2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)二（2019人教A版）含答案

2024-2025高二上期中模擬檢測(cè)二（2019人教A版）檢測(cè)范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A． B．C． D．2．（21-22高二上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（

）A． B． C．3 D．64．（22-23高二上·山東棗莊·期末）兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．6．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．67．（2023·北京海淀·二模）已知?jiǎng)又本€與圓交于，兩點(diǎn)，且．若與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則的最大值與最小值之差為（

）A． B．1 C． D．28．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（）A． B．C． D．10．（2022·山東青島·二模）已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交11．（23-24高二上·江西上饒·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在雙曲線C：上，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則（

）A． B．C．點(diǎn)P到x軸的距離為4 D．三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形中，E為的中點(diǎn)，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)D不在平面內(nèi)，則下命題中正確的序號(hào)為．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．13．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為.14．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分支．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且，的面積為10，，則拋物線方程為．

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（21-22高二·全國·課后作業(yè)）在①過點(diǎn)，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知圓E經(jīng)過點(diǎn)，且______.(1)求圓E的一般方程；(2)設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.16.(15分)（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知斜率存在的直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn).(1)若直線的斜率為1，為線段的中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)也在軸上，且不同于點(diǎn)，直線的斜率滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).17.(15分)（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為30°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18.(17分)（22-23高三上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)．19.(17分)（22-23高三上·天津河西·期末）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：題號(hào)12345678910答案CBAACCDDBCACD題號(hào)11答案BC1．C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.【詳解】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.2．B【分析】根據(jù)給定條件求出直線的斜率，再畫出圖形分析可得或，從而即可得解.【詳解】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.故選：B3．A【分析】先根據(jù)單位向量得出模長(zhǎng)，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求解模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)榭臻g單位向量?jī)蓛纱怪?所以，所以.故選：A.4．A【分析】由題意建立坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)．【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其周長(zhǎng)為，所以M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：A.5．C【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合重心的性質(zhì)將表示為的線性形式即可.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選：C.6．C【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式求出最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F1,0過F1,0的斜率為0的直線為，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與條件矛盾，故直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，方程的判別式，設(shè)，則，，所以，由拋物線的性質(zhì)得，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：C.7．D【分析】根據(jù)題意當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過圓的圓心時(shí)，可得到弦長(zhǎng)的最大值為該圓的直徑，再設(shè)線段的中點(diǎn)為，從而得到動(dòng)直線在圓上做切線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)直線與軸垂直且點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，即可得到弦長(zhǎng)的最小值，進(jìn)而即可求解．【詳解】由題意可知圓的圓心在圓上，則當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過圓心，即點(diǎn)或與圓心重合時(shí)，如圖1，此時(shí)弦長(zhǎng)取得最大值，且最大值為；設(shè)線段的中點(diǎn)為，在中，由，且，則，則動(dòng)直線在圓上做切線運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)動(dòng)直線與軸垂直，且點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，如圖2，此時(shí)弦長(zhǎng)取得最小值，且最小值為，所以的最大值與最小值之差為2．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法：①幾何法：求圓的半徑，弦心距，則弦長(zhǎng)為；②代數(shù)法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式．8．D【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于、、之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式，即可得解.9．BC【分析】由正方形的特征可知，直線與直線夾角為，由直線斜率利用兩角差的正切公式求出直線的斜率，對(duì)照選項(xiàng)即可判斷.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為-3，C選項(xiàng)中的直線斜率符合；當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為，B選項(xiàng)中的直線斜率符合.故選：BC10．ACD【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C的外部，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋?，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選：ACD11．BC【分析】利用雙曲線的定義可判斷選項(xiàng)，取點(diǎn)P的坐標(biāo)為即可判斷選項(xiàng)，利用三角形面積公式即可判斷選項(xiàng)，利用余弦定理即可判斷選項(xiàng).【詳解】由已知得雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由雙曲線的定義可知，，故錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，則，所以，故C正確；由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得，由雙曲線的定義，得，所以，故B正確；由余弦定理,得

，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．②③【分析】①③，作出輔助線，得到，從而得到與不平行，平面；②證明線面垂直，得到線線垂直；④建立空間直角坐標(biāo)系，得到兩平面的法向量，由法向量不為0得到不存在某折起位置，使得平面平面.【詳解】①③，如圖所示：直角梯形中，，又因?yàn)?，，所以，故四邊形為矩形，因?yàn)镹分別是的中點(diǎn)連接，則與相交于點(diǎn)，故點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，而與相交于點(diǎn)，故與不平行，故與不平行，①錯(cuò)誤，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，③正確；②，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由①知，所以，②正確；④，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，故，解得，令，則，故，故，因?yàn)?，故，故，故不存在某折起位置，使得平面平面，④錯(cuò)誤.故選：②③13．/【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡方程，從而根據(jù)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值的求解方法求解即可.【詳解】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則由①可得，整理得：，從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，因?yàn)椋?；解?：如圖，因?yàn)?所以，故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，所以，從而，故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以.故答案為：.14．【分析】設(shè)，由，解出得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合得拋物線方程.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．由，則有，解得，又，解得，，則有，故拋物線方程為．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）選擇①③時(shí)，設(shè)圓的一般式方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)以及相關(guān)條件，根據(jù)待定系數(shù)法，即可確定圓的方程，選擇②時(shí)，根據(jù)幾何法確定圓心和半徑即可求解，（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程.【詳解】（1）方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為.方案二：選條件②.直線恒過點(diǎn).因?yàn)閳AE恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓E經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即.方案三：選條件③.設(shè)圓E的方程為.由題意可得，解得，則圓E的方程為，即.（2）設(shè).因?yàn)镸為線段AP的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以M的軌跡方程為.16．(1)(2)【分析】（1）由題知直線的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)公式即可求解；（2）設(shè)出直線的方程及的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，消元，韋達(dá)定理，利用直線斜率公式寫出將韋達(dá)定理代入，化簡(jiǎn)求出參數(shù)即可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為1且過點(diǎn)，所以直線的方程為：，設(shè)，由，得：，所以，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為2，所以，所以拋物線的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，，，得：，所以，由由，所以，即，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.17．(1)證明見解析(2)存在，或【分析】（1）由題設(shè)證得，取AD的中點(diǎn)，連結(jié)PO，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證平面，再由線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定證結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)，連結(jié)ON，則，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量法，結(jié)合線面角大小列方程求，即可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，即，取AD的中點(diǎn)，連結(jié)PO，因?yàn)槭钦切?，所以又面面ABCD，面面，面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）取AB的中點(diǎn)，連結(jié)ON，則，所以以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，若，取，由直線AP與平面MBD所成角為，得，化簡(jiǎn)得

解得或，當(dāng)或時(shí)，直線AP與平面所成角為.18．(1);(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件求出的值即可；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用兩直線垂直可算出.【詳解】（1）由題意得：，，，故可知，橢圓方程為：.（2）

M為橢圓C的左頂點(diǎn)，又由（1）可知：，設(shè)直線AB的方程為：，，聯(lián)立方程可得：，則，即，由韋達(dá)定理可知：，，，則，，又，，，展開后整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意，舍去，當(dāng)時(shí)，AB的方程為：，恒過定點(diǎn).所以直線過定點(diǎn)．19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先利用平面幾何的知識(shí)與線面垂直的性質(zhì)證得兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，由此證得線面平行；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解即可；（3）先利用線面角結(jié)合向量法求得的坐標(biāo)，再利用空間向量點(diǎn)面距離公式求解即可.【詳解】（1）記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因