安徽省皖北五校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

潁上一中蒙城一中淮南一中懷遠(yuǎn)一中渦陽(yáng)一中2024屆高三第二次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前?考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用補(bǔ)集運(yùn)算求，最后求交集即可.【詳解】由，得，，由，得，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)求值.屬于較易題.2.已知為復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，從而得到其虛部.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，則共軛復(fù)數(shù)虛部為.故選：C3.已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.【詳解】依題意，是等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，所以，，由于，所以.故選：A4.“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】代入，可得兩直線(xiàn)為同一直線(xiàn)，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)即直線(xiàn)，直線(xiàn)即直線(xiàn)直線(xiàn)，所以?xún)芍本€(xiàn)重合，故選：D.5.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義、余弦定理求出，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，由，則，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：.故選：B.6.甲?乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在，四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲?乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有（）A.96種 B.132種 C.168種 D.204種【答案】C【解析】【分析】各級(jí)題意，剩下4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游戲，由此按旅游的人數(shù)2種情況討論，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游戲，則剩下的4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游戲，則其余4為主播有兩種情況：①若3為主播去一個(gè)景點(diǎn)，1為主播去另一個(gè)景點(diǎn)，有種不同游戲方法；②分別都是2為主播去一個(gè)景點(diǎn)，有種不同游戲方法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種.故選：C.7.已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.8.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足通過(guò)討論，得到其圖像是橢圓、雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形，借助圖像分析可得的取值就是圖像上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，求出切線(xiàn)方程根據(jù)平行直線(xiàn)距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，其圖像位于焦點(diǎn)在軸上的橢圓第一象限，當(dāng)時(shí)，其圖像位于焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)第四象限，當(dāng)時(shí)，其圖像位于焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)第二象限，當(dāng)時(shí)，其圖像不存在，作出圓錐曲線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的圖像如下，其中圖像如下：任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以結(jié)合圖像可得的范圍就是圖像上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，雙曲線(xiàn)，其中一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)靠近雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)時(shí)取得最大值，不能取等號(hào)設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€(xiàn)與直線(xiàn)的距離為此時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為此時(shí)所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離;（3）兩平行直線(xiàn)間的距離公式：兩條平行直線(xiàn)與間的距離.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.一組數(shù)據(jù)是公差為的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，則（）A.平均數(shù)變大 B.中位數(shù)沒(méi)變 C.方差變小 D.極差沒(méi)變【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義，判斷作答.【詳解】數(shù)據(jù)是公差為等差數(shù)列，對(duì)于A(yíng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，去掉首末兩項(xiàng)后的平均數(shù)，即平均數(shù)不變，A不正確；對(duì)于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉首末兩項(xiàng)后的中位數(shù)為，即中位數(shù)不變，B正確；對(duì)于C，原數(shù)據(jù)的方差，去掉首末兩項(xiàng)后的方差，即方差變小，C正確；對(duì)于D，原數(shù)據(jù)的極差，去掉首末兩項(xiàng)后的極差，即極差變小，D不正確.故選：BC10.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則一定是等腰三角形B.若，則一定是等邊三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是鈍角三角形【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)：利用正弦定理得到或，即可判斷；對(duì)于B：由余弦函數(shù)的有界性求出，即可判斷；對(duì)于C：由余弦定理求出，即可判斷；對(duì)于D：利用三角公式判斷出或，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A(yíng)：因?yàn)?，由正弦定理得：，所?因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以或，所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.錯(cuò)誤；對(duì)于B：由余弦函數(shù)的有界性可知：若.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，有且，所以，所以是等邊三角形.當(dāng)時(shí)，有且，不符合題意.所以一定等邊三角形.正確；對(duì)于C：因?yàn)?，由余弦定理得：，所以，所以，則一定是等腰三角形.正確；對(duì)于D：在中，，所以.所以，所以，即，所以或.所以一定是鈍角三角形，正確.故選：BCD11.已知正四面體的棱長(zhǎng)為3，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面與平面夾角的余弦值為B.若點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值為C.在正四面體內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則它的體積可能為D.點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ABC【解析】【分析】于A(yíng)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合法向量夾角余弦公式即可驗(yàn)算；對(duì)于B，可得，故只需求出到面的距離驗(yàn)算即可；對(duì)于C，用大正四面體內(nèi)切球半徑與小四面體外接球半徑（含參）比較大小，得出參數(shù)（體積）范圍即可判斷；對(duì)于D，用幾何法得出點(diǎn)的軌跡不是一個(gè)完整的圓即可判斷.【詳解】將正四面體補(bǔ)全為正方體，并如圖建系，，,設(shè)面的一個(gè)法向量，面的一個(gè)法向量，所以，，取，解得，所以面的一個(gè)法向量，面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為時(shí)，A對(duì).，則共面，正四面體棱長(zhǎng)為3，則正方體棱長(zhǎng)為，所以，，B對(duì).大正四面體內(nèi)切球半徑，小正四面體棱長(zhǎng)為，此外接球半徑，，C對(duì).分別在上取使，延長(zhǎng)至使，，取的中點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，且在內(nèi)，作在平面上的射影，為圖中，顯然不是一個(gè)完整的圓，的軌跡長(zhǎng)度不為，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是得到四點(diǎn)共面，轉(zhuǎn)換為驗(yàn)算點(diǎn)面距離即可順利得解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為一組從小到大排列的數(shù)的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________.【答案】7【解析】【分析】首先算出第六十百分位數(shù)，然后寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，再，最后得到常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋缘诹俜治粩?shù)為8，又二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：7.13.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，則，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得，得到，在中，利用正弦定理，即可求解.【詳解】由拋物線(xiàn)，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，則，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，解得，所以，在中，由正弦定理可知.故答案為：.14.對(duì)于函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)中最大值為，當(dāng)該函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)這四個(gè)零點(diǎn)中最大值為，求__________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線(xiàn)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線(xiàn)在點(diǎn)相切，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線(xiàn)有且只有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線(xiàn)在點(diǎn)相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線(xiàn)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線(xiàn)有且只有四個(gè)交點(diǎn)，與直線(xiàn)圖象如下：根據(jù)圖象可知，與直線(xiàn)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則同理，與直線(xiàn)有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則所以故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（1）求a，b的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為13，最小值為.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組求解（2）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后求解【小問(wèn)1詳解】依題意可知點(diǎn)為切點(diǎn)，代入切線(xiàn)方程可得∴，即，又由得，，而由切線(xiàn)的斜率可知∴，即，由，解得【小問(wèn)2詳解】由（1）知，令，得或，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x200＋13單調(diào)遞減單調(diào)遞增13∴最大值為13，最小值為16.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF．（1）證明：AB⊥CF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF的距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.【小問(wèn)1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算．17.現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹槌鲆粋€(gè)商品，稱(chēng)為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來(lái)的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過(guò)檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為.（1）求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；（2）在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；（3）將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來(lái)的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗(yàn)選到的箱子中抽取；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過(guò)的概率大.【答案】（1）（2）（3）方案一【解析】【分析】（1）按照條件概率的計(jì)算公式即可得出答案；（2）按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；（3）由前面的小問(wèn)得出的結(jié)論分別計(jì)算兩種方案在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率，比較大小，從而選擇決策方案.【小問(wèn)1詳解】將首次檢驗(yàn)選到甲箱記為事件，選到乙箱記為事件，首次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件.則首次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.【小問(wèn)2詳解】在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率.小問(wèn)3詳解】將二次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件.由上一小問(wèn)可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率，則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率..從而，在首次檢驗(yàn)通過(guò)，即事件發(fā)生的條件下：①若選擇方案一，則，.故此條件下在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.所以在方案一下，檢驗(yàn)通過(guò)的概率；②若選擇方案二，則，.故此條件下在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.所以在方案二下，檢驗(yàn)通過(guò)的概率.而，故選擇方案一檢驗(yàn)通過(guò)的概率更大.18.設(shè)圓的圓心為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn).（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，求曲線(xiàn)的方程；（2）曲線(xiàn)與軸交于.點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)兩點(diǎn)不過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別是且，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn).①探究直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由；②證明：為定值，并求出該定值.【答案】（1）（2）①過(guò)定點(diǎn)，；②證明見(jiàn)解析，4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）①設(shè)點(diǎn)，且，聯(lián)立方程求得，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解；②設(shè)直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率為，求得，結(jié)合，得到，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，因?yàn)?，可得，所以，則，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心坐標(biāo)為，且，所以，又由，可得，即由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：①設(shè)點(diǎn)，且直線(xiàn)，聯(lián)立方程，整理得，則且，，所以，即，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)?，可得，又由因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別是且，且直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)，所以.所以.【點(diǎn)睛】方法知識(shí)總結(jié)：解答圓錐曲線(xiàn)的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問(wèn)題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線(xiàn)中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過(guò)定點(diǎn)的曲線(xiàn)之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一