平面向量一輪復(fù)習(xí)題型歸納（三）數(shù)量積公式部分（教師版）

平面向量高三一輪復(fù)習(xí)題型歸納（三）數(shù)量積公式公式：a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角求夾角求模垂直題型投影數(shù)量、投影向量動點問題綜合應(yīng)用一、求夾角例1.若，是夾角為60°的兩個單位向量，則向量與的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°解析：，，，由于向量夾角的取值范圍是，所以向量與的夾角為120°.故選：D例2.已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：當(dāng)向量向量與的夾角為銳角時，有且與方向不相同，即，解得且，因為是假命題，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例3．若單位向量，的夾角為，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：由題意知單位向量，的夾角為，則，故，，，故，故選：D例4(多選).已知向量e1，e2滿足|e1|=2|e2|=2，且e1與e2的夾角為π3A．-12 B．-13 C．1答案：B,C二、求模例1.已知非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，則|a|＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\r(2) D．2解析：選A∵非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×eq\f(1,2)＝eq\f(|a|,2)，∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝eq\f(1,2)，故選A.例2.已知非零向量，滿足，且與的夾角為，則＝.解析：因為，所以，又，，，所以，化簡得，所以.三、垂直例1.若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π解析：設(shè)a與b的夾角為θ，因為|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝eq\f(8,3)|b|2－2|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).例2.已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，且eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則實數(shù)λ的值為________．解析：由eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，知eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(λeq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－λeq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AC,\s\up7(→))2＝(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－λ×9＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).四、投影向量、投影梳理例1.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以為鈍角，且.例2.已知平面向量滿足，，，則在方向上的投影為（

）A．5 B． C．10 D．解析：因為，所以，所以，，則在方向上的投影為.例3.已知非零向量a，b，c滿足|a|=|b|，c=13a，若c為A．12 B．13 C．14 答案：B例4．已知向量a=(-2，4)，b=(1，t)，若a與A．j B．-j C．2j D答案：C五、動點問題（建系）例1.如圖，在長方形ABCD中，AB=6，AD=4，點P滿足DP=λDC，其中A．[4，5] B．[8，10] C．[4答案：B例2.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E是邊CD（包括端點）上的動點，F(xiàn)是以AB為直徑的半圓（包括端點）上的動點，則AE?BFA．253 B．2 C．233解析：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

則O(0,0)，A(-1,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(-1,2)，F(xiàn)是以AB為直徑的半圓（包括端點）上的動點，可設(shè)F(cosα,sinα)，E是邊CD（包括端點）上的動點，可設(shè)E(t,2)，t∈[-1,1]，故AE=(t+1,2)，BF=(則AE?BF∵α∈[0,π]，∴cosα-1∈[-2,0]，又t∈[-1,1]，

∴即AE?BF≤2sinα≤2，（當(dāng)且僅當(dāng)t=-1因此AE?BF的最大值為例3（雙空）.折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子．如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點在弧上，且，點在弧上運動，則；的最小值是．

解析：

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB為x軸建立如圖平面直角坐標(biāo)系，因為，，，所以，，，，，設(shè)，，則；因為，所以，，所以時，則，此時最大為.故答案為：；例4（多選）.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB?BC=0A．DM?DN的最小值為18-62 B．C．DM?DN的最大值為12 D．DM答案：AC綜合應(yīng)用例1.在條件①向量m=(2a-c,b)與向量n=(cosC,cosB)共線;②csinA+C2=bsinC;在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，b=13,a+c=7且滿足▲.(注:如選擇多個條件分別解答﹐按第一個解答計分.)解析：【答案】解:若選①∵向量m=(2a-c,b)與向量n=(cosC,cosB)∴(2a-c)cosB-bcosC=0由正弦定理邊化角得(2sinA-sinC)cosB-sinBcosC=0，即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)，又sinA=sin(B+C)，∴2sinAcosB=sinA,∵A∈(0,π)，∴sinA≠0∴cosB=12∵B∈(0,π)，∴B=π3由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面積為S△ABC=若選②：由題設(shè)及正弦定理得sinCsinA+C2∵C∈(0,π)，∴sinC≠0,∴sin由A+B+C=π，可得sinA+C2∴cos∵B2∈(0,π2)∴sinB2=12∴B=π由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面積為S△ABC=若選③：由已知得sin2由正弦定理角化邊得a由余弦定理得cosB=∵B∈(0,π)，∴B=由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面積為S△ABC=例2（多選）.已知O為坐標(biāo)原點，點P1A．|OP1|=|OPC．OA?OP3答案：A,C例3.在△ABC中，角x∈[0，π2]所對的邊分別為a，b，（1）求角A；（2）若向量m=(cosB，2cosA)，n=(0，答案：（1）解：在△ABC中，acosB=(2c-b)cosA由正弦定理：sinAcossinAcossinC=2sinCcosA，因為C∈(0，π)從而cosA=12，又A∈(0，π)（2）mm|m-2n|=1+12=1+12=1+因為0<C<23π，π3所以1所以|所以|m-2跟蹤訓(xùn)練1（多選）.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，則（

）A．B．與的夾角為C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或解析：因為點，，，所以，，所以，所以，故A選項錯誤；設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故B選項正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故C選項錯誤；因為，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或.故D選項正確.故選：BD.2.已知向量，若，則（

）A． B． C． D．解析：向量，由，得，變形得，而，即，因此，所以.故選：D3.如圖，已知正八邊形的邊長為1，則（

）A．1 B．2 C． D．解析：分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，可得，，，，，所以，，所以．故選：C．4.已知a=(1-m，2)，b=(n，1)，m>0，n>0，若存在非零實數(shù)A．8 B．9 C．10 D．12答案B5（多選）.已知向量a=(sinα，A．若a∥bB．若a⊥bC．若f(α)=a?D．|a-答案：B,C,D6（多選）.已知a=(tA．若a//bB．若a⊥bC．|a-D．若向量a與向量b的夾角為鈍角，則t的取值范圍為(0答案：A,B7.已知向量，，若與所成的角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為.解析：因為與所成的角為銳角，故且不共線同向.故即.若共線，則即，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.8．在中，令，，若，，，，則的邊上的中線長為．解析：設(shè)的中點為，如下圖所示：

則，由，可得；所以，可得中線長.故答案為：9（雙空）.在等腰梯形ABCD中，已知AB?//?CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，當(dāng)λ=時，則解析【解答】解：因為AB∥CD，所以AM=CD，所以四邊形AMCD為平行四邊形，所以AD∥MC且AD=MC，則可設(shè)CQ=λ故AQ=因為B，所以13+1+λ=1，解得所以AQ=因為MP=所以DP=所以AQ?因為AC=所以AC?所以cos∠BAD=-又∠BAD∈(0，π)