浙江省金華東陽(yáng)市高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題

東陽(yáng)市2024年5月高三模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A．16 B．16 C．9 D．93．命題P：，，…，的平均數(shù)與中位數(shù)相等；命題Q：，，…，是等差數(shù)列，則P是Q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知中，，，，則（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．8 B．8 C．64 D．646．從數(shù)字1，2，3，4中選出3個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．36 B．54 C．60 D．727．已知橢圓，、分別為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，若的面積為，則（）A． B．3 C． D．48．若存在直線與曲線，都相切，則a的范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B．C．為偶函數(shù) D．在區(qū)間的最小值為11．某班主任用下表分析高三前5次考試中本班級(jí)在年級(jí)中的成績(jī)排名y與考試次數(shù)x的相關(guān)性時(shí)，忘記了第二次和第四次考試排名，但他記得平均排名，于是分別用和得到了兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，，對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，排名y對(duì)應(yīng)的方差分別為，，則（）x12345y10m6n2A． B． C． D．附：，．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若為角α終邊上的一點(diǎn)，則________．13．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最小值為________．14．四棱錐的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且，．四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，，l⊥OB，則直線l與平面PAC所成夾角的范圍為________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在的二項(xiàng)式展開式的所有項(xiàng)中，依次不放回地抽取兩項(xiàng),且每一項(xiàng)被取到的可能性相等．（1）在第一次取到有理項(xiàng)的條件下，求第二次取到無(wú)理項(xiàng)的概率；（2）記取到有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．（15分）已知函數(shù)在（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若不等式恒成立，求k的范圍．17．（15分）如圖所示的多面體由一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成，四棱錐與三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，．（1）求直線AB與平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知拋物線：，焦點(diǎn)為F，為Γ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是Γ在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)P在l上且與點(diǎn)A不重合．直線PF與Γ交于B、C兩點(diǎn)，且l平分直線AB和直線AC的夾角．（1）求l的方程（用，表示）；（2）若從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)A反射，證明反射光線平行于x軸；（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，求點(diǎn)P坐標(biāo)．19．（17分）若正實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列；若實(shí)數(shù)列滿足，則稱是一個(gè)凸數(shù)列。已知是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列，．（1）證明：；（2）若，證明：；（3）若，，求的最大值．東陽(yáng)市2024年5月高三模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題：12345678ABBDCDBA二、多選題：91011ADACDAD7．設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得：，所以，，另外，由余弦定理得：，結(jié)合以上兩個(gè)式子，消元得，又因?yàn)椋曰?jiǎn)可得：，結(jié)合，可得．故選：B8．設(shè)直線與相切與點(diǎn)，∵，所以切線方程：，即，設(shè)直線與相切與點(diǎn)，∵，所以切線方程：，∴，∴有解，令，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，∵，，∴，∴，故選：A11．當(dāng)時(shí)，，，解得，則，，得，，；同理，當(dāng)時(shí)，，，，，所以，，，，故選：AD．三、填空題：12．13．114．解：如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點(diǎn)，所求線面角為則，，由可得∴時(shí)，，時(shí)，，綜上，，∴．另解：如圖，BQ⊥面PAC，，OB⊥平面，平面平面，與面PAC所成的線面角為，當(dāng)平面ABCD時(shí)，顯然有l(wèi)⊥平面OBQ，又∵AC⊥平面OBQ，∴此時(shí)，，結(jié)合平面平面，∴AC//平面，∴．所以，當(dāng)BR最短，即時(shí)，與面PAC所成的線面角最大，此時(shí)，O，Q，R三點(diǎn)共線，易得，，，綜上，，∴．四、解答題：15．（1），3分令，解得．故二項(xiàng)展開式中有3項(xiàng)有理項(xiàng),6項(xiàng)無(wú)理項(xiàng)．記事件“第一次取到有理項(xiàng)”，事件“第二次取到無(wú)理項(xiàng)”則 6分（2），，，分布列為X012P10分 13分16．（1）∵，∴， 2分∵函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，∴； 5分（2），∴恒成立，即對(duì)任意恒成立． 7分令，則． 9分設(shè)，易得是增函數(shù)，而，∴時(shí)，，即，時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減， 13分∴，∴． 15分17．解1：（1）取AB中點(diǎn)O和中點(diǎn)，連OP、、，作，H為垂足，連，與交于點(diǎn)M，連，顯然過M點(diǎn)，∵，M為中點(diǎn)，∴，同理，，又∵，∴PM⊥平面．而平面，∴，∵，∴，又∵，∴平面，而平面，∴，而，∴，∴四邊形為矩形．（也可由，得到，∴，又∵，∴AB⊥平面，∴，∴四邊形為矩形）． 2分∵平面，∴由平面，可知，，又∵，，∴OH⊥平面． 4分∵，，，∴，綜上，直線AB與平面的距離為． 6分（2）連、、、、OC，由平面，平面可得P、O、C、、O五點(diǎn)共面，由可得，，∴，，∴，∴，∴P、、三點(diǎn)共線，∴P、、、四點(diǎn)共面． 9分如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OH所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取， 11分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取， 13分設(shè)所求平面與平面夾角為，則，綜上，平面與平面夾角的余弦值為． 15分解2：如圖，將三棱柱補(bǔ)形為平行六面體，由可得，在此平行六面體中，，而，∴點(diǎn)與P點(diǎn)重合，∴P、、、四點(diǎn)共面． 9分下面考慮平面與平面的夾角即可．取中點(diǎn)M，連MB、，易得，由（1）可知四邊形為矩形，∴，又∵，，∴，∴．又∵，∴，∴即為所求平面與平面的夾角， 13分∴，綜上，平面與平面夾角的余弦值為． 15分18．（1）顯然切線l的斜率不為0，設(shè)l方程為：，與聯(lián)立得：，由，得，解得，∴l(xiāng)的方程為，化簡(jiǎn)得，也即． 4分（2）過A點(diǎn)作l的垂線并交x軸于Q點(diǎn)，則AQ直線的方程為，取，解得，即， 6分∵，∴，作A點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影H，由拋物線定義可知，∴，∴，設(shè)T為反射光線上與A相異的一點(diǎn)，則有，綜上，，∴軸，即從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過A點(diǎn)反射后平行于x軸．10分（3）此時(shí)l方程為，連HF，取H，F(xiàn)的中點(diǎn)為，∵，∴，∵K點(diǎn)在l上，∴，設(shè)直線AC、AB與HF的交點(diǎn)分別為D，E，則K為D，E的中點(diǎn)， 12分設(shè)直線PF的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則有，，∵，∴直線AC的方程為，也即，而直線HF的方程為，聯(lián)立得，同理，， 15分由得，整理得，∴，∴，∴直線BC的方程為，與直線聯(lián)立得P點(diǎn)坐標(biāo)為． 17分19．（1）由題意得：，∴，∴，，，，，將以上式子累乘得：，也即成立．另解：由題意得：，∴，∴成立． 4分（2）證1：∵，∴，∴，則，∴，∴． 10分證2：考慮反證法，假設(shè)，由得，∴，∴，同理：，∴，∴，同理可證：，，…，，綜上可得：，與條件矛盾，∴假設(shè)不成立，∴成立． 10分證3：∵，∴，也即，同時(shí)，由可得：，∴，也即，∴，，…，，將以上式子累加得：，也即，同理可得