山東省煙臺市2024-2025學年高二上學期期中模擬數(shù)學試題含答案

山東省煙臺市2024-2025學年高二上學期期中模擬數(shù)學試題一、單選題1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可得答案.【詳解】解：因為直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則有，解得，所以其傾斜角為．故選：A．2.直線的一個方向向量為，且直線經(jīng)過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線的斜率，再結合直線的點斜式公式，即可求解．【詳解】直線的一個方向向量為則直線的斜率為，直線過點，則，即．故選：A．3.空間四邊形中，，點在上，，點為中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】空間四邊形OABC中，，且點在上，，點為的中點，連接，可得.故選：B.4.以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過定點可得圓心坐標，再結合半徑可得圓的方程.【詳解】由，得，令，則，即直線恒過定點，則圓的方程為，即，故選：D.5.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，然后兩邊平方，結合向量數(shù)量積的運算求向量的夾角.【詳解】設與的夾角為，由，得，兩邊同時平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D6.如圖，在直三棱柱中，且，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，用向量方法求角，先求向量與的夾角，再轉化為線線角即可.【詳解】如圖，由題意，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.不妨設，則，則，則，又由兩直線所成角的范圍為，則直線與所成的角為.故選：C.7.在中，點，點，點A滿足，則面積的最大值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據(jù)，得到方程，求出點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個交點），數(shù)形結合得到點到直線的距離最大值為，求出面積的最大值.【詳解】設，則，由得，化簡得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個交點），故點到直線距離最大值為，故面積的最大值為.故選：B8.已知圓O的方程為，過圓O外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A?B，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得，即.設，由直線與圓的關系建立不等式組，求解即可.【詳解】解：由，得即，所以，即.設，根據(jù)題意，直線與圓有公共點，所以，解得（當直線與圓相切時取等號），即的取值范圍為.故選：C.二、多選題9.已知直線l經(jīng)過點，.則下列結論中正確的是（）A.直線l的斜率是B.直線l的傾斜角是C.直線l的方向向量與向量平行D.直線l的法向量與向量平行【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩點表示斜率即可判斷A；由推不得即可判斷B；根據(jù)共線向量的坐標表示即可判斷CD.【詳解】A：由題意，知直線l的斜率是，故A正確；B：直線l的傾斜角滿足，但不一定有，故B錯誤；C：直線l的一個方向向量為，因為，所以直線l的一個方向向量與向量不平行，故C錯誤；D：直線l的一個法向量為，因為，所以直線l的一個法向量與向量平行，故D正確.故選：AD10.給出下列命題正確的是（）A.直線的方向向量為，平面的法向量為，則與平行B直線恒過定點C.已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值是D.已知三點不共線，對于空間任意一點，若，則四點共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量、直線過定點、直線垂直、四點共面等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，所以與不平行，A選項錯誤.B選項，由，得，由，解得，所以定點為，B選項正確.C選項，由，解得或，C選項錯誤.D選項，由于，其中，所以四點共面，D選項正確.故選：BD11.P為棱長為2的正方體表面上的一個動點，則（）A.當P在線段上運動時，三棱錐的體積是定值B.當P在線段上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是C.當P在面ABCD內(nèi)運動時，R為棱的中點且平面，則點P的軌跡長度為D.當P在面內(nèi)運動時，Q為棱BC的中點且，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，平面，則直線上任意一點到平面的距離都相等，則三棱錐的體積是定值，即可判斷A；由，則異面直線與所成的角就是直線與所成的角，即可判斷B；由已知所在的平面為如圖所示正六邊形，該正六邊形的六個頂點分別為對應棱的中點，則點P的軌跡即為，求出，即可判斷C；建立空間直角坐標系，由，可得，設，由空間向量坐標運算，可求得，即三棱錐的高取得最大值，則求得的最大值為，即可判斷D.【詳解】對于A選項，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，平面，所以直線上任意一點到平面的距離都相等，即為三棱錐的高，則三棱錐的體積是定值，故A正確；對于B選項，設直線與所成的角為，因為，所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，當在線段的端點處時，，當在線段的中點時，，所以，故B錯誤；對于C選項，P在面ABCD內(nèi)運動時，R為棱的中點，因為平面，作過的平面，平面平面，該六邊形的六個頂點分別為對應棱的中點，則所在的平面為如圖所示正六邊形，設中點為，點P的軌跡即為，則，故C正確；對于D選項，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，因為P在面內(nèi)運動，Q為棱BC的中點，因為在正方體中，平面，平面，所以，則是直角三角形，同理，則是直角三角形，又，則，即，所以，則，因為，設，，則即為三棱錐的高，所以，整理得，，當時，，即三棱錐的高取得最大值，又，此時，.即的最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式計算即得.【詳解】直線與直線平行，則，解得，直線為，所以它們之間的距離是.故答案為：13.在長方體中，已知異面直線與，與所成角的大小分別為和，為中點，則點到平面的距離為_______.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系設，根據(jù)異面直線與，與所成角求出，再應用空間向量公式計算點到平面距離即可.【詳解】如圖建立以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為x軸，所在直線為z軸的空間直角坐標系，且設，則，則，因為異面直線與所成角為，所以因為異面直線與所成角為，所以計算可得，設平面法向量為n=x,y,z，則，令，則因為，則點到平面的距離.故答案為：.14.已知動圓，則圓在運動過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積為______；為直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點為A、B，當時，的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】分析可得動圓的圓心，半徑，在以圓心，半徑的圓上，圓在運動過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積相當于以圓心，半徑為的圓的面積；由倍角公式及幾何關系可得，分析的范圍結合換元法即可求．【詳解】動圓的圓心，半徑，令，則由得在以圓心，半徑的圓上．圓在運動過程中所經(jīng)過的區(qū)域的面積相當于以圓心，半徑為的圓的面積，即；到直線的距離，由，則，即，，令，則，則，由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，有.所以的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題15.已知頂點、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點及斜率，進而可得其中垂線方程；（2）當直線過坐標原點時可得直線方程；當直線不過坐標原點時，根據(jù)直線的截距式可得解.【小問1詳解】由、，可知中點為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問2詳解】當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；當直線不過坐標原點時，由題意設直線方程為，由過點，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16.如圖三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中點.（1）求證：平面；（2）求到直線BD的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，證得，結合線面平行的判定定理，即可得證；（2）利用面面垂直的性質，證得平面，以為原點，建立空間直角坐標系，求得向量和，結合距離公式，即可求解.【小問1詳解】如圖所示，在三棱柱中，連接交于，再連接，因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又因為是中點，所以，因為平面A1BD，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，由余弦定理得，所以，可得，又由平面平面，平面平面，所以平面，又因為，故兩兩垂直，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，，且，則，，，所以C1到直線BD的距離為.17.已知圓C：與圓：.（1）求C與相交所得公共弦長；（2）若過點且斜率為k的直線l與圓C交于P，Q兩點，其中O為坐標原點，且，求【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題意知，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，求得圓心到該直線的距離d，利用弦長公式可求得所求弦長；（2）易知直線l的方程為，與圓C的方程聯(lián)立，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，結合題意即可求得【小問1詳解】由題意知，兩圓的公共弦所在直線方程為整理得，圓心到直線的距離，所以所求弦長為；【小問2詳解】由題設可知直線l的方程為，設Px1,將代入方程，整理得，所以，，，因為，解得k=1，經(jīng)檢驗，直線與圓有交點，所以直線l的方程為，故圓心C在直線l上，所以18.已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現(xiàn)將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．（1）求證：平面平面．（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）線段上存在一點，使得二面角的余弦值為，此時．【解析】【分析】（1）如圖，取的中點，連接，則，利用勾股定理的逆定理可證明，結合線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，設線段上存在一點滿足題意，記．利用空間向量法求解面面角，建立關于的方程，解之即可求解.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接．因為是等邊三角形，為的中點，所以．因為，所以．因為，，，所以四邊形為矩形．所以．又因為，所以，即．因為，，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．由題意知平面的法向量為．設線段上存在一點，使得二面角的余弦值為，記．因為，所以．因為，所以．又，設平面的法向量為n=x,y,z，則令，則，，即．所以．因為二面角的余弦值為，，所以，解得或（舍去）．所以線段上存在一點，使得二面角的余弦值為，此時．19.在平面直角坐標系中，已知，，以原點O為圓心的圓與線段相切．（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O相交于M，N兩點，且，求c的值；（3）在直線上是否存在異于A的定點Q，使得對圓O上任意一點P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點Q的坐標及的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）根據(jù)圓和直線的位置關系求得圓的方程.（2）根據(jù)圓心到直線的距離列方程，化簡求得的值.（3）設出的坐標，根據(jù)列方程，利用特殊值求得的值，同時求得點的坐標.【小問1詳解】由于，，則線段與軸平行，且與圓相切.所以圓的圓心為，半徑為，所以圓的