2024-2025高二上期中模擬檢測一（2019人教A版）含答案

2024-2025高二上期中模擬檢測一（2019人教A版）檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（24-25高二上·山東濰坊·開學(xué)考試）如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·吉林長春·開學(xué)考試）不論k為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（

）A．6 B． C．8 D．4．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．145．（22-23高二下·廣東深圳·期中）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（

）A． B． C． D．7．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則（

）A． B．C． D．8．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（24-25高二上·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高二下·山西運(yùn)城·開學(xué)考試）下列說法正確的是（）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為11．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，設(shè)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．橢圓C的離心率為C．直線l的方程為 D．的周長為三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（22-23高三下·湖北·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則.13．（2024·浙江·二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動(dòng)地描繪了充滿運(yùn)動(dòng)和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對(duì)的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點(diǎn)與弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點(diǎn)滿足過這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.（參考數(shù)據(jù)：）14．（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長為四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.(13分)（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.(15分)（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且點(diǎn)在該雙曲線上.(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線上一點(diǎn)滿足，求的面積.17.(15分)（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.18.(17分)（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.19.(17分)（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；②若，過點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．參考答案：題號(hào)12345678910答案ABBCACABABCACD題號(hào)11答案AC1．A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.2．B【分析】直線方程即，一定經(jīng)過和的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】直線即，根據(jù)的任意性可得，解得，不論取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．故選：B3．B【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B4．C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故選：C.5．A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.6．C【分析】取線段中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.【詳解】令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榍袌A于，則，有，因?yàn)?，則有，，而為的中點(diǎn)，于是，即，，在中，，整理得，所以雙曲線E的離心率.故選：C7．A【分析】由直線與圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，即因?yàn)闉橹苯侨切?，所?設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，所以，化簡得.故選：A.8．B【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，得到，再由，可得Ax1,y1，【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，顯然，所以．又，即，即，，故Ax1,y1將代入方程，整理得，顯然，，，即．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.9．ABC【分析】利用向量數(shù)量積的定義分別求解即可.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以，所以，A正確；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤．故選：ABC.10．ACD【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)，利用兩直線的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項(xiàng)，利用空間向量的基本定理可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，不妨設(shè)這兩個(gè)非零向量不共線，設(shè)這兩個(gè)非零向量為，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個(gè)基底，假設(shè)不成立，故這兩個(gè)非零向量共線，故C正確;對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?，所以在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.11．AC【分析】先由題意求出即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點(diǎn)差法可以求出直線l的斜率，由直線的點(diǎn)斜式化簡即可判斷C；由焦點(diǎn)三角形的周長公式即可判斷D.【詳解】如圖所示：

根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以，則，故選項(xiàng)A正確；橢圓C的離心率為，故選項(xiàng)B不正確；不妨設(shè)，則，，兩式相減得，變形得，又注意到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€l過，所以的周長為，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC．12．或【分析】由題可設(shè)直線的方程為，，與拋物線聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)相交弦長公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，所以，則，聯(lián)立，消去得：，恒成立，所以，所以，則，又，整理得：，所以，解得或.故答案為：或.13．【分析】設(shè)弧的中點(diǎn)為，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離.【詳解】如圖，設(shè)弧的中點(diǎn)為，弧所對(duì)的圓心角為，圓的半徑，在弧上取兩點(diǎn)，則，分別過點(diǎn)作圓的切線，并交直線于點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的切線剛好是圓與圓的外公切線時(shí)，劣弧上一定還存在點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線為兩圓的內(nèi)公切線，則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，過點(diǎn)，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，設(shè)線段交圓于點(diǎn)，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離即為線段的長度.在中，，則，即弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問題.可按如下結(jié)論求解：相離的兩個(gè)圓（圓心分別為和,半徑分別為和）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.14．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出的最大值，從而確定Q點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠矫婺?，所以兩兩垂?以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,因?yàn)?設(shè)，又，則，又，從,設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為,即直線與所成角的余弦值的最大值為，而直線與所成角的范圍為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時(shí)直線與所成角最小，又因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得的夾角的余弦的最大值，即可確定Q點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問題時(shí)，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用向量解決問題，可以簡化題目的難度.15．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．16．(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程得，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上列方程，最后解方程組得出雙曲線的方程；（2）根據(jù)雙曲線定義和列方程組求解，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算面積可得出答案.【詳解】（1）由題知，解得，所以雙曲線C的方程為：（2）根據(jù)雙曲線的定義得，解方程得，【點(diǎn)睛】考查雙曲線方程求解及焦點(diǎn)三角形的面積求解，屬基礎(chǔ)題.17．(1)(2)或【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時(shí)直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）易證得四邊形為平行四邊形，由此可得，結(jié)合，由線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用體積橋可求得結(jié)果.【詳解】（1）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點(diǎn)，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個(gè)法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.19．(1)(2)①證明見解析；②16【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理H，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【詳解】（1）設(shè)，與直線的切點(diǎn)為N，則，所以化簡得，所以C的方程