【詳解】由雙曲線(xiàn)y2?x2m因?yàn)殡p曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，可得a=3b，即1=3m，解得m=直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)x2?y24=1交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)Ax則有x1化簡(jiǎn)得y1+y2x已知F為雙曲線(xiàn)C：x2?y23=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)A．3 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先求焦點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可.【詳解】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程得c=所以F坐標(biāo)為2,0或?2,0，漸近線(xiàn)方程為y=±3x，所求距離d=已知頂點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為4，其兩條漸近線(xiàn)方程為2x±y=0，該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為（

）A．±23,0 C．±25,0 【答案】C【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2?y【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2因?yàn)殡p曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線(xiàn)方程為2x±y=0，所以2a=4ba=2，解得a=2，b=4所以該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為±25已知F1,F2分別為雙曲線(xiàn)E:x2a2?y2A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】C【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得b=3【詳解】依題，F(xiàn)1F2根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義||F又b2=c2?所以其漸近線(xiàn)方程為y=±3故選：C已知雙曲線(xiàn)C:x216?y29=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與C的右支交于點(diǎn)A，若A．95 B．125 C．3【答案】A【分析】由△OAF為等腰三角形，可得OF=OA，證得AF⊥AF'，有AF2+AF'【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F'，由題意可得a=4,b=3,c=a2則有F?5,0，F(xiàn)'若△OAF為等腰三角形，則OF=OA（線(xiàn)段OF與所以O(shè)A=12FF'，又則有AF2由雙曲線(xiàn)的定義得AF?所以AF?設(shè)點(diǎn)A到x軸的距離為h，則h=AF在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，直線(xiàn)A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的角度關(guān)系求解即可；【詳解】如圖所示，由題意可知，∠AOF=∠COF1又因?yàn)槿鬗是FN的中點(diǎn)，OM⊥FN,所以∠AOF=∠AOC,所以3∠AOF=π，∠AOF=根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：y=±OF=c，tan∠AOF=ba因?yàn)閍2+b2過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），AC⊥x交x軸于A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】D【分析】由題可設(shè)，A(x0,y0【詳解】因?yàn)锳,B直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)A(x因?yàn)锳C與x軸垂直，所以C(x0設(shè)kAB則k1而k所以，k1所以，a2=2b2,a=2已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F22,0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)右焦點(diǎn)為F22,0，得到F1F2=4，進(jìn)而得到PF【詳解】解：因?yàn)橛医裹c(diǎn)為F22,0，所以又因?yàn)镕1F2又因?yàn)镕1F2所以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且M為線(xiàn)段PF2的中點(diǎn)，所以O(shè)M已知雙曲線(xiàn)E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0【答案】1,【分析】確定雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由題意可得關(guān)于a,b的不等關(guān)系，即可求得離心率范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)E:y2a2?x2因?yàn)?，要使直線(xiàn)y=±2x與E無(wú)公共點(diǎn)，則ab所以，0<ba所以滿(mǎn)足條件的離心率的范圍是1,提升篇提升篇（多選）已知雙曲線(xiàn)C:x2?y216=1A．雙曲線(xiàn)C的離心率為17B．焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為4C．左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若|PD．若左、右頂點(diǎn)分別為A,B，當(dāng)P與A,B不重合時(shí)，直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率之積為16【答案】ABD【分析】根據(jù)方程求出a,b,c的值，求出離心率；得出漸近線(xiàn)以及焦點(diǎn)坐標(biāo).結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可得出B；根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合雙曲線(xiàn)的范圍，即可判斷C項(xiàng)；表示出直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率，結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程，即可得出D項(xiàng).【詳解】

由已知可得，a2=1，a=1，b2=16，b=4，所以選項(xiàng)A：e=c選項(xiàng)B：雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為4x?y=0，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為17,0∴焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為d=417選項(xiàng)C：∵根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得PF∴PF2=2∵PF2>c?a=選項(xiàng)D：設(shè)Px0,y0則kPA故選：ABD.已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1斜率為4A．13 B．233 【答案】D【分析】求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)PF【詳解】由于線(xiàn)段PF1與y軸的交點(diǎn)恰為PF1的中點(diǎn)，且O所以PF2⊥F1則Pc,b2a，而8ac=3c兩邊除以a2得3e2?8e?3=0，解得e=3或（多選）已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2a2+3=1(a>0)A．C的離心率為5B．若PF1C．若PF1=2PFD．點(diǎn)P到C的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為4【答案】ACD【分析】首先根據(jù)題意得到雙曲線(xiàn)C:x2?y24=1，對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)e=ca求解即可，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)題意得到x【詳解】因?yàn)镕1F2所以a2+a2+3=5對(duì)于A，a=1,c=5雙曲線(xiàn)C的離心率e=對(duì)于B，由題可得F1?5所以xP=?5，則5?yP對(duì)于C，因?yàn)镻F1=2PF

所以PF12+P對(duì)于D，設(shè)Px0,因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為x?y2=0所以點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為x0故選ACD．已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)相交于A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】由已知得OB⊥BF，BF=b，OB=a，利用【詳解】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為Fc,0，漸近線(xiàn)方程為bx±ay=0，OB?BF=0，則有OB⊥BF，F(xiàn)OF=c，BF=b，∴OB=a則tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=b由∠AOB=π?2∠FOB，有tan∠AOB+tan2∠FOB=0，即2ba解得ba2=2，則有c2a已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0），斜率為?3的直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)O且與雙曲線(xiàn)C交于A．3+12 B．3+1 C．2【答案】B【分析】先由雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，得四邊形PFQF【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)F，右焦點(diǎn)為F'，P為第二象限上的點(diǎn)，連接PF，PF'根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)性知，四邊形PFQF'因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，所以PF⊥QF，即四邊形PFQF由直線(xiàn)l的斜率為?3，得∠POF=又PO=FO=c，則△POF在Rt△PFQ中，PQ=2c，則FQ=3c，故又由雙曲線(xiàn)定義知PF'?|PF|=2a則e=ca=已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,FA．1,2 B．2,2 C．2,+【答案】C【分析】作出對(duì)應(yīng)的圖象，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F'，連接AF'，BF'，則四邊形AFBF'為矩形．因此|AB=|F【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F'，連接AF'因?yàn)锳F⊥FB，則四邊形AFBF'為矩形，所以則|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．∵|AF'|?|AF|=2a．∴2ccosα?2csinα=2a．即c(cosα?sinα)=a，則e=ca因?yàn)棣痢师?2,可得cosα+π4所以e=1即雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是2,+∞已知F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】設(shè)AF2=BF2=m【詳解】如圖，過(guò)F2作AB⊥F2N設(shè)AF2=BF∴AB=BF1?由題意知∠BF1F2=F1N=在Rt△ANF2中,AN2+N∴雙曲線(xiàn)C的離心率為2.故選：A.直線(xiàn)l過(guò)圓M:(x?4)2+y2=1的圓心，且與圓相交于A,B兩點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)A．?2 B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】求出圓的圓心的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的混合運(yùn)算法則推出PA?【詳解】圓M:(x?4)2+設(shè)P(x0,y0)，在雙曲線(xiàn)所以PA?=(x0對(duì)稱(chēng)軸為x=9因?yàn)閤0≥3，所以當(dāng)x0=3時(shí)，故選：D．（多選）已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為A．e=5 B．e=2 C．b=5a【答案】BCD【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、雙曲線(xiàn)定義、雙曲線(xiàn)性質(zhì)、余弦定理、離心率公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：當(dāng)∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=4a2，∴∴a2當(dāng)∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=6a2，∴∴a2+b故選：BCD.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，C的離心率為2，過(guò)F1且傾斜角為120°的直線(xiàn)l與【答案】6【分析】由題意可得a=b，C的漸近線(xiàn)方程為y=±x，△ABF2的內(nèi)切圓的半徑為r=6，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得AB=4a【詳