2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.5.3平面與平面平行素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章8.58.5.3A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1與直線(xiàn)A．AC∥截面BA1C1 B．AC與截面BA1CC．AC在截面BA1C1[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C∴AC∥面BA1C2．下列結(jié)論正確的是(C)①一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；②一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；③一個(gè)平面內(nèi)任何直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；④一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.A．①③ B．②④C．③④ D．②③④[解析]假如兩個(gè)平面沒(méi)有任何一個(gè)公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)平面平行，也即是兩個(gè)平面沒(méi)有任何公共直線(xiàn).對(duì)于①：一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，假如這兩條直線(xiàn)不相交，而是平行，那么這兩個(gè)平面相交也能夠找得到這樣的直線(xiàn)存在.對(duì)于②：一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，同①.對(duì)于③：一個(gè)平面內(nèi)任何直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.這是兩個(gè)平面平行的定義.對(duì)于④：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.這是兩個(gè)平面平行的判定定理.所以只有③④正確，選擇C．3．已知直線(xiàn)l、m，平面α、β，下列結(jié)論正確的是(D)A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[解析]如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，直線(xiàn)AB∥CD，則直線(xiàn)AB∥平面DC1，直線(xiàn)AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取BB1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線(xiàn)AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面4．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于直線(xiàn)DE，則DE與ABA．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能[解析]∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1．又AB∥A1B1，∴DE∥AB.5．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線(xiàn)段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′︰AA′＝2︰3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為(D)A．2︰5 B．3︰8C．4︰9 D．4︰25[解析]∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′︰AA′＝2︰3，∴A′B′︰AB＝PA′︰PA＝2︰5．同理B′C′︰BC＝A′C′︰AC＝2︰5．∴△A′B′C′與△ABC相像，∴S△A′B′C′︰S△ABC＝4︰25．二、填空題6．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線(xiàn)a，在β內(nèi)總存在直線(xiàn)b∥a，則α與β的位置關(guān)系是__平行__(填“平行”或“相交”).[解析]假如α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線(xiàn)a，設(shè)a∩l＝A，對(duì)于β內(nèi)的隨意直線(xiàn)b，若b過(guò)點(diǎn)A，則a與b相交，若b不過(guò)點(diǎn)A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線(xiàn)b∥a.故α∥β.7．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，過(guò)BB1的中點(diǎn)E作一個(gè)與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則eq\f(MN,AC)＝__eq\f(1,2)__.[解析]∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性質(zhì)定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E為BB1的中點(diǎn)，∴M，N分別為BA，BC的中點(diǎn)，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).8．如圖，a∥α，A是α的另一側(cè)的點(diǎn)，B、C、D∈a，線(xiàn)段AB、AC、AD分別交平面α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝__eq\f(20,9)__.[解析]∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴eq\f(EG,BD)＝eq\f(AF,AF＋FC)，則EG＝eq\f(AF·BD,AF＋FC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).三、解答題9．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點(diǎn).求證：平面AFH∥平面PCE.[解析]因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面[解析]當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，∴QB∥PA.而QB?平面PAO，PA?平面PAO，∴QB∥平面PAO.連接DB，∵P、O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，∴PO為△DBD1的中位線(xiàn)，∴D1B∥PO.而D1B?平面PAO，PO?平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．a(chǎn)、b、c為三條不重合的直線(xiàn)，α、β、γ為三個(gè)不重合平面，現(xiàn)給出六個(gè)結(jié)論.①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③α∥c，β∥c?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤α∥c，a∥c?α∥a；⑥a∥γ，α∥γ?α∥a.其中正確的結(jié)論是(C)A．①②③ B．①④⑤C．①④ D．①③④[解析]①平行公理.②兩直線(xiàn)同時(shí)平行于一平面，這兩條直線(xiàn)可相交、平行或異面.③兩平面同時(shí)平行于始終線(xiàn)，這兩個(gè)平面相交或平行.④面面平行傳遞性.⑤始終線(xiàn)和一平面同時(shí)平行于另始終線(xiàn)，這條直線(xiàn)和平面或平行或直線(xiàn)在平面內(nèi).⑥始終線(xiàn)和一平面同時(shí)平行于另一平面，這條直線(xiàn)和平面可平行也可能直線(xiàn)在平面內(nèi).故①④正確.2．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點(diǎn)，過(guò)C1，B，MA．eq\f(3\r(5),2) B．eq\f(9,2)C．eq\f(9,8) D．eq\f(3\r(5),8)[解析]取AA1的中點(diǎn)N，連接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面為梯形，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2)，MC1＝BN＝eq\r(5)，所以梯形的高為eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面積為eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2).3．已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是(D)A．0 B．2C．4 D．6[解析]連接EG，EH，EF，F(xiàn)G，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG?平面EFGH，EH?平面EFGH，AB′?平面AB′D′，AD′?平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH內(nèi)的每條直線(xiàn)都符合條件.故選D．4．(多選題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，線(xiàn)段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A－BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值[解析]對(duì)于A，如圖1，AB1∥DC1，易證AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正確；對(duì)于B，如圖2，S△AEF＝eq\f(1,2)EF·h1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(6),4)，點(diǎn)C到平面AEF的距離為點(diǎn)C到平面AB1D1的距離d為定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(6),4)×d＝eq\f(\r(6),4)d為定值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖3，S△BEF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，點(diǎn)A到平面BEF的距離為A到平面BB1D1D的距離d為定值，所以VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×d＝eq\f(1,2)d為定值，C正確；對(duì)于D，如圖4，四面體ACDF的體積為VA－CDF＝VF－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3＝eq\f(9,2)為定值，D正確.故選ACD．二、填空題5．如圖是四棱錐的平面綻開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E、F、G、H分別為PA、PD、PC、PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有__①②③__.(填序號(hào))[解析]把平面綻開(kāi)圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個(gè)側(cè)面，則它們兩兩相交.∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿(mǎn)意__點(diǎn)M在FH上__時(shí)，有MN∥平面B1BDD[解析]∵FH∥BB1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴當(dāng)M∈FH時(shí)，MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．三、解答題7．如圖所示，P為□ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？證明你的結(jié)論.[解析](1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD.又因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下：如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝eq\f(1,2)CD.而CDAB，M為AB的中點(diǎn)，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE.又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平