2024八年級數(shù)學(xué)上冊階段專訓(xùn)第9招旋轉(zhuǎn)問題中作輔助線的技巧習(xí)題課件魯教版五四制

魯教版八年級上第9招旋轉(zhuǎn)問題中作輔助線的技巧

構(gòu)造直角三角形1.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為(8，4)，連接

OB

，將

OB

繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OB'，則點(diǎn)B'的

坐標(biāo)為

?.(－4，8)

1234567【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)

B

作

BA

⊥

x

軸于點(diǎn)

A

，過點(diǎn)

B

'作

B

'

C

⊥

y

軸于點(diǎn)

C

.

∵將

OB

繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OB'，∴∠BOB'＝90°，

BO

＝B'O，∴∠

BOC

＋∠COB'＝90°.∵∠

AOB

＋∠

BOC

＝90°，∴∠

AOB

＝∠COB'.又∵∠

OAB

＝∠OCB'＝90°，∴△

OAB

≌△OCB'(AAS)，∴

OC

＝

OA

＝8，B'C＝

AB

＝4，∴B'(－4，8).1234567

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形2.

[2023·濱州]已知點(diǎn)

P

是等邊三角形

ABC

的邊

BC

上的一

點(diǎn)，若∠

APC

＝104°，則在以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊

的三角形中，最小內(nèi)角的大小為(

B

)A.14°B.16°C.24°D.26°1234567∴

AP

＝

AQ

，∠

PAQ

＝60°，

BP

＝

CQ

，∠

AQC

＝∠

APB

，∴△

APQ

是等邊三角形，∴

PQ

＝

AP

，∠

AQP

＝60°，【點(diǎn)撥】如圖，將△

ABP

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△

ACQ

，連接

PQ

，1234567∴以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形，即△

PCQ

，

最小的銳角為∠

PQC

.

∵∠

APC

＝104°，∴∠

APB

＝76°，∴∠

AQC

＝∠

APB

＝76°，∴∠

PQC

＝76°－60°＝16°.【答案】B12345673.

[2024·泰安期末]如圖，在四邊形

ABCD

中，

AD

＝4，

CD

＝3，∠

ABC

＝∠

ACB

＝∠

ADC

＝45°，求

BD

的長.【解】∵∠

ACB

＝∠

ABC

＝45°，∴∠

BAC

＝90°，

AC

＝

AB

.

如圖，將△

ABD

繞點(diǎn)

A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△

ACE

，連接

DE

，則

AD

＝

AE

，∠

DAE

＝90°，

BD

＝

CE

，1234567∴∠

EDA

＝45°，

DE2＝

AD2＋

AE2＝2

AD2＝32.

∵∠

ADC

＝45°，∴∠

EDC

＝45°＋45°＝90°.

12345674.

如圖，

P

是正方形

ABCD

的邊

CD

上一點(diǎn)，∠

BAP

的平分

線交邊

BC

于點(diǎn)

Q

.

求證：

AP

＝

DP

＋

BQ

.

【證明】如圖，將△

ABQ

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△

ADE

，∴∠

EAQ

＝90°，∠

E

＝∠

AQB

，

DE

＝

BQ

，∠

ADE

＝∠

B

＝90°.1234567又∵∠

ADC

＝90°，∴∠

ADC

＋∠

ADE

＝180°.∴

E

，

D

，

P

三點(diǎn)共線.∵∠

BAP

的平分線交邊

BC

于點(diǎn)

Q

，

AD

∥

BC

，∴∠

BAQ

＝∠

PAQ

，∠

DAQ

＝∠

AQB

.

∴∠

PAE

＝90°－∠

PAQ

＝90°－∠

BAQ

＝∠

DAQ

＝

∠

AQB

＝∠

E

.

∴

AP

＝

PE

＝

DP

＋

DE

＝

DP

＋

BQ

.

1234567

1234567【解】如圖，將△

CBF

繞點(diǎn)

C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CAF'

處，使

CB

與

CA

重合，連接EF'，則

CF

＝CF'，∠ACF'

＝∠

BCF

，AF'＝

BF

＝2，∠CAF'＝∠

B

＝45°，

∴∠EAF'＝45°＋45°＝90°，

∵

CE

＝

CE

，∴△CEF'≌△

CEF

(SSS)，1234567∴∠

ECF

'＝∠

ECF

.

∵∠

ECF

＋∠

BCF

＋∠

ACE

＝90°，∴∠

ECF

＋∠ACF'＋∠

ACE

＝∠

ECF

＋∠ECF'＝

90°，∴∠

ECF

＝∠ECF'＝45°.12345676.

[新考法·類比法]旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有

一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.如圖①，

在四邊形

ABCD

中，

AD

＝

CD

，∠

ABC

＝120°，∠

ADC

＝60°，

AB

＝2，

BC

＝1.1234567【問題提出】(1)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上連接

BD

，由于

AD

＝

CD

，

所以可將△

DCB

繞點(diǎn)

D

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到

△DAB'，則△BDB'的形狀是

.

等邊三角形1234567【類比應(yīng)用】(2)如圖③，等邊三角形

ABC

的邊長為2，△

BDC

是頂角為

120°的等腰三角形，以

D

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的

兩邊分別交

AB

于點(diǎn)

M

，交

AC

于點(diǎn)

N

，連接

MN

，求

△

AMN

的周長.1234567【解】如圖，將△

BDM

繞點(diǎn)

D

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△

CDP

，∴△

BDM

≌△

CDP

，∴

MD

＝

PD

，

CP

＝

BM

，

∠

MBD

＝∠

DCP

，∠

MDB

＝∠

PDC

.

∵△

BDC

是等腰

三角形，且∠

BDC

＝120°，∴

BD

＝

CD

，∠

DBC

＝∠

DCB

＝30°.1234567又∵△

ABC

為等邊三角形，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝60°，

∴∠

MBD

＝∠

ABC

＋∠

DBC

＝90°，∴∠

PCD

＝∠

MBD

＝90°，同理可得∠

NCD

＝90°，∴∠

DCN

＋∠

DCP

＝180°，∴

N

，

C

，

P

三點(diǎn)共線.∵∠

MDN

＝60°，∴∠

MDB

＋∠

NDC

＝∠

PDC

＋∠

NDC

＝∠

BDC

－∠

MDN

＝60°，即∠

MDN

＝∠

PDN

＝60°.1234567又∵

DN

＝

DN

，

MD

＝

PD

，∴△

NMD

≌△

NPD

(SAS)，∴

MN

＝

PN

＝

NC

＋

CP

＝

NC

＋

BM

，∴△

AMN

的周長為

AM

＋

AN

＋

MN

＝

AM

＋

AN

＋

NC

＋

BM

＝

AB

＋

AC

＝2＋2＝4.1234567

構(gòu)造全等三角形7.

如圖①，已知在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，點(diǎn)

D

是

BC

的中點(diǎn).作正方形

DEFG

，使點(diǎn)

A

，

C

分

別在

DG

和

DE

上，連接

AE

，

BG

.

(1)試猜想線段

BG

和

AE

的數(shù)量關(guān)系：

?.BG

＝

AE

1234567(2)將正方形

DEFG

繞點(diǎn)

D

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°＜

α≤360°).①(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖②證明你的

結(jié)論.②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)

AE

取最大值時(shí)，請直接寫出

AF

，

AE

，

EF

之間的數(shù)量關(guān)系.(寫出等式即可)1234567【解】①成立.證明：如圖，連接

AD

.

∴∠

ABC

＝∠

BAD

，∠

ADG

＋∠

GDB

＝90