2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)八上數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)提高班課后習(xí)題訓(xùn)練【含答案】

2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)八上數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)提高班課后習(xí)題訓(xùn)練一．選擇題（共14小題）1．若，則的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±12．如圖，圓柱的底面半徑為，高BC＝10cm，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且PC＝4BP，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A．13cm B．15cm C．17cm D．20cm3．如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，圖中的字母是它們的面積其中S2＝6π，S3＝10π，則S1為（）A．8π B．4π C．16π D．44．如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么△ABC中BC的高是（）A． B． C． D．5．已知實(shí)數(shù)a滿足|2022﹣a|+＝a，則a﹣20222的值為（）A．2022 B．2023 C．20222 D．202326．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，則AE的長(zhǎng)等于（）A．5 B．20 C． D．7．如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm8．當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式4x3﹣2025x﹣2022的值為（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．3 B．5 C．3或6 D．2或510．已知二次根式與化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，則符合條件的正整數(shù)a有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為6cm，圓柱高為3cm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（）cm．A．3 B．6 C． D．612．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）A．4 B．5 C．6 D．713．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．14．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接DG，則圖中陰影部分面積是（）A．5 B．3 C． D．二．填空題（共12小題）15．如圖．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以AC，BC，AB為直角邊作等腰直角三角形，若圖中S1＝16，S2＝10，S3＝15，則S4＝．16．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿著CE所在直線對(duì)折，B點(diǎn)落在點(diǎn)B′處，CD與EB′交于點(diǎn)F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，則EF的長(zhǎng)為．17．如圖，等邊△ABC，邊長(zhǎng)是8．點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝BN，點(diǎn)P是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN．若PM+PN＝4，則線段PC的長(zhǎng)為．18．如圖，P是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么PD＝．19．如圖，正方形MNKT由8個(gè)全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，記圖中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，則邊AB的長(zhǎng)度為．20．如圖，等邊△ABC中，BC＝4，D為BC上一點(diǎn)，且DC＝1，E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DE+BE的最小值為．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，將矩形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處，且點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上（含端點(diǎn)），連接CF，當(dāng)AF取得最小值時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為．22．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)C、D均在射線OA上，且OC＝6，OD＝2，點(diǎn)E為射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+DE的最小值為．23．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，則BD的長(zhǎng)為．24．如圖．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC邊于點(diǎn)E．若AD＝1，則圖中陰影部分的面積為25．已知x，y均為實(shí)數(shù)，且滿足＝（y﹣1），那么x2013﹣y2013＝．26．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，則△ABD的面積是．三．解答題（共17小題）27．（1）的最小值為．（2）課堂上，老師提問：求的最小值．聰明的小明結(jié)合將軍飲馬和勾股定理的相關(guān)知識(shí)，利用構(gòu)圖法解出了此題，他的做法如下：①如圖，作一條長(zhǎng)為16的線段CD；②過C在線段CD上方作線段CD的垂線AC，使AC＝3；過D在線段CD下方作線段CD的垂線BD，使BD＝9；③在線段CD上任取一點(diǎn)O，設(shè)CO＝x；④根據(jù)勾股定理計(jì)算可得，AO＝BO＝（請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示，不需要化簡(jiǎn)）；⑤則AO+BO的最小值即為所求代數(shù)式的最小值，最小值為．（3）請(qǐng)結(jié)合第（2）問，直接寫出的最小值．28．【問題提出】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)的最小值為．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝10，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，且∠EDF＝90°，∠EDF的兩邊分別交AB、AO于點(diǎn)E、F，求四邊形DEAF的面積．【問題解決】（3）為實(shí)現(xiàn)全民健身的需要，某房地產(chǎn)商在進(jìn)行居民小區(qū)設(shè)計(jì)時(shí)考慮在小區(qū)內(nèi)修建一片室內(nèi)健身休閑區(qū)．如圖3，△ABC為小區(qū)的大致示意圖，設(shè)計(jì)師將小區(qū)分成△BED、△DFC、△AEF和△DEF四部分，其中在△BED、△DFC和△DEF三區(qū)建造三棟居民樓，在△AEF區(qū)域修建室內(nèi)健身休閑區(qū)．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、邊AB和邊AC上，且點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，為了盡可能給居民更加寬闊的健身空間，全民健身區(qū)△AEF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由，29．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來，（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)是；（2）如圖2，直線l垂直數(shù)軸于原點(diǎn)在數(shù)軸上，請(qǐng)用尺規(guī)作出表示1﹣的點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）．30．求下列各式中x的值：（1）25x2﹣64＝0；（2）343（x+3）3+27＝0．31．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，將△BEF沿著EF翻折得到△B′EF．（1）如圖1，點(diǎn)B'落在邊AD上，若AE＝2，則AB'＝，F(xiàn)B'＝；（2）如圖2，若BE＝2，點(diǎn)F是BC邊中點(diǎn)，連接B'D、FD，求△B'DF的面積；（3）如圖3，點(diǎn)F是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥DF交AB于點(diǎn)E，將△BEF沿著EF翻折得到△B'EF，連接DB'，當(dāng)△DB'F是以DF為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．32．在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，，這樣的式子可以用如下的方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝；＝；以上這種化簡(jiǎn)的方法叫做分母有理化．（1）化簡(jiǎn)：①＝，②＝；（2）聯(lián)系與拓廣：++…+＝13，請(qǐng)求出n的值．33．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿著直線AE翻折后得到△AFE，請(qǐng)解決下列問題．（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)時(shí)，AE＝；（2）連接BF、CF，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出對(duì)應(yīng)的圖形，并求出此時(shí)△BCF的面積；（3）連接CF，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，求出此時(shí)CE＝．34．如圖，一個(gè)底面為正方形的無蓋長(zhǎng)方體形盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm，20cm，30cm，即EF＝FG＝20cm，CG＝30cm，現(xiàn)在頂點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從頂點(diǎn)E爬到C處去吃蜜糖，求需要爬行的最短距離．（注：底面可以爬行）35．如圖，一條河流的BD段長(zhǎng)為12km，在B點(diǎn)的正北方4km處有一村莊A，在D點(diǎn)的正南方2km處有一村莊E，計(jì)劃在BD上建一座橋C，使得橋C到A村和E村的距離和最?。?qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）將橋C建在何處時(shí)，可以使得橋C到A村和E村的距離和最??？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)C點(diǎn)的位置；（2）小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)BC＝x，則CD＝12﹣x，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)x＝時(shí)，的值最小，且最小值為；（3）結(jié)合（1）（2）問，請(qǐng)直接寫出下列代數(shù)式的最小值；①的最小值為；②的最小值為．36．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACD沿直線AD折疊，得到△AFD，請(qǐng)解決下列問題．（1）AB＝；當(dāng)點(diǎn)F恰好落在斜邊AB上時(shí)，CD＝；（2）連接CF，當(dāng)△CBF是以CF為底邊的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并求出此時(shí)點(diǎn)F到直線AC的距離；（3）如圖3，E為邊BC上一點(diǎn)，且CE＝4，連接EF，當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，CD＝．（請(qǐng)寫出所有滿足條件的CD長(zhǎng)）37．已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．（1）若E為CD的中點(diǎn)，AE⊥DF于點(diǎn)O．①如圖1，求證：BF＝CF；②如圖2，連接OC，求的值；（2）如圖3，若AB＝，DE＝BF，則AE+DF的最小值為（直接寫出結(jié)果）．38．閱讀理解：親愛的同學(xué)們，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．即：如圖1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD＝AB．牛刀小試：（1）在圖1中，若AC＝6，BC＝8，其他條件不變，則CD＝；活學(xué)活用：（2）如圖2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，AC＝26，BD＝24．求EF的長(zhǎng)；問題解決：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB為邊在AB上方作等邊三角形ABD，連接CD，求CD的最大值．39．我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，在BC上任取一點(diǎn)D（B、C除外），連接AD，我們把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E．請(qǐng)根據(jù)給出的定義判斷，四邊形ADCE（選擇是或不是）等補(bǔ)四邊形．（2）如圖2，等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四邊形ABCD＝8，求BD的長(zhǎng)．（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四邊形ABCD面積的最大值．40．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，若AE＝15，DE＝7，求AB的長(zhǎng)度．（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．41．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，此時(shí)某臺(tái)風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心25千米，臺(tái)風(fēng)就會(huì)減弱一級(jí)，如圖所示，該臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿北偏東30°方向向C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力超過4級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響．試問：（1）A城市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說明理由．（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？42．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，設(shè)CE＝x（1）請(qǐng)求出AC+CE的最小值．（2）請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式+的最小值．參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．若，則的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【解答】解：∵x﹣4≥0，4﹣x≥0，∴x＝4，∴y＝3，∴．故選：B．2．如圖，圓柱的底面半徑為，高BC＝10cm，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且PC＝4BP，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A．13cm B．15cm C．17cm D．20cm【解答】解：把圓柱側(cè)面展開后，連接AP，如圖所示：∵圓柱的底面半徑為，∴圓柱的底面周長(zhǎng)為＝30（cm），∴AC＝15cm，∵高BC＝10cm，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且PC＝4BP，∴PC＝8cm，在Rt△ACP中，AP＝＝17cm，即從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是17cm．故選：C．3．如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，圖中的字母是它們的面積其中S2＝6π，S3＝10π，則S1為（）A．8π B．4π C．16π D．4【解答】解：∵S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，又BC2+AC2＝AB2，∴S1＝S2﹣S3＝10π﹣6π＝4π．故選：B．4．如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么△ABC中BC的高是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)圖形可得：AB＝AC＝＝，BC＝＝，∠BAC＝90°，設(shè)△ABC中BC的高是x，則AC?AB＝BC?x，×＝?x，x＝．故選：A．5．已知實(shí)數(shù)a滿足|2022﹣a|+＝a，則a﹣20222的值為（）A．2022 B．2023 C．20222 D．20232【解答】解：由題意得：a﹣2023≥0，解得：a≥2023，則a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023，故選：B．6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，則AE的長(zhǎng)等于（）A．5 B．20 C． D．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝＝＝8，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝＝25，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，設(shè)AE＝x，則ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故選：D．7．如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm【解答】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：此時(shí)，AB＝＝＝13cm，故h＝24﹣13＝11cm．故h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：C．8．當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式4x3﹣2025x﹣2022的值為（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：∵，∴2x＝1+，∴4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022＝[（1+）2﹣2025]x﹣2022＝（1+2022+2﹣2025）x﹣2022＝（﹣2+2）x﹣2022＝2（﹣1+）×﹣2022＝（﹣1+）×（1+）﹣2022＝2022﹣1﹣2022＝﹣1，故選：D．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．3 B．5 C．3或6 D．2或5【解答】解：如圖1所示；點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)．在Rt△ABC中，BC＝＝8，由翻折的性質(zhì)可知；AE＝AC＝6，DC＝DE，則EB＝4，設(shè)DC＝ED＝x，則BD＝8﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴DE＝3．如圖2所示：∠EDB＝90°時(shí)．由翻折的性質(zhì)可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四邊形ACDE為矩形，又∵AC＝AE，∴四邊形ACDE為正方形，∴DE＝6，點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，∠DBE＜90°，（假設(shè)∠DBE≥90°，則AE≥BD，這個(gè)顯然不可能，故∠DBE＜90°），故∠DBE不可能為直角．故選：C．10．已知二次根式與化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，則符合條件的正整數(shù)a有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：＝2，當(dāng)a＝5時(shí)，＝＝3；a＝15時(shí)，＝＝2；當(dāng)a＝21時(shí)，＝，則符合條件的正整數(shù)a有3個(gè)．故選：C．11．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為6cm，圓柱高為3cm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（）cm．A．3 B．6 C． D．6【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度．∵圓柱底面的周長(zhǎng)為6cm，圓柱高為3cm，∴AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC2＝32+32＝18，∴AC＝3cm，∴這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC＝6cm．故選：B．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如圖：故選：D．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴BC邊上的高＝3×4÷5＝，∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，設(shè)為h，則S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，解得h＝，S△ABD＝×3×＝BD?，解得BD＝．故選：A．14．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接DG，則圖中陰影部分面積是（）A．5 B．3 C． D．【解答】解：由題意知，AF＝FC，AB＝CD＝AG＝4，BC＝AD＝8在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2，解得AF＝5∵∠BAF+∠FAE＝∠FAE+∠EAG＝90°∴∠BAF＝∠EAG∵∠B＝∠AGE＝90°，AB＝AG∴△BAF≌△GAE，∴AE＝AF＝5，ED＝GE＝3∵S△GAE＝AG?GE＝AE?AE邊上的高∴AE邊上的高＝∴S△GED＝ED?AE邊上的高＝×3×＝．故選：D．二．填空題（共12小題）15．如圖．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以AC，BC，AB為直角邊作等腰直角三角形，若圖中S1＝16，S2＝10，S3＝15，則S4＝9．【解答】解：如圖，DE分別交BF、CF于點(diǎn)G、點(diǎn)H，∵△ABD，△ACE，△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，設(shè)AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵，，，又∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∵S△ABD＝S1+m，S△ACE＝n+S4，S△BCF＝S2+S3+m+n，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝S2+S3﹣S1＝10+15﹣16＝9．故答案為：9．16．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿著CE所在直線對(duì)折，B點(diǎn)落在點(diǎn)B′處，CD與EB′交于點(diǎn)F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，則EF的長(zhǎng)為．【解答】解：根據(jù)題意得：∠CEF＝∠CEB，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AB∥CD，∴∠CEB＝∠ECD，∴∠CEF＝∠ECD，∴EF＝CF，過點(diǎn)E作EG⊥CD于G，∵AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，則AD＝EG＝4cm，AE＝DG＝2cm，設(shè)EF＝CF＝xcm，則GF＝AB﹣AE﹣EF＝8﹣2﹣x＝（6﹣x）cm，在Rt△EFG中，EF2＝GF2+EG2，∴x2＝（6﹣x）2+42，∴，∴，故答案為：．17．如圖，等邊△ABC，邊長(zhǎng)是8．點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝BN，點(diǎn)P是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN．若PM+PN＝4，則線段PC的長(zhǎng)為4．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，AG⊥BC于點(diǎn)G，連接BP，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABG＝60°，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝4，∴AG＝BG＝4，∴S△ABC＝BC?AG＝8×4＝16，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP＝AB?PD＝BC?PE，∴8（PD+PE）＝16，∴PD+PE＝4，∵PM≥PD，PN≥PE，∴PM+PN≥PD+PE＝4，∵PM+PN＝4，∴PM+PN＝4＝PD+PE，∴此時(shí)M，D重合，N、E重合，即BD＝BE，在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP＝BP，BD＝BE，∴Rt△BPD≌Rt△BPE（HL），∴∠DBP＝∠CBP＝30°，∵AB＝BC＝AC＝8，∴PC＝BC＝4，故答案為：4．18．如圖，P是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么PD＝3．【解答】解：如圖，由勾股定理得：PA2＝a2+b2，PC2＝c2+d2；PB2＝b2+c2，PD2＝a2+d2；因此：PA2+PC2＝PB2+PD2，即：32+52＝42+PD2，解得，PD2＝18，∴PD＝3，故答案為：3．19．如圖，正方形MNKT由8個(gè)全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，記圖中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，則邊AB的長(zhǎng)度為．【解答】解：將四邊形EFGH的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10，所以S2＝x+4y＝10，∴AB＝．故答案為：．20．如圖，等邊△ABC中，BC＝4，D為BC上一點(diǎn)，且DC＝1，E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DE+BE的最小值為．【解答】解：過點(diǎn)D作D點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF、BF、CF，過F作FG⊥BC，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則CD＝＝CF＝1，∠ACB＝∠ACF＝60°，DE＝EF∴∠GCF＝60°，∴CG＝CF＝，∴FG＝＝，∴BF＝，∵BE+DE＝BE+EF≥BF，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)依次在同一直線上時(shí)，BE+DE＝BE+EF＝BF＝的值最小，故答案為：21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，將矩形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處，且點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上（含端點(diǎn)），連接CF，當(dāng)AF取得最小值時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為6．【解答】解：由折疊易知：AF＝FG，而當(dāng)FG⊥BC時(shí)，F(xiàn)G的值最小，即此時(shí)AF能取得最小值，又因?yàn)楫?dāng)FG⊥BC時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，如圖1，此時(shí)四邊形AEGF是正方形，∴折痕EF＝＝6．故答案為：6．22．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)C、D均在射線OA上，且OC＝6，OD＝2，點(diǎn)E為射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+DE的最小值為2．【解答】解：作C點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D交OB于點(diǎn)E，連接C'O，過C'作C'F⊥OA交F點(diǎn)，∴CE+DE＝DE+C'E＝C'D，此時(shí)CE+DE最小，由對(duì)稱性可知OC＝OC'，∠COB＝∠BOC'，∵∠BOC＝30°，∴∠COC'＝60°，∴△COC'是等邊三角形，∵OC＝6，∴C'O＝6，在Rt△C'OF中，OF＝OC'?cos60°＝3，C'F＝OC'?sin60°＝3，∵OD＝2，∴DF＝1，在Rt△DFC'中，C'D＝＝＝2，∴CE+DE的最小值為2，故答案為：2．23．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，則BD的長(zhǎng)為．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于M，如圖所示：則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案為：．24．如圖．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC邊于點(diǎn)E．若AD＝1，則圖中陰影部分的面積為1【解答】解：如圖，作DH⊥BC于H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分線，∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠DEB＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，設(shè)DH＝BH＝EH＝a，∵DH∥AB∴△CDH∽△CAB，∴，∵AD＝1，AC＝3，∴，∴AB＝a，CE＝a，∵AB2+BC2＝AC2，∴，，∴圖中陰影部分的面積＝．解法二：將△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBT．∵∠DEC＝∠DBT＝135°，∠ABD＝45°，∴∠ABD+∠DBT＝180°，∴A，B，T共線，∴圖中陰影部分的面積＝S△ADT＝×AD×DT＝1．故答案為：1．25．已知x，y均為實(shí)數(shù)，且滿足＝（y﹣1），那么x2013﹣y2013＝﹣2．【解答】解：根據(jù)題意得+（1﹣y）＝0，∵1+x≥0且1﹣y≥0，∴1+x＝0且1﹣y＝0，解得x＝﹣1，y＝1．則原式＝（﹣1）2013﹣12013＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案為：﹣2．26．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，則△ABD的面積是15．【解答】解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD＝6，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，即△ABD為直角三角形，∴△ABD的面積＝AD?AB＝15，故答案為：15．三．解答題（共17小題）27．（1）的最小值為9．（2）課堂上，老師提問：求的最小值．聰明的小明結(jié)合將軍飲馬和勾股定理的相關(guān)知識(shí)，利用構(gòu)圖法解出了此題，他的做法如下：①如圖，作一條長(zhǎng)為16的線段CD；②過C在線段CD上方作線段CD的垂線AC，使AC＝3；過D在線段CD下方作線段CD的垂線BD，使BD＝9；③在線段CD上任取一點(diǎn)O，設(shè)CO＝x；④根據(jù)勾股定理計(jì)算可得，AO＝BO＝（請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示，不需要化簡(jiǎn)）；⑤則AO+BO的最小值即為所求代數(shù)式的最小值，最小值為20．（3）請(qǐng)結(jié)合第（2）問，直接寫出的最小值10．【解答】解：（1）∵，∴+9≥9．故答案為：9．（2）如圖，過B作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵OC2+AC2＝OA2，OD2+BD2＝OB2，OA＝，OB＝．當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，AO+OB的最小值是線段AB的長(zhǎng)．△ABE中，AE＝3+9＝12，BE＝16，AB2＝AE2+BE2＝144+256＝400，AB＝20．所以AO+BO的最小值是20．故答案為，，20．（3）設(shè)x﹣2＝a，＝，仿照（2）的作法，的最小值＝＝10．故答案為：10．28．【問題提出】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)的最小值為．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝10，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，且∠EDF＝90°，∠EDF的兩邊分別交AB、AO于點(diǎn)E、F，求四邊形DEAF的面積．【問題解決】（3）為實(shí)現(xiàn)全民健身的需要，某房地產(chǎn)商在進(jìn)行居民小區(qū)設(shè)計(jì)時(shí)考慮在小區(qū)內(nèi)修建一片室內(nèi)健身休閑區(qū)．如圖3，△ABC為小區(qū)的大致示意圖，設(shè)計(jì)師將小區(qū)分成△BED、△DFC、△AEF和△DEF四部分，其中在△BED、△DFC和△DEF三區(qū)建造三棟居民樓，在△AEF區(qū)域修建室內(nèi)健身休閑區(qū)．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、邊AB和邊AC上，且點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，為了盡可能給居民更加寬闊的健身空間，全民健身區(qū)△AEF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由，【解答】解：（1）如圖1，作DG⊥AC于點(diǎn)G，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC邊于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝4，∴×5DG＝×4×3＝S△ACD，∴DG＝，∵DE≥DG，∴DE≥，∴DE的最小值是，故答案為：．（2）如圖2，連接AD，∵∠A＝90°，AC＝AB＝10，∴∠B＝∠C＝45°，∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD＝AC，∠DAF＝∠BAD＝BAC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠DAF＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠BDE＝90°﹣∠ADE，在△ADF和△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴S△ADF＝S△BDE，∴S四邊形DEAF＝S△ADF+S△ADE＝S△BDE+S△ADE＝S△ABD＝S△ABC＝××10×10＝25，∴四邊形DEAF的面積是25．（3）△AEF的面積存在最大值，如圖3，連接AD，作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，∴S△ABC＝AB?AC＝×200×200＝20000（m2），由（2）得△ADF≌△BDE，S四邊形DEAF＝S△ABC∴S四邊形DEAF＝×20000＝10000（m2），∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴DH＝AH＝BH＝AB＝100m，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴S△EDF＝DE?DF＝DE2，∴DE≥DH，∴DE≥100m，∴DE的最小值為100m，∴當(dāng)DE＝100m時(shí)，S△EDF最小＝×1002＝5000（m2），∵S△AEF+S△EDF＝S四邊形DEAF＝10000m2，∴當(dāng)S△EDF最?。?000m2時(shí)，S△EDF最大＝5000m2，∴全民健身區(qū)△AEF的面積存在最大值，△AEF面積的最大值為5000m2．29．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來，（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)是；（2）如圖2，直線l垂直數(shù)軸于原點(diǎn)在數(shù)軸上，請(qǐng)用尺規(guī)作出表示1﹣的點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）．【解答】解：（1）如圖：∵OA＝OB＝＝，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是，故答案為：；（2）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．30．求下列各式中x的值：（1）25x2﹣64＝0；（2）343（x+3）3+27＝0．【解答】解：（1）∵25x2﹣64＝0∴25x2＝64∴x2＝，解得，x1＝，x2＝﹣；（2）∵343（x+3）3+27＝0∴343（x+3）3＝﹣27∴（x+3）3＝∴x+3＝﹣，解得，x＝﹣3．31．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，將△BEF沿著EF翻折得到△B′EF．（1）如圖1，點(diǎn)B'落在邊AD上，若AE＝2，則AB'＝2，F(xiàn)B'＝4；（2）如圖2，若BE＝2，點(diǎn)F是BC邊中點(diǎn)，連接B'D、FD，求△B'DF的面積；（3）如圖3，點(diǎn)F是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥DF交AB于點(diǎn)E，將△BEF沿著EF翻折得到△B'EF，連接DB'，當(dāng)△DB'F是以DF為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AE＝2，AB＝6，∴BE＝4，∵將△BEF沿著EF翻折得到△B′EF，∴BE＝B'E＝4，BF＝B'F，∴AB'＝＝＝2，如圖1，過點(diǎn)B'作BH⊥BC于H，∴四邊形ABHB'是矩形，∴BA＝B'H＝6，AB'＝BH＝2，∴HF＝BF﹣2，∵B'F2＝B'H2+HF2＝36+（B'F﹣2）2，∴B'F＝4，故答案為：2，4；（2）如圖2，連接BB'，交EF于N，連接B'C，過點(diǎn)B'作B'M⊥于M，∵點(diǎn)F是BC邊中點(diǎn)，∴BF＝CF＝4，∵將△BEF沿著EF翻折得到△B′EF，∴BF＝B'F＝BC，BN＝B'N，BB'⊥EF，∵BE＝2，BF＝4，∴EF＝＝＝2，∵S△BEF＝×BE?BF＝×EF?BN，∴2×4＝2BN，∴BN＝，∴FN＝＝，BB'＝，∴B'M＝＝，∴MF＝＝，∴△B'DF的面積＝×（+6）×（4+）﹣×4×6﹣××＝13.6；（3）若DF＝B'F時(shí)，則BF＝DF＝B'F，∵DF2＝DC2+CF2，∴（8﹣CF）2＝36+CF2，∴CF＝，若DF＝B'D時(shí)，如圖3，過點(diǎn)D作DQ⊥B'F于Q，∴B'Q＝QF，∵EF⊥DF，∴∠EFB'+∠DFB'＝90°＝∠BFE+∠DFC，∴∠DFC＝∠DFB'，又∵∠DQF＝∠C＝90°，DF＝DF，∴△DFC≌△DFQ（AAS），∴CF＝QF＝BF，∵BC＝BF+CF，∴8＝2CF+CF，∴CF＝，綜上所述：CF的長(zhǎng)為或．32．在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，，這樣的式子可以用如下的方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝；＝；以上這種化簡(jiǎn)的方法叫做分母有理化．（1）化簡(jiǎn)：①＝，②＝；（2）聯(lián)系與拓廣：++…+＝13，請(qǐng)求出n的值．【解答】解：（1）①＝；②＝＝．故答案為：，；（2）∵+++…+＝13，∴（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝13，∴＝27，∴n＝727．33．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿著直線AE翻折后得到△AFE，請(qǐng)解決下列問題．（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)時(shí)，AE＝；（2）連接BF、CF，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出對(duì)應(yīng)的圖形，并求出此時(shí)△BCF的面積；（3）連接CF，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，求出此時(shí)CE＝或．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，∵點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CD＝3，∴AE＝＝＝，故答案為：；（2）分兩種情況：①如圖2﹣1，當(dāng)BF＝BC時(shí)，過點(diǎn)F作MN∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴FM⊥AB，∴∠BMN＝90°，∴四邊形BCNM是矩形，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，由翻折的性質(zhì)得：AD＝AF，∴AD＝BC＝AF＝BF＝8，∵FM⊥AB，∴AM＝BM＝AB＝×6＝3，∴S△BCF＝BC?BM＝×8×3＝12；②如圖2﹣2，當(dāng)BF＝CF時(shí)，過點(diǎn)F作MN∥AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，BC⊥AB，∴FM⊥BC，F(xiàn)M⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝6，AM＝BN，∵BF＝CF，∴BN＝CNBC＝4，∴AM＝4，由翻折的性質(zhì)得：AD＝AF＝8，在Rt△AMF中，由勾股定理得：FM＝＝＝4，∴FN＝FM﹣MN＝4﹣6，∴S△BCF＝BC?FN＝×8×（4﹣6）＝16﹣24；綜上所述，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，△BCF的面積為12或16﹣24；（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由翻折的性質(zhì)得：∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝8，DE＝EF，∵∠CFE＝90°，∴A、F、C三點(diǎn)共線，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣8＝2，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝6﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2+CF2＝CE2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，∴CE＝；②如圖4，當(dāng)∠ECF＝90時(shí)，由翻折的性質(zhì)得：AF＝AD＝8，DE＝EF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝2，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣2，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝6﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2，即（6﹣x）2＝（8﹣2）2+x2，解得：x＝，∴CE＝；綜上所述，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，CE為或，故答案為：或．34．如圖，一個(gè)底面為正方形的無蓋長(zhǎng)方體形盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm，20cm，30cm，即EF＝FG＝20cm，CG＝30cm，現(xiàn)在頂點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從頂點(diǎn)E爬到C處去吃蜜糖，求需要爬行的最短距離．（注：底面可以爬行）【解答】解：如圖1，CE＝＝10（cm），如圖2，CE＝＝50（cm），∵10＞50，∴需要爬行的最短距離為50cm．35．如圖，一條河流的BD段長(zhǎng)為12km，在B點(diǎn)的正北方4km處有一村莊A，在D點(diǎn)的正南方2km處有一村莊E，計(jì)劃在BD上建一座橋C，使得橋C到A村和E村的距離和最?。?qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）將橋C建在何處時(shí)，可以使得橋C到A村和E村的距離和最?。空?qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)C點(diǎn)的位置；（2）小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)BC＝x，則CD＝12﹣x，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)x＝8時(shí)，的值最小，且最小值為6；（3）結(jié)合（1）（2）問，請(qǐng)直接寫出下列代數(shù)式的最小值；①的最小值為25；②的最小值為．【解答】解：（1）如圖，連接AE交BD于點(diǎn)C′，點(diǎn)C′即為所求．過點(diǎn)A作AJ⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，連接DC′．則四邊形ABCJ是矩形，∴AB＝DJ＝4km，AJ＝BD＝12km，EJ＝DE+DJ＝6km，∴AE＝＝＝6km，∴CA+CE的最小值為6km，設(shè)C′B＝xkm，則有×6×12＝×6×（12﹣x）+×12×4，解得x＝8，∴BC′＝8km時(shí)，AC+CE的值最小，最小值為6km．（2）小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)BC＝x，則CD＝12﹣x，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)x＝8時(shí)，的值最小，且最小值為6；故答案為：8，6；（3）①結(jié)合（1）（2）問，可知的最小值為＝25；②＝+的最小值為＝＝3．故答案為：25，3．36．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACD沿直線AD折疊，得到△AFD，請(qǐng)解決下列問題．（1）AB＝13；當(dāng)點(diǎn)F恰好落在斜邊AB上時(shí)，CD＝；（2）連接CF，當(dāng)△CBF是以CF為底邊的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并求出此時(shí)點(diǎn)F到直線AC的距離；（3）如圖3，E為邊BC上一點(diǎn)，且CE＝4，連接EF，當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，CD＝或或5或10．（請(qǐng)寫出所有滿足條件的CD長(zhǎng)）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝13，當(dāng)點(diǎn)F落在AB上時(shí)，由折疊知，CD＝DF，∴+＝，∴5CD+13CD＝60，∴CD＝，故答案為：13，；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于G，∵BC＝BF，AC＝AF，∴AB垂直平分CF，由等積法得CH＝，在Rt△ACH中，由勾股定理得，AH＝＝＝，∵S△ACF＝，∴FG＝＝；（3）當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在CE上時(shí)，作FH⊥AC于H，則HF＝CE＝4，∵AF＝AC＝5，∴AH＝3，∴CH＝EF＝AC﹣AH＝2，設(shè)CD＝x，則DE＝4﹣x，在Rt△EDF中，由勾股定理得，x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝，∴CD＝，當(dāng)點(diǎn)D在EB上時(shí)，同理可得CH＝AC+AH＝5+3＝8，設(shè)CD＝DF＝x，則DE＝x﹣4，在Rt△EDF中，由勾股定理得，（x﹣4）2+82＝x2，解得x＝10，∴CD＝10，當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，由勾股定理得AE＝，設(shè)CD＝DF＝x，則5x+x＝20，∴x＝，∴CD＝；當(dāng)∠FDE＝90°時(shí)，則∠ADC＝∠ADF＝45°，∴CD＝AC＝5，綜上：CD＝或或5，故答案為：或或5或10．37．已知正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，連接AE，DF．（1）若E為CD的中點(diǎn)，AE⊥DF于點(diǎn)O．①如圖1，求證：BF＝CF；②如圖2，連接OC，求的值；（2）如圖3，若AB＝，DE＝BF，則AE+DF的最小值為5（直接寫出結(jié)果）．【解答】（1）①解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，又AE⊥DF，∠DAE＝∠CDF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，又E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝CF；②證明：過點(diǎn)C分別作CH⊥DF于H，CG⊥AE于G，∴∠ECG＝∠FCH，∠FHC＝∠G＝90°，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC＝CF，∴△CHF≌△CGE（AAS），∴CH＝CG，∵AE⊥DF，∴∠HOC＝∠GOC＝45°，∴CH＝CG＝OH，OC＝CH，∵AE⊥DF，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∵∠ADO+∠CDH＝90°，∴∠DAO＝∠CDH，∵∠AOD＝∠DHC＝90°，AD＝CD，∴△ADO≌△DCH（AAS），∴CH＝OD＝OH，AO＝DH＝2CH，∴；（2）解：如圖，連接AF，延長(zhǎng)DC至P，使得CD＝CP，連接AP，∵CF垂直平分AP，∴DF＝PF，∵AD＝AB，∠ADE＝∠B＝90°，BF＝DE，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+DF＝AF+FP≥AP，∵AD＝，DP＝2，∴AP＝＝5．故答案為：5．38．閱讀理解：親愛的同學(xué)們，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．即：如圖1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD＝AB．牛刀小試：（1）在圖1中，若AC＝6，BC＝8，其他條件不變，則CD＝5；活學(xué)活用：（2）如圖2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，AC＝26，BD＝24．求EF的長(zhǎng)；問題解決：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB為邊在AB上方作等邊三角形ABD，連接CD，求CD的最大值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝5．故答案為5；（2）連接BE，DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，BE＝DE，∴EF⊥BD，∵BE＝AC，∴BE＝13，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴BF＝DF＝12，在Rt△BEF中，EF＝＝＝5．（3）取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE，∵E是AB的中點(diǎn)，AB＝10，∴AE＝CE＝AB＝5，∵△ABD是等邊三角形，∴DE＝AE＝5，∵CD≤CE+DE，∴CD≤5+5，∴CD的最大值為5+5．39．我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，在BC上任取一點(diǎn)D（B、C除外），連接AD，我們把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E．請(qǐng)根據(jù)給出的定義判斷，四邊形ADCE是（選擇是或不是）等補(bǔ)四邊形．（2）如圖2，等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四邊形ABCD＝8，求BD的長(zhǎng)．（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四邊形ABCD面積的最大值．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴四邊形ADCE是等補(bǔ)四邊形．故答案為：是；（2）如圖2，∵∠ABC＝90°，AB＝