中考數(shù)學(xué)中的常見基本圖形與典型例題

2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)中的常見基本圖形與典型例題（全國通用）

★★★第一]弱分：線段最值問題常見題型及作圖方法★★★

問題作法圖形（自己畫）原理

?B在直線a上找一

A.3點P,使PA+PB?B

連接AB--------------------a兩點之間，線段最短

最小A，

.B在直線a上找一?B

A?點P,使PA+PB一次軸對稱A?兩點之間，線段最短

--------------------a--------------------a

最小

在直線a、b上分A

別求點M、N,使

/叩A(chǔ)PMN的周長最二次軸對稱兩點之間，線段最短

乙-----------------b?

小

a在直線a、b上分zL

/p別求點M、N,使

二次軸對稱兩點之間，線段最短

/.Q四邊形PMNQ的

/b周長最小

.B在直線a上求兩

點、在左）,

MN（MA

先平移，后一次軸\--ya（己畫）

一一？且城=2為定長，兩點之間，線段最短

對稱

MN并使AM+NB最小M

E'

B在直線a上找一

A?B

2點P,使IPA-PBI三角形的任意兩邊之

--------------------a日.三點共線

最大—------------------------a差小于第三邊

P

（已畫）

A在直線a上找一

A

,*點P,使IPA-PB先對稱,后三點共.三角形的任意兩邊之

--------------------a

最大線差小于第三邊

?B?B

萬點P在銳角的內(nèi)

/部，在邊a上求作

,P一點D,在邊b上先對稱，后垂直，已畫，垂線段最短

b求作一點C,使

C*

PC+CD最小

/N點A為射線OM

上定點，點B、C

為動點，且點B

先對稱，后垂直垂線段最短

cA在角平分線上，

點C在射線0并上，使BA+BC最小CA

值時點B、C的位置

p定直線上有一定長

A'^--------弁A；

A的動線段AB,線外、八

/[有一定點P,線段AB當(dāng)定點P在線段\z、

AB的中垂線上即兩點之間，線段最短

AB在何處時，PA+PB有

可

最小值

ABA,B1

1

【補充1】、沿河岸垂直架橋所走路程最短問題（不屬于將軍飲馬問題）；

【補充2】、利用點的運動軌跡求最值問題

【補充3］、胡不歸問題：求形如PA+'PB的形式（2<1）的最小值，且起點A是定點，終點B是定

mm

點；動點P在定直線上；（常常在自主招生考試中出現(xiàn)）

【補充4】、阿波羅尼斯圓中的最值問題（常常在自主招生考試中出現(xiàn)）

練習(xí)1.（2013?鄂州）如圖，已知直線2〃卜且a與b之間的距離為4,點A到直線a的距離為2,點B

到直線b的距離為3,AB=2而.試在直線a上找一點M,在直線b上找一點N,滿足MN，a且AM+MN+NB

的長度和最短，則此時AM+NB=（）

A.6B.8C.10D.12

垂直河岸架橋問題：通過平移、共線的方法化折線型為

直線型，即構(gòu)造平行四邊形，找共線。

練習(xí)2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A是x軸正半軸上任意一點，點B是第一象限角平分線上一點（不

含原點），AB=2,ZA0B=45°,以AB為一邊作正AABC,則（提示：把正aABC看作靜止，頂點0在動）

（1）z^AOB外接圓的半徑是V2

（2）點C到原點0的距離為s,則s的取值范圍是

?模仿?、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A從點0開始沿x軸的正方向移動，點B在/xOy平分線上移動,

移動中保持AB=2不變，以AB為一邊，在AB右側(cè)作正方形ABCD,線段0C的最大值是

X

練習(xí)3、（胡不歸問題）如圖所示，點A為直線/外一定點，點B、C為直線/上兩定點，且AB=2,NABO15。，

點P為直線/上的動點，請確定點P的位置，使AP+’BP最小，并求出這

2

個最小值。（注意：A、B為定點，P為動點）

現(xiàn)在你來開始計算：

A

CC

fqn

步驟總結(jié)：第一步：將所求線段和改寫為PA+—PB的形式(一＜1)

第二步:以BP為角的一邊，AB異側(cè)的另一邊，構(gòu)造一個角度a,使得sina=2

第三步：過A作第二步所構(gòu)造的角的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值(垂線段最短)

第四步：計算

?模仿?、如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,A(0,2圾)，C(1,0),D為射線A0上一點，一動

點P從A出發(fā)，運動路徑為A-D—3點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少,

則點D的坐標(biāo)應(yīng)為

4

A

B0

?模仿?、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(0,-遮)，

C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；

(2)若P為y軸上的一個動點，連接PD,則LPB+PD的最小值為:

DCx

?模仿?、如圖，在4ACE中，CA=CE,NCAE=30°,。0經(jīng)過點C,且圓的直徑AB在線段AE上.

(1)試說明CE是00的切線；

(2)若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。0的直徑AB；

(3)設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接0D,當(dāng)LCD+OD的最小值為6時，求。0的直徑AB

的長.

3

提高1、(2009北京)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，^ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(—6,0),B(6,0),

C(0,4百)，延長AC到點D,使CO=，AC,過D點作DE〃AB交BC的延長線于點E.

2

(1)求D點的坐標(biāo);

(2)作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周

長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

?(3)設(shè)G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達(dá)

G點，再沿GA到達(dá)A點.若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2

倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達(dá)A點所用的時間最短.(要求：簡

述確定G點位置的方法，但不要求證明)

k

提高2、(2014年成都)如圖，已知拋物線y=t(x+2)(x—4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左到右依

8

次交于A,B兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線曠=-左》+匕與拋物線的另一交點為D。

(1)若點D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若在拋物線的第一象限上存在一點P,使得以A、B,P為頂點的三角形與AABC相似，求k的值；

?(3)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF。一動點M從A出發(fā)，沿線段AF

以每秒1個單位的速度運動到F,在沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止。當(dāng)點F的坐標(biāo)是多

少時，點M在整個運動過程中用時最少？

4

阿波羅尼斯圓（阿氏圓）中的最小值問題

概念：已知平面上兩定點A、B,則所有滿足二=k（k>0,且k不等于1）的點P的軌跡是一個圓，這

PB

個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓。

阿波羅尼斯圓到底是如何畫出來的？

DA1

如圖所示，已知定線段AB,P為動點，且——=-,畫出點P的軌跡

PB3

r1AD1

第一步：在線段AB上找點C,使上A=上，在線段BA延長線上找點D,使2上=上

CB3DB3

AC

第二步：以線段DC為直徑畫圓，該圓即為點P的運動軌跡

例題、在AABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以C為圓心，4為半徑的圓上有一個動點D,連接AD、BD>CD,

“答案圖形

A

掌握套路：（1）看到題中的』BD,立刻要想：BD充當(dāng)哪個三角形的一邊，該三角形的另外兩邊之比為,？

22

顯然是aBCD（因為"CD=士1）；

BC2

（2）接下來就要構(gòu)造一個三角形與4BCD相似，且相似比為工（這兩個相似三角形共用一個兩邊之比,所

22

形成的夾角），方便將」BD用一條線段表示出來（化分?jǐn)?shù)為整數(shù)）。

2

CF1I

（3）在aBCD,取動點D所對邊BC上一點F,使一=一，則CF=2,易得4CFDs^CDB,【顯然FIA—BD】，

CD2

阿波羅尼斯圓何時登場的呢？

【顯然FD=，BD］，這時”=’,一動點D到兩定點B、F的距離為定值，動點D的運動軌跡就是阿

2DB2

波羅尼斯圓。（曇花一現(xiàn)）

阿氏圓本質(zhì)與胡不歸不同，阿氏圓中求最小值關(guān)鍵：構(gòu)造相似三角形（對應(yīng)線段成比例，夾角相等），

從而化分為整，最后轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短問題。

5

練習(xí)4、（阿波羅尼斯圓）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4,以點B為圓心，半徑為2畫圓，且點P為

圓B上的動點，求PD+LpC的最小值；求PD-'PC的最大值

22

?模仿?、如圖，半圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1,BD=2,P為眾上一動點，求返PC+PD

2

的最小值.

?模仿?、問題提出：如圖1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,（DC半徑為2,P為圓上一

動點，連結(jié)AP,BP,求AP+’BP的最小值.（阿波羅尼斯圓）

2

嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點D,使CD=1,則

CDCP1PD111

有一=一=-,XVZPCD=ZBCP,AAPCD^ABCP,?'?一=-,.\PD=-BP,.\AP+-BP=AP

CPCB2BP222

+PD.

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+^BP的最小值為

2

自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，!AP+BP的最小值為

3

拓展延伸：已知扇形COD中，ZC0D=90°,0C=6,0A=3,0B=5,點P是弧CD上一點.，求2PA+PB的最

小值.

6

★★★第二部分：與三角形相關(guān)的模型★★★

【一】、蝴蝶定理模型

如右圖所示，任意四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,

形的面積分別為&、&、S3、S”則有如下關(guān)系式：

①B°=邑=區(qū)=5‘2+S3.②4°_^1_^2_Si+S].③

-S,-S-S,+S：'

'DO44CO~S4~S3~S4+S3;

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)

則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

梯形中的比例關(guān)系（梯形蝴蝶定理）一一可自己去推理一下

①S.-.S^a-.b2

②S、：：S、：S4=a":b，:ab:ab；

③梯形S的對應(yīng)份數(shù)為（“+與2

平行四邊形中的比例關(guān)系（變異的蝴蝶定理）一一可自己去推理一下

如右圖所示，在》BCD中，EF、GH均與對邊平行，所形成的四個小平

行四邊形的面積關(guān)系為：S,XS.,=S2XS3

練習(xí)1、四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E,且E為AC中點，那么

SAABD-SACBD,若AE：EC=1：3,那么SAABD:SACBD-

B

練習(xí)2、（2018學(xué)年武陽中學(xué)八升九開學(xué)時考過此題）我們知道兩個三角形，若

它們的高線相等，那么這兩個三角形的面積之比等于這兩條高線相對應(yīng)的底邊之

cRD

比。即：如圖所示，D為aABC邊BC上一點，則3^-叱

CD

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,四邊形ABCD的對角線將四邊形ABCD分成四個三角形，其中三塊面積分別為9,

6,8,則第四塊三角形的面積為多少？

（2）類比延伸：如圖2,點E、F、G、H是平行四邊形ABCD的四邊上的點，EF、GH將四邊形ABCD劃分為

四個平行四邊形，其中三個平行四邊形的面積分別為20,15,27,求平行四邊形ABCD的面積；

圖1圖2

7

(3)拓展探究：如圖3,矩形ABCD四個頂點A、B、C、D分別在y=&(ki>0,x>0),y=-^-(k2<0,

XX

x<0),y=&(k3>0,x<0),y=b(k4<0,x>0)的圖象上，且AB〃x軸，BC〃y軸，請直接寫出L、

xx

k2>k3、k,滿足的數(shù)量關(guān)系式.

(4)解決問題：如圖4,平行四邊形ABCD中，點E、F分別為AB,BC邊上的一點，且aAED、ABEF,

△DCF的面積分別為3,4,5,求4DEF的面積。(key：2歷)

【二】、燕尾定理模型(圖形像燕子的尾巴)

燕尾定理：在aABC中，AE,BF,CD相交于同一點G,有

SAABG：SAAGC-SABGE：SAEGC=SAABE：SAACE=BE:EC

SABGA:S△BGC=SZSAGF:S^FGC=SABAF:SABCF=AF：FC

SAAGC：SABCG~SAADG：SADGB=SAACD：SABCD=AD：DB

SABGC：SABAC=GE：AE；SAAGC：SAABC=GF：BF；SAAGB：SAACB=GD：CD

練習(xí)1、如圖所示，Rt^ABC的頂點C在反比例函數(shù)y二一

x

斜邊上的中線DB與y軸交于點E,若S△的=2灰，則k=

練習(xí)2、如圖，RtaABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD的反向延長線交y軸負(fù)半軸

于E,雙曲線y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點A,若aBEC的面積為6,則k等于

X

8

3

練習(xí)3、（2014年成都中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=尤與雙

曲線y=9相交于點A,B兩點，C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點，連接CA并延長交

x

y軸于點P,連接BP、BC,若APBC的面積是20,則點C的坐標(biāo)為。

八149、

（key：—,—）

37

OAOBOC…OAOBOC

（自主招生試題）如圖所示,已知——+——+——=2018,貝ij——x——x——二

ODOEOFODOEOF

練習(xí)4、（2014年浙江舟山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=1x2上的一個動點，且點A在第

2

一象限內(nèi).AE_Ly軸于點E,點B坐標(biāo)為（0,2）,直線AB交x軸于點C,點D與點C關(guān)于y軸對稱，

直線DE與AB相交于點F,連結(jié)BD.設(shè)線段AE的長為m,ABED的面積為S.

（1）當(dāng)m=血時，求S的值.

（2）求S關(guān)于m（mw2）的函數(shù)解析式.

（3）①若S=?時，求處的值；

BF

②當(dāng)m>2時，設(shè)里k,猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明.

BF

9

拼命去模仿：1、在AABC中，AB=AC=5,BC=8,AD是AABC底邊BC的中線，點E是射線CA上的一動點,

過點E作EHLAD于點H,射線BH交射線CA于點F。設(shè)CE的長為m,△ABH的面積為S

（1）當(dāng)m=2時，求S的值

（2）當(dāng)S=2時，求變的值

AF

（3）當(dāng)mH5時，設(shè)空二k,請直接寫出k與m的數(shù)量關(guān)系

AF

10

2、在任意三角形ABC中,G、H、K為BC、AC、AB邊上，且BG=nGC,CH=nHA,AK=nKB?AG、BH、CK三線相

交于點D、E、F。那么^DEF與AABC的面積之比是多少？

解析：過點G作GP〃AB,GT〃BH,易得GP二」一BK=―1—AK,從而

n+1n+1)

可得AF=n(n+l)FG

1117

易得FG二----------AG,接下來：CT二----CH二-----IIA,

n(n+1)+1n+1〃+1

AT=AC-CT=(n+l)AH-/一HA=U±lAH,故網(wǎng)AD

71+1〃+1AT+〃+17G

進(jìn)一步得出：AD：DF：FG=(n+1)：(n2-l)：1

同理BE：ED：DH=(n+1)：(n-l)：1

(特別注意：皇正="=萼二L

SAAEGAGn~+n+\

_ED_]S.BG_BG_n

SAA8GBDn+n^SABCBC〃+l

.SAOEF_(〃-1/

??一

SMBC〃+鹿+1

接下來你用燕尾定理來試一試(用等份法來解決，一定要設(shè)某個面積為“單位1”)

解：連接BF

SMCF_\S^c尸_1

S^ACF〃S^BFn

設(shè)SzxBckl,貝！JSz^c尸n,SAABI-'=H2,SA\Bc=l+n+rT

同理可得，Sz\ABD=SABCI-=SAACF=n

.SXDEF]+〃+〃-_M—n—n(n—1)"

??~~二-------------------二~~Z-------

S^Bc1+〃+〃〃―+〃+1

11

3、如右圖，△ABC中中，BD：DC=4：9,CE：EA=4：3,求AF：FB的值.

解法一：（用相似）過點D作DP〃AC,DQ〃AB,分別交于點P、Q

解法二：（燕尾定理）SAAOB：S△.=BD：CD=4：9=12：27

SAAOB：SZ\BOC=AE：CE=3：4=12：16

所以SAAOC：SABOC=27：16=AF：FB

（溫馨提醒：都有aAOB,所以它的面積要統(tǒng)一，因此找最小公倍數(shù)）

（練一練感覺）如圖，AABC的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部

分的面積各是多少？（用等份法來解決，一定要設(shè)某個面積為“單位r）

q?q1i

=

解：如圖1所不，連接PC,一絲絲=—,—必3戶=—,易得SiABP—

SAACP2S&CBP25

—"BQ=—,易得SAMQ=2,故S&\PQ=2-J_=,SAAQC=---1

連接CQ,

SACBQ2775353721

…213121

連接MC,同理可得S/XBPM二———二--,SABI)M=---二

75353721

q11?3_9

連接NC,生_二2,—空處-=2,易得S/XABN二一，所以四邊形PMNQ二一-一

CNS^CBN22735-70

接下來的三個四邊形的面積就太好算了。

12

【三】、相似三角形中的經(jīng)典模型

第一種：一線三等角（特例是一線三垂直）?相似三角形中的一朵奇葩

1、特殊形式的K型圖。

一提起K形圖，相信大家想到的是右側(cè)這種圖形（有些人也稱它為一線三垂直）：

B,C,E三點共線，ZB=ZACD=ZE=90°,則△ABCs^CED

所以當(dāng)僅有一個直角時，需要作垂線段，構(gòu)造直角三角形，如下圖所示:

2、其實上面的這些只是K形圖的特例（特例考得次數(shù)更多）。下面就是K形圖的一般形式：B,D,C

三點共線，ZB=ZEDF=ZC=a,△BDEs^CFD（有垂直型K型圖，也有銳角型、鈍角型K型圖）

當(dāng)NB=NEDF=N（:時，△EBDS/\DCF

當(dāng)/B=/EDF=NC,且BD=CD時，△EBDs/\DCFs/\DEF（ED、FD分別平分NBEF、ZEFC）

3、雙K形圖（從一個點引出兩個直角，可以是現(xiàn)成的，也可以是作輔助線得出來的）。在RtAABC中，

ZCAB=90°,AD±BC,點E在AB邊上，，CE±EF?當(dāng)你過點E作EH_LAD,EQ±BC,則△EHGs2^EQF,可進(jìn)

一步得出￡F巴H=EG

EQ~EF

練習(xí)1、如圖，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,D、E分別為AB、CB上的點，且NCDE=45°，那么

一定有兩組三角形相似，你知道是哪兩組嗎？

練習(xí)2、如圖，在等邊三角形ABC中，ZACB=60°,D、E分別為AB、CB上的點，且/CDE=60°,那么一定

有兩組三角形相似，你知道是哪兩組嗎？

13

練習(xí)3、如圖，在等邊AABC中，D為AB邊上一點，E為BC邊上一點，且NADC+NEDB=120°,AD=3,

BE=2,則4ABC的邊長為()

A.9B.12C.16D.18

練習(xí)4、如圖,等邊三角形ABC的邊長為3,點P為BC邊上一點，且BP=1,點D為AC邊上一點,若NAPD=60°,

則CD的長為().

123

A.—B.一C.—D.1

234

練習(xí)5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點，點A(-4,0),點C(0,5),點B(0,b)(b>0),

P是直線AB上的一個動點，作直線PD_Lx軸，垂足為點D,連接PC、AC、0P。設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a。

(1)當(dāng)直線AB經(jīng)過點C時，求直線AB的解析式；

(2)當(dāng)a=3時,

①若OP〃AC,求b的值；

②若點C關(guān)于直線0P的對稱點在直線PD上，求b的值；

(3)當(dāng)0<b<5時，是否同時存在a,b使aACP為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a,

14

練習(xí)6、(2013?紹興)在aABC中，ZCAB=90°,AD_LBC于點D,點E為AB的中點，EC與AD交于點G,

點F在BC上.

(1)如圖1,AC：AB=1：2,EF±CB,求證:EF=CD.

練習(xí)7、在等邊△ABC中，AB=8,P為AB的中點，小慧拿著含60°角的透明三角板，使60°角的頂點落

在點P,將三角形繞點P旋轉(zhuǎn)，三角形兩邊與線段AC交于點F,與射線BC交于點E.

(1)如圖1,當(dāng)/APF=60°時，AF?BE=—,如圖2,當(dāng)/APF=30°時，AF?BE=—；

(2)如圖3,當(dāng)30°</APF<60°時，小慧多次嘗試，得到一個猜想，AF?BE的值是一個常數(shù)，你認(rèn)為小

慧的猜想正確嗎？若正確，請寫出這個常數(shù)并給出證明，若不正確，請說明理由.

(3)如圖4,當(dāng)0°<ZAPF<30°時，連結(jié)EF,設(shè)EF=m,請用含m的式子表示PF?PE的值.

15

補充：【母子型】（考得特別多）偽射影定理-----射影定理AC2=ADXAB

對于垂直型的母子三角形，只要告訴任意兩條線段的長度，就可以求出該三角形中所有線段的長度

練習(xí)8、如圖（1）,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE1BC,垂足為點E,GF1CD,垂足為點F.

（1）證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形；

②推斷：地的值為：

BE

（2）探究與證明：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<45°）,如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）拓展與運用：

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H.若

AG=6,GH=2A/2>則BC=.

練習(xí)9、已知AB=2,AD=4,ZDAB=90°,AD〃BC,E是射線BC上動點（點E與點B不重合），M是線段

DE的中點。

（1）設(shè)BE=x,AABM的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（2）聯(lián)結(jié)BD,交線段AM于點N,如果以A,N,D為頂點的三角形與aBME相似，求線段BE的長。

16

第二種：“半角”型或互補型

圖1：ZiABC是等腰直角三角形，ZMAN=-ZBAC,結(jié)論：△ABNs/XMANs^MCA；

2

圖2:AADE是等邊三角形，ZDAE=-ZBAC,結(jié)論：△ABDsaCAEs/^CBA；

練習(xí)1、如圖所示，三角形ABC為等腰直角三角形，D、E為斜邊所在直/

線上的兩點，且NDAE=135°,那么哪三組三角形一定相似？DBCE

練習(xí)2、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,點E、F均在直

線BD上，且NEAF=135°,EB:DF=1:2,下列結(jié)論：

①△ABESAFDA；②/AEF=30°；③CF=2痣；④四邊形AECF

的面積為10,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）.D

A.1個B.2個C.3個D.4

個

【四】、角平分線，平行線，等腰三角形（知二推一）Q/_D

溫馨提醒：折痕也可充當(dāng)角平分線/

1、角平分線與平行線，等腰三角形一定會出現(xiàn)。AD為NCAB的平分線，.

且CD〃AB,那么圖中一定有一等腰三角形。AB

E

2、角平分線與等腰三角形，平行線一定會出現(xiàn)。\人

如圖所示，BE為/ABD的平分線（注意：有時題中的角平分線不會給的這么直接），BD=BC,/\

A、B、C三點共線，那么一定有BE〃CD,你知道為什么嗎？________1_______\

ABC

練習(xí)1、如圖所示，四邊形ABCD是鄰邊不相等的矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE,

AE與CD相交于點F。那么圖中的等腰三角形有幾個？

練習(xí)2、如圖所示，一張小長方形紙條ABCD沿著折痕EF折過之后所形成的三角形是什么三角形？折疊前

的面積與折疊后的面積相比，有何差別？

A

BFC

17

練習(xí)3、如圖所示，將矩形ABCD沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE,且AD:DC=3:4,那么DE:AC=

【注意：對于折疊圖形，當(dāng)出題人沒有畫出折疊前的虛線時，要自己補齊，這非常有利于做題】

練習(xí)4、如圖，正方形ABCD中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3DE.將4ADE沿AE對折至aAFE,延長EF

交邊BC于點G,連接AG、CF.下列結(jié)論：①△ABGg^AFG；②BG=GC；③AG〃CF；④SMGC=3.其中正確結(jié)

論的個數(shù)是（）C

練習(xí)5、如圖，對折矩形紙片ABCD,使BC與AD重合，折痕為EF,把紙片展平；再一次折疊紙片，使BC

與EF重合，折痕為GH,把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在GH上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B,

折痕BM交GH于點I。若AB=4cm,則GI的長為

練習(xí)6、（2012攀枝花）如圖所示，在形狀和大小不確定的aABC中，BC=6,E、F分別是AB.AC的中點,

P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分/CBP,設(shè)BP=y,PE=x.

（2）當(dāng)CQ=aCE（n為不小于2的常數(shù)）時，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

18

練習(xí)7、將矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點。為原點，頂點C、A分別在X軸和y軸上，0A=8,0C=10,

點E為0A邊上一點，連結(jié)CE,將△￡()(：沿CE折疊.

①如圖1,當(dāng)點0落在AB邊上的點D處時，求點E的坐標(biāo)；

②如圖2,當(dāng)點。落在矩形OABC內(nèi)部的點D處時，過點E作EG〃x軸交CD于點H,交BC于點G,設(shè)H(m,

n),求m與n之間的關(guān)系式；

(2)如圖3,將矩形OABC變?yōu)檫呴L為10的正方形，點E為y軸上一動點，將△￡()(：沿CE折疊.點0落

AT1

在點D處，延長CD交直線AB于點T,若一=—,求AT的長.(雙平等腰)

AO2

19

練習(xí)8、(2012年武漢)如圖1,點A為拋物線G:-2的頂點，點B的坐標(biāo)為(1,0),直線AB

-2

交拋物線G于另一點C.

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,平行于y軸的直線x=3交直線AB于點D,交拋物線C,于點E,平行于y軸的直線x=a交

直線AB于F,交拋物線Ci于G,若FG:DE=4:3,求a的值；

(3)如圖2,將拋物線G向下平移m(m>0)個單位得到拋物線C2,且拋物線C2的頂點為點P,交x

軸負(fù)半軸于點M,交射線BC于點N,NQLx軸于點Q,當(dāng)NP平分/MNQ時，求m的值.

x=3

解：(1)頂點為A(0,-2),B(1,0),y

???AB的解析式為：y=2x-2

y=2x-2

由<y^-1x,-2，得C(4,6)

2

(2)由圖可知D(3,4),E(3,J

3

；.DE=—，又FG:DE=4:3,

2

41*

.?.FG=-DE=2,依題可知F(a,2a-2,),G(a,-a-2),x

32

12a--a=2或2a-1a、-2,a=2或2