山東省濟(jì)寧市梁山縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬題含答案

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由可得，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選：D.2.如圖，在空間四邊形中，設(shè)分別是，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則得出，再由平面向量的三角形加法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則，可得，再由平面向量的三角形加法法則，得出：.故選：C.3.如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間和隨機(jī)事件，其中，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖，進(jìn)行分析，結(jié)合古典概型計(jì)算即可.【詳解】，則,則.故選：B4.已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，圓心坐標(biāo)為，則此圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)這條直徑與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，圓的半徑為；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即可求出的值，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求出的值，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上，設(shè)這條直徑與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，圓的半徑為；又由圓心坐標(biāo)為，則有，解可得，又，所以，所以圓的方程為：.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】∵當(dāng)a=1時(shí)，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．6.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】由，可知，，且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：又因?yàn)楸硎景雸A上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，又因?yàn)?，所以的最小值為，?dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，故選：C．7.在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則向量共面；④已知空間的三個(gè)向量，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)使得其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線，共面的性質(zhì)逐一分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于向量可以平移，兩個(gè)向量一定共面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，任意兩個(gè)向量自然是兩兩共面，三個(gè)向量則不一定共面，例如空間直角坐標(biāo)系軸所在的向量?jī)蓛晒裁?，但是顯然軸不共面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若共線時(shí)，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對(duì)于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯(cuò)誤.于是四個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)的.故選：A8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Mx,y，則，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡為圓，如圖，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，連接，則，，所以，同理，則直線的斜率范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．9.已知直線l一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.與直線垂直B.的傾斜角等于C.在y軸上的截距為D.圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于【答案】AD【解析】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進(jìn)而可判斷A，B，C，利用圓心到直線的距離確定直線與圓的位置關(guān)系，再找到圓周上的點(diǎn)到直線的最近距離，即可判斷D.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程可得，，即直線的方程為：.對(duì)于A，將直線化為斜截式方程可得，，斜率為，又直線的斜率，因?yàn)?，所以直線與直線垂直，故A正確；對(duì)于B，由直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，，則，所以，故B不正確；對(duì)于C，令，代入直線的方程，得，即直線在軸上的截距等于，故C不正確；對(duì)于D，圓的圓心到直線的距離d=2332因此直線與圓相離，又圓上點(diǎn)到直線的最近距離為，因此可得圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故D正確；故選：AD.10.下列命題正確的是（）A.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，“A與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的充分不必要條件B.若，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥一定不能同時(shí)成立C.若三個(gè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則滿足D.若事件A，B相互獨(dú)立，，則【答案】BD【解析】【分析】通過(guò)運(yùn)用互斥事件、獨(dú)立事件以及充分條件和必要條件，即可解答.【詳解】A選項(xiàng)：互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)立事件是指兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生，互斥事件是對(duì)立事件的必要條件，但對(duì)立事件是互斥事件的充分條件，所以“A與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥同時(shí)成立，那么若事件A，B相互獨(dú)立，則；若事件A，B互斥，則，兩者矛盾，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：考慮投擲兩個(gè)骰子，記事件為第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件為第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件為兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由題意，又因?yàn)槭录?相互獨(dú)立，所以故D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中，，滿足的點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓B.軌跡C上的點(diǎn)到直線的最小距離為C.若點(diǎn)在軌跡C上，則的最小值是D.圓與軌跡C有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算可判定A，利用直線與圓的位置關(guān)系可判定B、C，利用兩圓的位置關(guān)系可判定D.【詳解】設(shè)Px,y，由，整理得，顯然點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確；圓心到直線的距離，所以軌跡C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故B錯(cuò)誤；設(shè)，易知圓心到直線的距離，故C正確；易知圓的半徑為2，則其與軌跡C相交或相外切時(shí)符合題意，則圓心距，解之得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分12.體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式即可求解.【詳解】記“甲投中”，“乙投中”，則，所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為故答案為：0.38.13.設(shè)，向量，，，且，，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出和的值，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，再由模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算模長(zhǎng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，且，，所以?2=y?4=1所以，，，所以.故答案為：.14.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】可得直線分別過(guò)定點(diǎn)和且垂直，可得設(shè)，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．詳解】由題意可知，動(dòng)直線，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：因?yàn)?，設(shè)，則，，則，即可求得的取值范圍.四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.若直線的方程為.（1）若直線與直線垂直，求的值；（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】（1）直線與直線垂直，可得，解得．（2）當(dāng)時(shí)，直線化為：．不滿足題意．當(dāng)時(shí)，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．根據(jù)直線在兩軸上的截距相等，即可得出．【詳解】解：（1）直線與直線垂直，，解得．（2）當(dāng)時(shí)，直線化：．不滿足題意．當(dāng)時(shí)，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．直線在兩軸上的截距相等，，解得：．該直線的方程為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間關(guān)系、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.在平行四邊形中，，,將沿折起，使得平面平面，如圖．（1）求證：；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理確定平面，即可求證；（2）建系，求得直線的方向向量和平面的法向量，代入夾角公式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，平面平面平面所以平面又平面所以．【小?wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖．由（1）知平面平面所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐坐標(biāo)系．依題意，．則．設(shè)平面的法向量．則即．取得平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則sinθ=cos<n即直線與平面所成角的正弦值為．17.某校為了厚植文化自信?增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，特舉辦“中國(guó)詩(shī)詞精髓”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對(duì)題得2分，答對(duì)題得3分，答錯(cuò)得0分.已知學(xué)生甲答對(duì)題的概率為，答對(duì)題的概率為，其中，學(xué)生乙答對(duì)題的概率為，答對(duì)題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.（1）求的值；（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，從而得到不低于8分的事件為，再結(jié)合概率加法、乘法公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得.【小問(wèn)2詳解】比賽結(jié)束后，甲?乙個(gè)人得分可能為.記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，相互獨(dú)立，記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，則，且彼此互斥.易得.，所以所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.18.如果，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，（1）求所在圓與所在圓的公共弦方程；（2）求與的公切線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出兩段弧所在的圓的方程，兩個(gè)圓的方程相減即可得公共弦所在的直線的方程；（2）設(shè)出公切線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以所在圓的方程為，所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以所在圓的方程為，兩圓的方程相減可得：即；（2）因?yàn)樗诘膱A是以為圓心，半徑為的圓，所在的圓是以為圓心，半徑為的圓，所以與所在圓的的公切線平行于經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的直線，所以所求切線的斜率為，設(shè)公切線的方程為，則點(diǎn)到的距離，解得：或（舍）所以公切線的方程為.19.四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解答（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解平面與平面的夾角，即可求解；（3）設(shè)，利用空間向量法求解與平面的夾角，從而求解.【小問(wèn)1詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榍遥?/p>