2025《初中數(shù)學》專題突破專題58 二次函數(shù)中的面積問題（含答案及解析）

例題精講例題精講求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下面求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．點P為拋物線第二象限上一動點，連接PB、PC、BC，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．【變1-2】．如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m），點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當P在何處時，△ACE面積最大．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A（﹣3，0）和點B（1，0），交y軸于點C．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D的坐標為（﹣1，0），點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．【變2-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接DC，DB，設(shè)△BCD的面積為S，求S的最大值．1．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點P是線段BC上方的拋物線上一動點，當△BCP的面積取得最大值時，點P的坐標是（）A．（2，3） B．（，） C．（1，3） D．（3，2）2．如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上直線BC上方的一動點，求△PBC面積的最大值，并求出點P坐標；（3）若點Q為拋物線對稱軸上一動點，求△QAC周長的最小值．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒有，請說明理由．4．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的二次函數(shù)解析式：（2）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；（3）如圖2，點H是直線BC下方拋物線上的動點，連接BH，CH．當△BCH的面積最大時，求點H的坐標．5．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP'C．是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標軸交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直線BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，設(shè)點P的橫坐標為t（0＜t＜3），求△ABP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）條件同（2），若△ODP與△COB相似，求點P的坐標．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+經(jīng)過點A，與拋物線的另一個交點為點C，點C的橫坐標為3，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P、Q的坐標；（3）在線段PQ的移動過程中，以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由．8．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．E是BC上一點，PE∥y軸．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求BCP面積的最大值；（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當m為何值時MN＝BM，9．已知直線y＝x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點A和點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝＝x﹣2交拋物線于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值．11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點C（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為直線AB下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△MAB的面積最大時，求MN+ON的最小值．12．直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是直線AB上方拋物線上一點；①當△PBA的面積最大時，求點P的坐標；②在①的條件下，點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為Q，在直線AB上是否存在點M，使得直線QM與直線BA的夾角是∠QAB的兩倍？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y軸于點A，交x軸于點B（﹣3，0）和點C（1，0）．（1）求此拋物線的表達式．（2）若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當△ABP的面積最大時，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積．（3）設(shè)拋物線頂點為D，在（2）的條件下直線AB上確定一點H，使△DHP為等腰三角形，請直接寫出此時點H的坐標．14．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最?。舸嬖冢埱蟪鯩點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．（3）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．16．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的對稱軸交x軸于點M，連接BC、CM．求△BCM的周長及tan∠BCM的值；（3）如圖2，過點A的直線m∥BC，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PD⊥m，垂足為點D，連接BD，CD，CP，PB．當四邊形BDCP的面積最大時，求點P的坐標及四邊形BDCP面積的最大值．17．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)）．①求點C和點D的坐標；②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點（點M，N與點C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．18.將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k．拋物線H與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．已知A（﹣3，0），點P是拋物線H上的一個動點．（1）求拋物線H的表達式．（2）如圖1，點P在線段AC上方的拋物線H上運動（不與A、C重合），過點P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值．（3）如圖2，點Q是拋物線H的對稱軸l上的一個動點，在拋物線H上，是否存在點P，使得以點A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．參考：若點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線段P1P2的中點P0的坐標為．

例題精講例題精講求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下面求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．點P為拋物線第二象限上一動點，連接PB、PC、BC，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標．解：令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3（k≠0），把點B坐標代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，解得k＝1，∴直線BC的解析式為y＝x+3，設(shè)P的橫坐標是x（﹣3＜x＜0），則P的坐標是（x，﹣x2﹣2x+3），過點P作y軸的平行線交BC于M，則M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴S△PBC＝PM?|xB﹣xC|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，∵﹣＜0，∴當x＝﹣時，S△PBC有最大值，最大值是，∴△PBC面積的最大值為；當x＝﹣時，﹣x2﹣2x+3＝，∴點P坐標為（﹣，）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．解：（1）∵y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（1，0），C（4，3），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+h，將A、C兩點坐標代入y＝kx+h得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x﹣1；（2）如圖，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y＝x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，解得：m＝﹣，即m＝﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時x＝，y＝﹣＝﹣，∴點E的坐標為（，﹣），設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0），∴AF＝﹣1＝，∵直線AC的解析式為y＝x﹣1，∴∠CAB＝45°，∴點F到AC的距離為AF?sin45°＝×＝，又∵AC＝＝3，∴△ACE的最大面積＝×3×＝，此時E點坐標為（，）．【變1-2】．如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標．解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，∴C（4，0）．把A、C兩點代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）過M點作MN⊥x軸，與AC交于點N，如圖，設(shè)M（a，﹣a2+a+2），則N（a，﹣a+2），∴S△ACM＝?MN?OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，S△ABC＝?BC?OA＝×（4+2）×2＝6，∴S四邊形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，∴當a＝2時，四邊形ABCM面積最大，其最大值為8，此時M的坐標為（2，2）．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m），點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當P在何處時，△ACE面積最大．解：（1）拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，則C（2，﹣3），設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1；設(shè)E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），則P（t，﹣t﹣1），∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，∴△ACE的面積＝×（2+1）×PE＝（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，當t＝時，△ACE的面積有最大值，最大值為，此時P點坐標為（，﹣）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A（﹣3，0）和點B（1，0），交y軸于點C．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D的坐標為（﹣1，0），點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：，故拋物線的表達式為：，則點C（0，2），函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣1；（2）連接OP，設(shè)點，則S＝S四邊形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝＝，∵﹣1＜0，故S有最大值，當時，S的最大值為．【變2-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接DC，DB，設(shè)△BCD的面積為S，求S的最大值．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝（x﹣4）（x﹣m），將C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴拋物線的解析式y(tǒng)＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；（2）如圖所示：過點D作DF⊥x軸，交BC與點F．設(shè)D（x，x2﹣x﹣2），則F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB?DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴當x＝2時，S有最大值，最大值為4．1．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點P是線段BC上方的拋物線上一動點，當△BCP的面積取得最大值時，點P的坐標是（）A．（2，3） B．（，） C．（1，3） D．（3，2）解：對于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，則y＝2，故點A、B、C的坐標分別為（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），過點P作y軸的平行線交BC于點H，由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為y＝﹣x+2，設(shè)點P的坐標為（x，﹣x2+x+2），則點H的坐標為（x，﹣x+2），則△BCP的面積＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面積有最大值，當x＝2時，△BCP的面積有最大值，此時，點P的坐標為（2，3），故選：A．2．如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上直線BC上方的一動點，求△PBC面積的最大值，并求出點P坐標；（3）若點Q為拋物線對稱軸上一動點，求△QAC周長的最小值．解：（1）令x＝0，則y＝2，∴C（0，2），令y＝0，則x＝4，∴B（4，0），將點B（4，0）和點C（0，2）代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）作PD∥y軸交直線BC于點D，設(shè)P（m，﹣m2+m+2），則D（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∴S△PBC＝×4×（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴當m＝2時，△PBC的面積有最大值4，此時P（2，3）；（3）令y＝0，則，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝，∵A點與B點關(guān)于對稱軸對稱，∴AQ＝BQ，∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，∴當B、C、Q三點共線時，，△QAC周長最小，∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），∴BC＝2，AC＝，∴AC+BC＝3，∴△QAC周長最小值為3．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值．若沒有，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意得：，解得，則拋物線的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，∴直線BC與x＝﹣1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，對于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，故點C（0，3），設(shè)BC的解析式是y＝mx+n，則，解得，則BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1時，y＝﹣1+3＝2，∴點Q的坐標是Q（﹣1，2）；（3）過點P作y軸的平行線交BC于點D，設(shè)P的橫坐標是x，則P的坐標是（x，﹣x2﹣2x+3），對稱軸與BC的交點D是（x，x+3）．則PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．則S△PBC＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，∵﹣＜0，故△PBC的面積有最大值是．4．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的二次函數(shù)解析式：（2）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標；（3）如圖2，點H是直線BC下方拋物線上的動點，連接BH，CH．當△BCH的面積最大時，求點H的坐標．解：（1）∵y過A（﹣1，0），B（5，0）把A（﹣1，0），B（5，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣5得，解得y＝x2﹣4x﹣5；（2）當x＝0時，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），設(shè)P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），①BC為對角線，則xQ﹣xC＝xB﹣xP，yQ﹣yC＝y(tǒng)B﹣yP，解得，（舍去），∴P（4，﹣5），②CP為對角線，則xQ﹣xC＝xP﹣xB，yQ﹣yC＝y(tǒng)P﹣yB，解得或，∴P（2+，5）或（2﹣，5），③CQ為對角線時，CP∥BQ，則點P（4，﹣5）；綜上P（4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；第三種，CQ為對角線不合要求，舍去；（3）過H作HD∥y軸交BC于D，∴S△BCH＝S△CDH+S△BDH＝HD（xH﹣xC）+HD（xB﹣xH）＝HD（xB﹣xC）＝HD，設(shè)BC：y＝kx+b1，∵BC過B、C點，代入得，，，∴y＝x﹣5，設(shè)H（h，h2﹣4h﹣5），D（h，h﹣5），S△BCH＝HD＝×[h﹣5﹣（h2﹣4h﹣5）]＝﹣（h﹣）2+，∴當h＝時，H（，﹣）時，S△BCHmax＝．5．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP'C．是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c與y軸的交點C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+bx﹣3，∵點B（3，0）在二次函數(shù)圖象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如圖1，連接PP'交y軸于E，∵四邊形POP'C為菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，∵點C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE＝，∴E（0，﹣），∴點P的縱坐標為﹣，由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴x2﹣2x﹣3＝﹣，∴x＝或x＝，∵點P在直線BC下方的拋物線上，∴0＜x＜3，∴點P（，﹣）；（3）如圖2，過點P作PF⊥x軸于F，則PF∥OC，由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），∴F（m，0），∴S四邊形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA?OC+（OC+PF）?OF+PF?BF＝×1×3+（3﹣m2+2m+3）?m+（﹣m2+2m+3）?（3﹣m）＝﹣（m﹣）2+，∴當m＝時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為，此時，P（，﹣），即點P運動到點（，﹣）時，四邊形ABPC的面積最大，其最大值為．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標軸交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直線BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，設(shè)點P的橫坐標為t（0＜t＜3），求△ABP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）條件同（2），若△ODP與△COB相似，求點P的坐標．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．（2）設(shè)點P的坐標為（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB?PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）當△ODP∽△COB時，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴點P的坐標為（，）．當△ODP∽△BOC，則＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴點P的坐標為（，）．綜上所述點P的坐標為（，）或（，）．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+經(jīng)過點A，與拋物線的另一個交點為點C，點C的橫坐標為3，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P、Q的坐標；（3）在線段PQ的移動過程中，以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由．解：（1）∵點C的橫坐標為3，∴y＝×3+＝2，∴點C的坐標為（3，2），把點C（3，2）代入拋物線，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴拋物線的解析式為y＝；（2）設(shè)點P（m，0），Q（m+1，0），由題意，點D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F(xiàn)（m+1，），∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）設(shè)以D、E、F、G為頂點的四邊形面積為S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴當m＝時，S最大值為，∴以D、E、F、G為頂點的四邊形面積有最大值，最大值為．8．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．E是BC上一點，PE∥y軸．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求BCP面積的最大值；（3）直線x＝m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當m為何值時MN＝BM，解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，這個二次函數(shù)的表達式是y＝x2﹣4x+3；（2）當x＝0時，y＝3，即點C（0，3），設(shè)BC的表達式為y＝kx+b，將點B（3，0）點C（0，3）代入函數(shù)解析式，得，解這個方程組，得．故直線BC的解析是為y＝﹣x+3，過點P作PE∥y軸，交直線BC于點E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP＝S△BPE+S△CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴當t＝時，S△BCP最大＝．（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，當MN＝BM時，m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝．9．已知直線y＝x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點A和點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，則C點坐標為（0，﹣3），把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝4，則A點坐標為（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x﹣3；（2）存在．過D點作直線AC的平行線y＝kx+b，當直線y＝kx+b與拋物線只有一個公共點時，點D到AC的距離最大，此時△ACD的面積最大，∵直線AC的解析式為y＝x﹣3，∴k＝，即y＝x+b，由直線y＝x+b和拋物線y＝﹣x2+x﹣3組成方程組得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12＝0，∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，∴3x2﹣12x+12＝0，解得x1＝x2＝2，把x＝2，b＝0代入y＝x+b得y＝，∴D點坐標為（2，）．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝＝x﹣2交拋物線于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值．解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴該拋物線表達式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）如圖1，過點P作PD∥y軸，交x軸于點D，交BC于點E，作CF⊥PD于點F，連接PB，PC，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），則點E（m，m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，聯(lián)立方程組：，解得：，．∵點B坐標為（3，0），∴點C的坐標為（﹣，﹣），∴BD+CF＝3+||＝．∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE?BD+PE?CF＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3）．∵﹣＜0，∴這個二次函數(shù)有最大值．∴當m＝時，S△PBC的最大值為．11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點C（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為直線AB下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△MAB的面積最大時，求MN+ON的最小值．解：（1）∵直線y＝x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴點A（4，0），點B（0，﹣2），設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴拋物線解析式為：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；（2）如圖1，當點P在直線AB上方時，過點O作OP∥AB，交拋物線于點P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABO是等底等高的兩個三角形，∴S△PAB＝S△ABO，∵OP∥AB，∴直線PO的解析式為y＝x，聯(lián)立方程組可得，解得：或，∴點P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；當點P''在直線AB下方時，在OB的延長線上截取BE＝OB＝2，過點E作EP''∥AB，交拋物線于點P''，連接AP''，BP''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，∴S△AP''B＝S△ABO，∵EP''∥AB，且過點E（0，﹣4），∴直線EP''解析式為y＝x﹣4，聯(lián)立方程組可得，解得，∴點P''（2，﹣3），綜上所述：點P坐標為（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如圖2，過點M作MF⊥AC，交AB于F，設(shè)點M（m，m2﹣m﹣2），則點F（m，m﹣2），∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，∴△MAB的面積＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴當m＝2時，△MAB的面積有最大值，∴點M（2，﹣3），如圖3，過點O作∠KOB＝30°，過點N作KN⊥OK于K點，過點M作MP⊥OK于P，延長MF交直線KO于Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON，∴MN+ON＝MN+KN，∴當點M，點N，點K三點共線，且垂直于OK時，MN+ON有最小值，即最小值為MP，∵∠KOB＝30°，∴直線OK解析式為y＝x，當x＝2時，點Q（2，2），∴QM＝2+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝QM＝+，∴MN+ON的最小值為+．12．直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是直線AB上方拋物線上一點；①當△PBA的面積最大時，求點P的坐標；②在①的條件下，點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為Q，在直線AB上是否存在點M，使得直線QM與直線BA的夾角是∠QAB的兩倍？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，則點A、B的坐標分別為：（4，0）、（0，2），將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；（2）①過點P作y軸的平行線交BC于點N，設(shè)P（m，﹣m2+m+2），點N（m，﹣m+2），則：△PBA的面積S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，當m＝2時，S最大，此時，點P（2，5）；②點P（2，5），則點Q（，5），設(shè)點M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，則QM1＝AM1，則（a﹣）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故點M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，則∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延長線交x軸于點N，則tan∠BAO＝＝，則tan∠QNA＝2，故直線QH表達式中的k為2，設(shè)直線QH的表達式為：y＝2x+b，將點Q的坐標代入上式并解得：b＝2，故直線QH的表達式為：y＝2x+2，故H（0，2）與B重合，M2、M1關(guān)于B對稱，∴M2（﹣，）；綜上，點M的坐標為：（，）或（﹣，）．13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y軸于點A，交x軸于點B（﹣3，0）和點C（1，0）．（1）求此拋物線的表達式．（2）若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當△ABP的面積最大時，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積．（3）設(shè)拋物線頂點為D，在（2）的條件下直線AB上確定一點H，使△DHP為等腰三角形，請直接寫出此時點H的坐標（﹣，﹣）．解：（1）將點B（﹣3，0）和點C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，∴，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x＝0，則y＝﹣3，∴A（0，﹣3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，過點P作PG⊥x軸交AB于點G，設(shè)P（t，t2+2t﹣3），則G（t，﹣t﹣3），∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，∴S△ABP＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，當t＝﹣時，S△ABP有最大值，此時P（﹣，﹣）；（3）由y＝x2+2x﹣3的頂點D（﹣1，﹣4），設(shè)H（m，﹣m﹣3），∵△DHP為等腰三角形，∴DH＝PH，∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+）2+（﹣m+）2，解得m＝﹣，∴H（﹣，﹣），故答案為：（﹣，﹣）．14．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最小．若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標．解：（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2﹣2x+3；設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n（m≠0），將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+1；（2）當x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴點N的坐標為（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖所示．∵點C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此時△ANM周長取最小值．當x＝﹣1時，y＝﹣x+1＝2，∴此時點M的坐標為（﹣1，2）．∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（﹣2，3），點N的坐標為（0，3），∴AC＝＝3，同理可得：AN＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3+；（3）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，如圖所示．設(shè)點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點Q的坐標為（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴當x＝﹣時，△APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（﹣，）．15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．（3）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標代入可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵點P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖1，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF?OE+PF?BE＝PF?（OE+BE）＝PF?OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，∴當t＝2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．（3）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖2，∴PO＝PC，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣2）．16．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的對稱軸交x軸于點M，連接BC、CM．求△BCM的周長及tan∠BCM的值；（3）如圖2，過點A的直線m∥BC，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PD⊥m，垂足為點D，連接BD，CD，CP，PB．當四邊形BDCP的面積最大時，求點P的坐標及四邊形BDCP面積的最大值．解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）分別代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），∴．∴△BCM的周長為．如圖1，過點M作MN⊥BC于點N，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BMN＝45°．∴．∴．∴．（3）由題意可知：S四邊形BDCP＝S△BDC+S△BPC，∵過點A的直線m∥BC，∴．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∵拋物線y＝﹣x2+2x+3交y軸于點C（0，3），∴OC＝3．∴．如圖2，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，交BC于點E，直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），則E（x，﹣x+3），∵點P是直線BC上方拋物線上一動點，∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．則＝．∴．當時，四邊形BDCP的面積最大，最大面積為．此時，點P的坐標為