高考數(shù)學一輪復習專練46空間向量的運算及其坐標表示

四十六空間向量的運算及其坐標表示(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值為 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·CD+(AB+BC)·(ABAD)+AD·BC=AB·CD+AB·AB+AB·BCAB·AD=AB·(BC+CD)+AB·(ABAD)=AB·BD+AB·DB=0.2.(5分)已知a=(2,1,3),b=(1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,則λ= ()A.9 B.9 C.3 D.3【解析】選B.由題意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,3)+y(1,2,3),所以2x-y=7x+23.(5分)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,設AD=1,則BD1·AD等于 (A.1 B.2 C.3 D.6【解析】選A.由長方體的性質(zhì)可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,BD1=BA+BC+所以BD1·AD=(BA+BC+B=BA·AD+BC·AD+BB1=0+BC2+0=14.(5分)如圖,在空間四邊形ABCD中,若向量AB=(3,5,2),CD=(7,1,4),點E,F分別為線段BC,AD的中點,則EF的坐標為 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)【解析】選B.取AC的中點M,連接ME,MF(圖略),ME=12AB=MF=12CD=而EF=MFME=(2,3,3).5.(5分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 ()A.32 B.C.105 D.【解析】選C.由題知,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,因為BC?平面ABC,AB?平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,因為AB1=BB1BA,BC所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1BA·因為AB1=5,BC所以cos<AB1,BC1>=AB1·BC1AB1B6.(5分)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,則AC·AD=________【解析】由題干圖可得:AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+3BD·=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.答案:37.(5分)(2023·西安模擬)空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足MG=3GN,若向量AG滿足AG=xAB+yAC+zAD,則x+y+【解析】空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足MG=3由于MG=3GN,得AGAM=3(ANAG),整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM=3AD+94DC=3AD+94AC9=34AD+94所以AG=316AD+916故x=16,y=916,z=所以x+y+z=1112答案:118.(5分)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC=________.

【解析】因為PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|PC|=12.答案:129.(10分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.(1)求證:PB⊥DM;【解析】(1)結合題圖知,PB=ABAP,DM=12(DP+DC)=12(APAD+AB12AD)=12AP+12AB34AD,則PB·=12|AB|212|AP|2=0,故PB9.(10分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.(2)求AC與PD所成角的余弦值.【解析】(2)設PA=AD=AB=2BC=2,由于PD=ADAP,AC=AB+12因此|PD|2=|ADAP|2=AD22AD·AP+AP故|PD|=22,|AC|2=|AB+12AD=|AB|2+2AB·12AD+14|AD故|AC|=5,PD·AC=(ADAP)·AB+故cos<PD,AC>=222×所以AC與PD所成角的余弦值為1010【能力提升練】10.(5分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,且滿足DE=xDA+yDC+(1xy)DD1,則|DE|的最小值是 (A.13 B.23 C.33 【解析】選C.因為DE=xDA+yDC+(1xy)DD由空間向量的共面定理可知,點E,A,C,D1四點共面,即點E在平面ACD1上,所以|DE|的最小值即為點D到平面ACD1的距離d,由正方體的棱長為1,可得△ACD1是邊長為2的等邊三角形,則S△ACD1=12×(2)2S△ACD=12×1×1=1由等體積法得VD-AC所以13×32×d=13解得d=33,所以|DE|的最小值為311.(5分)已知長方體ABCDA1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定為0的是 ()A.AD1·B1C BC.AB·AD1 D.B【解析】選C.當側面BCC1B1是正方形時,得AD1·B1當?shù)酌鍭BCD是正方形時,得AC垂直于體對角線BD1,所以排除B;顯然AB⊥側面ADD1A1,C正確;由題圖可得BD1與BC所成的角小于90°,所以排除D.12.(5分)已知點O為空間直角坐標系的原點,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當QA·QB取得最小值時,OQ的坐標是____________.

【解析】因為OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,設OQ=λOP=(λ,λ,2λ),又因為OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以QA=OAOQ=(1λ,2λ,32λ),QB=OBOQ=(2λ,1λ,22λ),則QA·QB=(1λ)(2λ)+(2λ)(1λ)+(32λ)(22λ)=6λ216λ+10=6(λ43)22當λ=43時,QA·QB取得最小值此時OQ的坐標為43答案:413.(5分)在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cos∠EAF=______,EF=______.

【解析】如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,因為正方體的棱長為1,則E(0,12F(1,0,12),所以AE=0,12,1,AF=(1,0,12cos<AE,AF>=AE·AF|AE||所以cos∠EAF=25EF=|EF|=12+-答案:2514.(10分)如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN的模;【解析】(1)如圖,以點C作為坐標原點O,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系.由題意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN|=(1-014.(10分)如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(2)求cos<BA1,CB【解析】(2)由題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以BA1=(1,1,2),BA1·CB1=3,|BA1|=所以cos<BA1,CB1>=14.(10分)如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(3)求證:A1B⊥C1M.【解析】(3)由題意得C1(0,0,2),M12A1B=(1,1,2),C1所以A1B·C1M=所以A1B⊥C1M,即A1B15.(10分)已知a=(1,3,2),b=(2,1,1),點A(3,1,4),B(2,2,2).(1)求|2a+b|;【解析】(1)2a+b=(2,6,4)+(2,1,1)=(0,5,5),故|2a+b|=02+(-15.(10分)已知a=(1,3,2),b=(2,1,1),點A(3,1,4),B(2,2,2).(2)在直線AB上是否存在一點E,使得OE⊥b?(O為原點)【解析】(2)令AE=tAB(t∈R),所以OE=OA+AE=OA+tAB=(3,1,4)+t(1,1,2)=(3+t,1t,42t),若OE⊥b,則OE·b=0,所以2(3+t)+(1t)+(42t)=0,解得t=95因此存在點E,使得OE⊥b,此時E點的坐標為-6【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(多選題)在三棱錐PABC中,以下說法正確的有 ()A.若2AD=AB+AP,則BP=3BDB.若PA·AC=0,PA·AB=0,則PA·BC=0C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,M,N分別為PA,BC的中點,則MN=2D.若T為△ABC的重心,則2PT+AT=PB+PC【解析】選BD.由2AD=AB+AP,得2OD-OA=OBOA+OPOA,整理可得,2OD=OB+所以ODOB=OPOD,即BD=DP,所以BP=2BD,故A錯誤;因為PA·AC=0,PA·AB=0,且BC=ACAB,所以PA·BC=PA·(ACAB)=PA·ACPA·AB=0,故B正確;因為PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,由勾股定理逆定理可得,∠APB=∠APC=∠BPC=