2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章算法初步2.1算法的基本思想學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE1算法的基本思想考綱定位重難突破1.初步感受算法的思想，理解算法的含義.2.體會(huì)設(shè)計(jì)算法的基本思路.3.明確算法的特征.重點(diǎn)：對(duì)算法概念、算法思想的理解.難點(diǎn)：算法的應(yīng)用.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第23頁[自主梳理]算法的含義、性質(zhì)及作用[雙基自測(cè)]1．下列不是算法的性質(zhì)的是()A．有序性 B．確定性C．有窮性 D．唯一性答案：D2．算法的每一步都應(yīng)當(dāng)是確定的、能有效執(zhí)行的，并且得到確定的結(jié)果，這是指算法的()A．有窮性 B．確定性C．邏輯性 D．不唯一性解析：算法的過程和每一步的結(jié)果都是確定的，即確定性．答案：B3．下列語句能稱為算法的是()①撥打本地電話的過程為：a.提起話筒；b.撥號(hào)；c.等通話信號(hào)；d.起先通話；e.結(jié)束通話．②利用公式V＝Sh，計(jì)算底面積為3，高為4的三棱柱的體積．③x2－2x－3＝0.④求全部能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，….A．①②B．①③C．②④ D．①②④解析：算法通常是指依據(jù)肯定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．①②各表達(dá)了一種算法；③只是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，不是明確的步驟；④中步驟是無窮的，與算法步驟的有限性沖突．答案：A授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第23頁探究一算法的概念[典例1]下列對(duì)算法的理解不正確的是()A．一個(gè)算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無限的B．算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算依次構(gòu)成的完整的解題步驟C．算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果D．一個(gè)問題只能設(shè)計(jì)出一個(gè)算法解析：選項(xiàng)推斷緣由分析A√算法的有限性指包含的步驟是有限的B√算法的明確性是指每一步都是確定的C√算法的每一步都是確定的，且每一步都應(yīng)有確定的結(jié)果D×對(duì)于同一個(gè)問題可以有不同的算法答案：D理解算法的關(guān)鍵點(diǎn)(1)算法事實(shí)上是解決問題的一種程序性方法，它通常解決一類問題，用算法解決問題，體現(xiàn)了從特別到一般的數(shù)學(xué)思想．(2)推斷一個(gè)問題是否有算法，關(guān)鍵看是否有解決某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必需是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成．1．以下關(guān)于算法的說法正確的是()A．描述算法可以有不同的方式，可用形式語言也可用其他語言B．算法可以看成依據(jù)要求設(shè)計(jì)好的有限的準(zhǔn)確的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問題C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作必需準(zhǔn)確，不能模糊不清，而且經(jīng)過有限步或無限步后能得出結(jié)果D．算法要求按部就班地執(zhí)行，每一步可以有不同的結(jié)果解析：由算法的概念可知，求解某一類問題的算法不是唯一的，故A正確；算法可以看成依據(jù)要求設(shè)計(jì)好的有限的準(zhǔn)確的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列能解決一類問題，故B不正確；算法是有限步的，結(jié)果具有明確性，C不正確；算法的每一步操作必需是明確的，不能有歧義或模糊不清，故D不正確．故選A.答案：A探究二數(shù)值型計(jì)算的算法設(shè)計(jì)[典例2]寫出解方程x2－2x－3＝0的算法設(shè)計(jì)．[解析]法一：算法步驟如下：1．移項(xiàng)得x2－2x＝3.①2．①兩邊同加1并配方得(x－1)2＝4.②3．②兩邊開方得x－1＝±2.③4．解③得x＝3或x＝－1.法二：1.計(jì)算方程的判別式并推斷其符號(hào)：Δ＝22＋4×3＝16>0：2．將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)得x1＝3，x2＝－1.對(duì)于數(shù)值型計(jì)算問題的算法，可以借助數(shù)學(xué)公式采納數(shù)學(xué)計(jì)算的方法，將過程分解成清楚的步驟，使之條理化即可．但應(yīng)留意多個(gè)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)應(yīng)分步計(jì)算，依次進(jìn)行，直到算出結(jié)果．2．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個(gè)算法．解析：法一：1.計(jì)算1＋2得3；2．將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加得到6；3．將其次步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加得到10；4．將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加得到15；5．將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加得到21.法二：1.將原式變形為(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7；2．計(jì)算3×7；3．得到運(yùn)算結(jié)果．探究三實(shí)際生活中的算法設(shè)計(jì)[典例3]一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，該船最多可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物．沒有人在的時(shí)候，假如狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃羚羊．此人如何才能將動(dòng)物平安轉(zhuǎn)移過河？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法．[解析]詳細(xì)算法步驟如下：1．人帶兩只狼過河，并自己返回．2．人帶一只狼過河，并自己返回．3．人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回．4．人帶一只羚羊過河，并自己返回．5．人帶兩只狼過河．解決此類問題．需先建立過程模型，通過模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述，設(shè)計(jì)詳細(xì)的數(shù)學(xué)問題的算法，事實(shí)上就是尋求一類問題的算法，它可以通過計(jì)算機(jī)來完成．設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個(gè)明確的步驟，然后用計(jì)算機(jī)能接受的“語言”精確地描述出來．3．在解放斗爭(zhēng)中，有一名戰(zhàn)士接到吩咐，要求在最短的時(shí)間內(nèi)配制出三副炸藥，但是由于條件艱苦，稱量物品的天平只剩下50g和5g兩個(gè)砝碼，現(xiàn)有495g硫磺，如何設(shè)計(jì)算法使稱量的次數(shù)最少？需稱量多少次？解析：算法如下：第一步，計(jì)算出495g硫磺分成三等份，每份應(yīng)為165g.其次步，用5g砝碼稱出5g硫磺．第三步，用5g砝碼和5g硫磺共同稱出10g硫磺．第四步，用50g砝碼稱出50g硫磺．第五步，用50g砝碼和50g硫磺共同稱出100g硫磺．第六步，把5g、10g、50g、100g硫磺混合，構(gòu)成165g硫磺，也就是一份硫磺．第七步，用這一份硫磺再稱出165g硫磺，余下的作為一份．由上述方法可以看出，這種算法共須要稱量5次．算法設(shè)計(jì)中的分類探討思想[典例]給出解方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為實(shí)數(shù))的一個(gè)算法．[解析]算法步驟如下：1．當(dāng)a＝0，b＝0，c＝0時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)．2．當(dāng)a＝0，b＝0，c≠0時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根．3．當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，原方程的解為x＝－eq\f(c,b).4．當(dāng)a≠0且b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).5．當(dāng)a≠0且b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1＝x2＝－eq\f(b,2a).6．當(dāng)a≠0且b2－4ac[感悟提高]在解決問題時(shí)由于條件的改變，問題的結(jié)果有多種狀況，不能用同一標(biāo)準(zhǔn)或同一種方法去解決，這就須要用分類探討的思想對(duì)條件狀況進(jìn)行探討，本題分a＝0和a≠0兩種狀況，而a＝0和a≠0每種狀況下又分三種情形．[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第25頁1．下列描述不是解決問題的算法的是()A．從中山到北京先坐汽車，再坐火車B．解一元一次方程的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1C．方程x2－4x＋3＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根D．解不等式ax＋3>0時(shí)，第一步移項(xiàng)，其次步探討解析：A選項(xiàng)：從中山到北京，先坐汽車，再坐火車，解決了怎樣去的問題，所以A是解決問題的算法；B選項(xiàng)：解一元一次方程的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，解決了怎樣解一元一次方程的問題，所以B是解決問題的算法；D選項(xiàng)：解不等式ax＋3>0時(shí)，第一步移項(xiàng)化為ax>－3，其次步探討a的符號(hào)，進(jìn)而依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，求出不等式的解集，解決了怎樣求不等式解集的問題，所以D是解決問題的算法．故選C.答案：C2．想泡茶喝，當(dāng)時(shí)的狀況是：火已經(jīng)生起了，涼水和茶葉也有了，開水沒有，開水壺要洗，茶壺和茶杯要洗，下面給出了四種不同的算法過程，你認(rèn)為最好的一種算法是()A．洗開水壺，灌水，燒水，在等待水開時(shí)，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，等水開了后泡茶喝B．洗開水壺，洗茶壺和茶杯，拿茶葉，一切就緒后，灌水，燒水，坐等水開后泡茶喝C．洗開水壺，灌水，燒水，坐等水開，等水開后，再拿茶葉，洗茶壺、茶杯，泡茶喝D．洗開水壺，灌水，燒水，再拿茶葉，坐等水開，等水開后，再洗茶壺、茶杯，泡茶喝解析：解決一個(gè)問題可以有多種算法，可以選擇其中最優(yōu)、最簡(jiǎn)潔、步驟盡可能少的算法．選項(xiàng)中的四種算法都符合題意，但算法A要比其余的三種算法科學(xué)，所以選A.答案：A3．給出下列算法：1．輸入x的值．2．當(dāng)x>4時(shí)，計(jì)算y＝x＋2，否則執(zhí)行下一步．3．計(jì)算y＝eq\r(4－x).4．輸出y.當(dāng)輸入x＝0時(shí)，輸出y＝________．解析：由于x＝0>4不成立，故計(jì)算y＝eq\r(4－x)＝2.答案：