青島 數(shù)學(xué) 八上 第2章《角平分線的性質(zhì)》課件

2.5角平分線的性質(zhì)第2章圖形的軸對(duì)稱逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2角平分線的性質(zhì)角平分線的判定作角的平分線知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)知1－講11.角的對(duì)稱性角是軸對(duì)稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.知1－講2.角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等.幾何語(yǔ)言：如圖2.5-1，因?yàn)镺C平分∠AOB，點(diǎn)P

在OC上，PD

⊥OA

于點(diǎn)D，PE⊥OB

于點(diǎn)E，所以PD=PE.要點(diǎn)精析：點(diǎn)一定要在角平分線上.點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng)度.知1－講特別提醒★角平分線是一條射線；角的對(duì)稱軸是一條直線.1.角的平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件(角平分線，垂線)得到一個(gè)結(jié)論(線段相等).2.利用角的平分線的性質(zhì)說(shuō)明線段相等時(shí)，說(shuō)明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.知1－練例1[期中·青島]如圖2.5-2，OD平分∠EOF，在OE，OF上分別取點(diǎn)A，B，使OA=OB，P

為OD

上一點(diǎn)，PM

⊥BD，PN

⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M，N.試說(shuō)明：PM=PN.解題秘方：在圖中找出能利用角平分線性質(zhì)的模型，利用角平分線的性質(zhì)可說(shuō)明線段相等.知1－練解：因?yàn)镺D

平分∠EOF，所以∠BOD=∠AOD.又因?yàn)镺B=OA，OD=OD，所以△BOD≌△AOD(SAS).所以∠BDO=∠ADO，所以DO

平分∠BDA.又因?yàn)镻為DO

上一點(diǎn)，且PM⊥DB，PN⊥DA，所以PM=PN.知1－練1-1.[期中·濟(jì)寧]如圖，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM

上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB

交于點(diǎn)C，D，試說(shuō)明：PC=PD．知1－練解：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OA于點(diǎn)F，則∠CFP＝∠DEP＝90°.因?yàn)镺M是∠AOB的平分線，所以PE＝PF.因?yàn)椤螦OB＝90°，∠CPD＝90°，所以∠PCF＋∠PDO＝360°－∠AOB－∠CPD＝180°.因?yàn)椤螾DE＋∠PDO＝180°，所以∠PCF＝∠PDE.知1－練知1－練如圖2.5-3，在△ABC

中，AD

為∠

BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC

于點(diǎn)F，△ABC

的面積是86.8cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的長(zhǎng).解題秘方：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算公式求解.例2知1－練

知1－練2-1.如圖，點(diǎn)P

是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D.若PD=2，則點(diǎn)P

到邊OA的距離是()A.1B.2C.3D.4B知2－講知識(shí)點(diǎn)角平分線的判定21.

判定法角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.幾何語(yǔ)言：如圖2.5-4，因?yàn)辄c(diǎn)P

為∠AOB

內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，且PD=PE，所以點(diǎn)P在∠

AOB的平分線OC上.知2－講2.角平分線的判定與性質(zhì)的關(guān)系(1)如圖2.5-4，都與距離有關(guān)；條件PD⊥OA，PE

⊥OB都具備.知2－講(2)點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部的)點(diǎn)到角兩邊的距離相等.拓展：(1)角的平分線可以看做是由到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)組成的射線.(2)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形三邊的距離相等.知2－講特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.2.角的平分線的判定是由兩個(gè)條件(垂線，線段相等)得到一個(gè)結(jié)論(角平分線).3.角的平分線的判定方法是說(shuō)明兩個(gè)角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等說(shuō)明兩角相等更方便快捷.知2－練如圖2.5-5，BF⊥AC

于點(diǎn)F，CE⊥AB

于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D，BE=CF.試說(shuō)明：AD

平分∠

BAC.例3解題秘方：利用角平分線的判定定理判定角平分線時(shí)，關(guān)鍵是說(shuō)明角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知2－練

知2－練3-1.如圖，在△

ABC中，∠ABC

的平分線與外角∠ACN的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP.知2－練(1)試說(shuō)明：AP

平分△ABC

的外角∠

CAM；解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥BN于點(diǎn)T，作PS⊥AC于點(diǎn)S，PQ⊥BM于點(diǎn)Q.因?yàn)樵凇鰽BC中，∠ABC的平分線與外角∠ACN的平分線相交于點(diǎn)P，所以PQ＝PT，PS＝PT.所以PQ＝PS.所以AP平分∠MAC，即AP平分△ABC的外角∠CAM.知2－練(2)過(guò)點(diǎn)C

作CE

⊥AP，垂足是E，并延長(zhǎng)CE

交BM

于點(diǎn)D.試說(shuō)明：CE=ED.知3－講知識(shí)點(diǎn)作角的平分線31.步驟與圖示已知：∠AOB(如圖2.5-6).求作：∠AOB的平分線.

知3－講2.作角平分線的理論依據(jù)是三角形全等的判定方法“SSS”.知3－講知3－講特別提醒作角平分線的最后一步不能簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤斑B接兩點(diǎn)”，連接兩點(diǎn)是線段，角平分線是射線而不是線段.知3－練

例4解題秘方：利用尺規(guī)作圖作兩次角平分線，可將已知角四等分.知3－練

知3－練4-1.如圖，已知OA和OB

兩條公路，以及C，