魯教版五四版八年級下冊6.2矩形的性質(zhì)與判定

6.2矩形的性質(zhì)與判定

選擇題

1.如圖，在矩形ABC。中，AD=6,對角線AC與2。相交于點。，AE±BD,垂足為E,

DE=3BE.求AE的長（）

A.2A/3B.3C.3J3D.盟1

2

2.如圖，在矩形48C。中，點E是上任一點，連接CE,尸是CE的中點，若△出（的

面積為6,則矩形ABC。的面積為（）

A.18B.24C.30D.36

3.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,點。是斜邊BC上的一個動點,

過點D分別作DMLAB于點M,DNLAC于點N,連接MN,則線段的最小值為（）

A.絲B.SC.3D.4

52

4.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、8。相交于點O,若。E_LAC,ZADF：ZFDC=3：

A.18°B.36°C.27°D.54°

5.如圖，矩形ABC。的對角線AC、BD交于點E,ZACB=52°,AM平分NA4C,交BC

于點M,過點3作3AM.垂足為點R則ND8/的度數(shù)為（

B.34°C.33°D.19°

6.如圖，在矩形A3CD中，AC.瓦）相交于點O,AE平分NA4O交3C于點E,若NC4E

15°,則N50E的度數(shù)為（)

C.72°D.90°

7.如圖，將矩形紙片右側(cè)部分的四邊形A3CD沿線段AD翻折至四邊形A"CO的位置.若

ZDAB=56°,則N1的度數(shù)是（)

A.34°B.56°C.58°D.68°

8.如圖所示，在平行四邊形A8CD中,對角線AC、5。相交于點。下列條件不能判定平

行四邊形A5CD為矩形的是（）

C.AD=ABD.ZBAD=ZADC

9.已知在四邊形ABCZ）中，AB//CD,對角線AC與5。相交于點O,那么下列條件中能判

定這個四邊形是矩形的是()

A.AD=BC,AC=BDB.AC=BD,ZBAD=ZBCD

C.AO=CO,AB=BCD.AO=OB,AC=BD

填空題

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=6,點尸為邊AB上任意一點，過點P作PE_L

AC,PFLBD,垂足分另ij為E、F,貝iJPE+PF=.

三.解答題

11.如圖，過aABC邊AC的中點。，作OELAC,交AB于點、E,過點A作AO〃BC,與

2。的延長線交于點。，連接CO,CE,若CE平分/ACB,CELB。于點?

(1)求證：

@OC=BC；

②四邊形ABC。是矩形；

(2)若8C=3,求。E的長.

12.已知：在矩形ABC。中，點E在2C邊上，連接。E,且。E=BC,過點A作

于點F.

(1)如圖1,求證：AB^AF；

(2)如圖2,連接AE,當(dāng)尸時，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2

8的線段.

3

13.如圖，AC,2。相交于點。，且。是AC、8。的中點，點E在四邊形ABC。外，且N

AEC=NBED=90°,求證：四邊形ABC。是矩形.

14.如圖，口42。的對角線AC,3。相交于點。，將△AB。平移到△OCE,已知40=1,

B0=2,

求證：四邊形OCED是矩形.

15.如圖，在口48?！?中，E、G分別是A3、的中點，S.AH=CF,AH//CF.

(1)求證：LAEH咨4CGF；

(2)連接切，若打求證：四邊形EEGH是矩形.

參考答案

選擇題

1.解：,:DE=3BE,

：.BD=4BE,

?.?四邊形A8C。是矩形，

:.BO=DO=1~BD=2BE,

2

:.BE=EO,

y.'：AE±BO,

：.AB=AO,

：.AB=AO=BO,

：.AABO是等邊三角形，

AZABO=60°,

AZADB=30°,

y,'：AE±BD,

.,.AE=AAD=3,

2

故選：B.

2.解：連接BE,如圖所示：

：8尸是△BCE的中線，

SNCE=2SNCF=12,

又?..矩形ABCD與ABCE同底等高，

矩形ABC。的面積=2XSABCE=24.

故選：B.

3.解：VZBAC=90°,且BA=3,AC=4,

,'-BC=VBA2+AC2=5,

,：DM1AB,DN1.AC,

：.ZDMA^ZDNA^ZBAC=90°,

四邊形OMAN是矩形，

：.MN=AD,

，當(dāng)AD±BC時，AD的值最小，

此時，ZkABC的面積=LB><AC=XBCXA。，

22

..AD=ABXAC^12,

BC5

；.MN的最小值為」2；

5

故選：A.

4.解：設(shè)NA。b=3x,ZFDC=2x,

???四邊形A5CD是矩形，

AZADC=90°,

???2x+3x=90°,

：.x=18°,

即/尸。。=21=36°,

9：DF±AC,

：.ZDMC=90°,

：.ZDCO=90°-36°=54°,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AC=2OCfBD=2OD,AC=BD,

：.OD=OC,

：.ZBDC=ZDCO=54°,

：.ZBDF=ZBDC-ZFZ)C=54°-36°=18°,

故選：A.

5.解：???四邊形ABC。是矩形，

AZABC=90°,AE=BE,

：.ZBAC=9Q°-ZACB=90°-52°=38°,

AZABD=ZBAC=38°,

???AM平分N5AC,

AZBAM=ZCAM=AzBAC=Ax38°=19°,

22

'：BF±AM,

：.ZABF=90°-ZBAM=90°-19°=71°,

：.ZDBF=ZABF-ZABD=H0-38°=33°,

故選：c.

6.解：???在矩形ABC。中，AE平分NBA。，

：.ZBAE=ZEAD=45°,AD//BC,OA=OB.

：.ZAEB=ZEAD=45°,

：.BE=BA.

9：ZCAE=15°,ZBAE=45°,

：.ZBAC=6Q°,

又?.?。4=03,

：./\OAB為等邊三角形，

：.BO=BA,

；?BO=BE,

：.ZBOE=ZBEO,

,：AOAB為等邊三角形，

???NA8O=60°,

：.ZOBE=90°-60°=30°,

:?/BOE=(180°-30°)4-2=75°.

故選：B.

9

7.解：：AB//DCf

：.ZADC+ZBAD=1SO°,且NQAB=56°,

AZADC=U4O,

???將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABCD\

：.ZADC=ZADC=124°,

.'.Zl=124°+124°-180°=68°,

故選：D.

8.解：A.根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABC。為矩形，故

此選項不符合題意；

B.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形A5CD為矩形，故此選項不符

合題意；

C.不能判定平行四邊形A3CD為矩形，故此選項符合題意；

D.平行四邊形A5CD中，AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

：.ZBAD=ZADC=90°,

根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不

符合題意.

故選：C.

9.解：A、AB//DC,AD=BC,無法得出四邊形A3CD是平行四邊形，故無法判斷四邊形

A8CD是矩形.故錯誤；

9

B、：AB//CDf

：.ZBAD-^-ZADC=ZABC+ZBCD=180°,

?：NBAD=NBCD,

：.ZABC=/ADC,

???得出四邊形ABCD是平行四邊形,

*：AC=BD,

???四邊形ABC。是矩形.故正確；

C、9：AO=CO,AB=BC,

：?BD工AC,ZABD=ZCBD,

9：AB//CD,

：.NABD=/CDB,

：.ZCBD=ZCDB,

:?BC=CD,

：.AB=CD,

???四邊形A5CD是菱形，無法判斷四邊形ABC。是矩形.故錯誤；

D、AO=OB,可無法判斷四邊形ABC。是矩形，故錯誤；

故選：B.

D

o

二.填空題

10.解：連接。尸，如圖：

?.?四邊形ABC。是矩形，

AZABC=90°,OA^OC,OB=OD,AC=BD,

：.OA=OB,^c=^AB2+BC2=V82+62=10,

?'?S矩形ABCD=A3?BC=48,SAAOB=A矩形ABCD=12,OA=OB=5,

4

SAAOB=S^AOP+S^BOP=AOA?PE+lvB?PF=1-OA(PE+PF)=JLX5X(PE+PF)

2222

12,

.?.PE+PF=-？1；

5

故答案為：24

5

三.解答題

11.(1)證明：①：CE平分/ACB,

：.NOCE=NBCE,

'JBOLCE,

；.NCFO=/CFB=90°,

在△OC尸與△BCF中，

，Z0CE=ZBCE

-CF=CF-

LZCFO=ZCFB

:.AOCFmABCF(ASA),

：.OC=BC；

②：點。是AC的中點,

：.OA=OC,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZADO=ZCBO,

在△04。與△OCB中，

，ZDAO=ZBCO

<OA=OC，

kZADO=ZCBO

:.△OAD學(xué)△OCB(ASA),

：.AD=BC,

'：AD//BC,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

?/OE±AC,

：.ZEOC=9Q°,

在△OCE與△BCE中，

'CE=CE

-ZOCE=ZBCE-

LOC=BC

:.△OCE冬4BCE(SAS),

：.ZEBC=ZEOC=90°,

四邊形ABC。是矩形；

(2)解：：四邊形ABCD是矩形，

：.AD=BC=3,ZDAB=90°,AC=BD,

：.OB=OC,

：OC=BC,

：.OC=OB=BC,

:AOBC是等邊三角形，

：.ZOCB=60°,

：.ZECB=1-/OCB=30°,

2

VZ￡BC=90°,

:.EB=LEC,

2

,：BE2+BC2^EC2,BC=3,

VOE±AC,OA=OC,

：.EC=EA=2^

在Rt^A。石中，ZDAB=9Q°,

DE=VAD2+AE2=7S2+(2V3)2=倔，

12.證明：(1):四邊形ABC。是矩形，AFXDE,

C.AD//BC,AD=BC,AB=CD,ZC=ZAFD=90°,

ZADE=/DEC,

,:DE=BC,

：.AD=DE,

在△A。尸和△DEC中，

，ZAFD=ZC=90°

-ZADE=ZDEC，

,AD=DE

AAADF^^DEC(AAS),

J.AF^CD,

：.AF=AB；

(2)AD,BC,￡>E的長度等于2;巨42,

3

理由如下：AADF^ADEC,

：.CE=DF,

:.BE=EF,

；BE=DF,

；.BE=EC=DF=EF,

：.DE=2EC,

\"DE1=EC1+CD1,

:.DE=2MAB,

3_

:.AD=BC=DE=冬叵AB.

3

13.證明：連接￡0,如圖所示：

TO是AC、的中點，

：.AO=CO,BO=DO,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

在RtAEBZ）中，

；0為BD中點，

；.EO=1￡D,

2

在Rt/XAEC中，為AC中點,

:.EO=1AC,

2

C.AC^BD,

又?:四邊形ABCD是平行四邊形,