東大《傳熱學(xué)》課件：導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

2020/11/12Thursday1第二章導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2-1導(dǎo)熱基本定律2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱2-4通過肋片的導(dǎo)熱2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱2020/11/12Thursday2§2-1導(dǎo)熱基本定律(1)溫度場：三維非穩(wěn)態(tài)溫度場：三維穩(wěn)態(tài)溫度場：一維穩(wěn)態(tài)溫度場：二維穩(wěn)態(tài)溫度場：1幾個(gè)基本概念:溫度場、等溫面、等溫線、溫度梯度、熱流密度矢量2020/11/12Thursday3§2-1導(dǎo)熱基本定律（續(xù)）(2)等溫線(3)等溫面圖2-1溫度場的圖示(4)等溫面和等溫線的特點(diǎn)2020/11/12Thursday42導(dǎo)熱基本定律——FourierLaw對于一維情況，對于三維直角坐標(biāo)系情況，有通用形式的FourierLaw圖2-2溫度梯度2020/11/12Thursday5§2-1導(dǎo)熱基本定律（續(xù)）(1)物理意義：熱導(dǎo)率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時(shí)間、通過單位面積的導(dǎo)熱量。熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小，由實(shí)驗(yàn)測定。(2)影響因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等3導(dǎo)熱系數(shù)(熱導(dǎo)率)2020/11/12Thursday6A氣體的導(dǎo)熱系數(shù)特點(diǎn)：(a)氣體的導(dǎo)熱系數(shù)基本不隨壓力的改變而變化

(b)隨溫度的升高而增大

(c)隨分子質(zhì)量減小而增大B液體的導(dǎo)熱系數(shù)特點(diǎn)：(a)隨壓力的升高而增大

(b)隨溫度的升高而減小2020/11/12Thursday7特點(diǎn)：純金屬：合金和非金屬：金屬的導(dǎo)熱系數(shù)與溫度的依變關(guān)系參見圖2-7C固體的導(dǎo)熱系數(shù)保溫材料：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)小于0.12W/(mK)的材料（絕熱材料）2020/11/12Thursday8圖2-7導(dǎo)熱系數(shù)對溫度的依變關(guān)系2020/11/12Thursday9第二章導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2-1導(dǎo)熱基本定律2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱2-4通過肋片的導(dǎo)熱2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱2020/11/12Thursday10§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件1導(dǎo)熱微分方程式的推導(dǎo)為什么需要導(dǎo)熱微分方程？理論基礎(chǔ)：Fourier定律+能量守恒定律導(dǎo)熱微分方程式下面我們來考察一個(gè)矩形微元六面體，如下圖所示。xyzxx+dxdx2020/11/12Thursday11假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)

(2)導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容和密度均為已知

(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強(qiáng)度[W/m3];內(nèi)熱源均勻分布；2020/11/12Thursday12dyyxodx§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）根據(jù)能量守恒定律有：導(dǎo)入微元體的總熱流量in+微元體內(nèi)熱源的生成熱g=導(dǎo)出微元體的總熱流量out+微元體熱力學(xué)能的增量sta導(dǎo)入微元體的總熱流量Ein2020/11/12Thursday13§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）b導(dǎo)出微元體的總熱流量Eout采用Taylor級數(shù)展開，并忽略高階項(xiàng)，則有dyyxodx2020/11/12Thursday14§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）c內(nèi)熱源的生成熱d熱力學(xué)能的增量？把Qin、Qout、Qg、Qst帶入前面的能量守恒方程這就是三維、非穩(wěn)態(tài)、變物性、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程的一般形式。得：2020/11/12Thursday15§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）2幾種特殊情況(1)若物性參數(shù)、c和均為常數(shù)：(2)無內(nèi)熱源、常物性：(3)穩(wěn)態(tài)、常物性：(4)穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源：物理意義？友情提示：非直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式自己看2020/11/12Thursday16非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)源項(xiàng)是不是有了導(dǎo)熱微分方程式，就可以獲得溫度分布呢？答案是否定的！定解條件(單值性條件)導(dǎo)熱微分方程+定解條件+求解方法=確定的溫度場定解條件包括四項(xiàng)：幾何、物理、時(shí)間、邊界下面詳細(xì)介紹邊界條件！2020/11/12Thursday17§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）邊界條件：規(guī)定了物體與外部環(huán)境之間的換熱條件，包括以下三類：a第一類邊界條件:已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上的溫度值：最簡單的情況為：2020/11/12Thursday18b第二類邊界條件:已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上的熱流密度：§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）對于非穩(wěn)態(tài)：最簡單的情況為：第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時(shí)刻物體邊界面法向的溫度梯度值qw特例：絕熱邊界面：2020/11/12Thursday19§2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件（續(xù)）c第三類邊界條件:當(dāng)物體壁面與流體相接觸進(jìn)行對流換熱時(shí)，已知任一時(shí)刻邊界面周圍流體的溫度和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)Newton冷卻公式：Fourier定律：特例：tf,hx

h=0時(shí)，變?yōu)榻^熱邊界條件

h時(shí)，變?yōu)榈谝活愡厳l2020/11/12Thursday20在任意直角坐標(biāo)系下，對于以下兩種關(guān)于第三類邊界條件的表達(dá)形式，你認(rèn)為哪個(gè)對？簡述理由。In-ClassProblems2020/11/12Thursday21QuickReview：1重要概念：溫度場、溫度梯度、導(dǎo)熱系數(shù)及其性質(zhì)、導(dǎo)溫系數(shù)（熱擴(kuò)散率）定義及性質(zhì)；2導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)及推導(dǎo)過程3導(dǎo)熱微分方程式的一般形式、組成、及在推導(dǎo)給定條件下的具體形式；靈活運(yùn)用導(dǎo)熱微分方程，如溫度的空間分布通過導(dǎo)熱方程與時(shí)間分布建立聯(lián)系等定解條件？邊界條件？三類邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式？2020/11/12Thursday22第二章導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2-1導(dǎo)熱基本定律2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱2-4通過肋片的導(dǎo)熱2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱2020/11/12Thursday23§2-3通過平壁，圓筒壁，球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：1單層平壁的導(dǎo)熱o

xa幾何條件：單層平板；

b物理?xiàng)l件：、c、為常數(shù)并已知；無內(nèi)熱源c時(shí)間條件：

d邊界條件：第一類2020/11/12Thursday24§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）xo

t1tt2直接積分，得：根據(jù)上面的條件可得：第一類邊條：控制方程邊界條件求解方法帶入邊界條件：2020/11/12Thursday25帶入Fourier定律§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）線性分布2020/11/12Thursday262多層平壁的導(dǎo)熱§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成

邊界條件：熱阻：2020/11/12Thursday27§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）由熱阻分析法：問：知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：第二層：第i層：t1t2t3t4t1t2t3t42020/11/12Thursday28§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）單位：t1t2t3t2三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱t(yī)f1t2t3tf2h1h2tf2tf1？？總傳熱系數(shù)？多層、第三類邊條2020/11/12Thursday293單層圓筒壁的導(dǎo)熱§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）圓柱坐標(biāo)系：一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：(a)2020/11/12Thursday30§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）對上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布2020/11/12Thursday31§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況

長度為l的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！2020/11/12Thursday324n層圓筒壁由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)算通過單位長度圓筒壁的熱流量2020/11/12Thursday33單層圓筒壁，第三類邊條，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱通過單位長度圓筒壁傳熱過程的熱阻[mK/W]h1h22020/11/12Thursday34(1)單層圓筒壁（續(xù)）h1h2思考：壁面溫度分布應(yīng)如何求出？(2)多層圓筒壁通過球殼的導(dǎo)熱自己看？2020/11/12Thursday35§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導(dǎo)熱（續(xù)）5其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計(jì)算熱流量。對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊條下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時(shí)，一維Fourier定律：當(dāng)＝(t),A=A(x)時(shí)，2020/11/12Thursday36分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x無關(guān)，得定義

當(dāng)隨溫度呈線性分布時(shí)，即＝0＋at，則實(shí)際上，不論如何變化，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面講過的所有定導(dǎo)熱系數(shù)公式，只是需要將換成平均導(dǎo)熱系數(shù)。作業(yè)：

2-1

2-6:空氣的導(dǎo)熱系數(shù)從附錄8查詢，溫度取(-20+20)/2=0

2-9:平均導(dǎo)熱系數(shù)從附錄7查詢

2-13

2-15:不用求解，只需要列出微分方程和邊界條件2020/11/12Thursday372020/11/12Thursday38In-ClassProblems某時(shí)刻，厚度為1m的平板內(nèi)的溫度分布為：式中t為溫度[C]；x沿厚度方向的位置坐標(biāo)[m]；a=900C，b=-300C/m，andc=-50C/m2。均勻內(nèi)熱源，平板面積A=10m2，其他物性為：=1600kg/m3，=40w/(m?K)，cp=4kJ/(kg?K)1確定在x=0m壁面進(jìn)入平板的熱量和x=1m壁面逸出的熱量；2確定平板內(nèi)熱力學(xué)能（內(nèi)能）的變化率st；3確定在x=0，0.25，and0.5m處溫度隨時(shí)間的變化率求解七步驟：Known,Find,Schematic,Assumptions,Properties,Analysis,Comments2020/11/12Thursday39QuickReview：1第三類邊界條件中兩個(gè)溫度的含義和先后順序的確定2通過微分方程獲得溫度分布的思路，以及在已知溫度分布的前提下，如何獲得熱流量/熱流密度？3平板導(dǎo)熱熱阻、圓筒壁導(dǎo)熱熱阻、對流換熱熱阻的含義和公式4一維、穩(wěn)態(tài)情況下，平板、圓筒壁內(nèi)溫度分布的特點(diǎn)和傳熱熱流量的計(jì)算5已知換熱量的情況下，如何計(jì)算邊界面溫度2020/11/12Thursday40主要研究內(nèi)容：2-1導(dǎo)熱基本定律2-2導(dǎo)熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導(dǎo)熱2-4通過肋片的導(dǎo)熱2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱第二章導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2020/11/12Thursday41§2-4通過肋片的導(dǎo)熱第三類邊界條件下通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：為了增加傳熱量，可以采取哪些措施?（1）增大溫差（tf1-tf2），但受工藝條件限制（2）減小熱阻：

a)金屬壁一般很薄(很小)、熱導(dǎo)率很大，故導(dǎo)熱熱阻一般可忽略b)增大h1、h2，但提高h(yuǎn)1、h2并非任意的c)增大換熱面積A也能增加傳熱量2020/11/12Thursday42在一些換熱設(shè)備中，在換熱面上加裝肋片是增大換熱量的重要手段,肋壁：直肋、環(huán)肋；等截面、變截面等§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))2020/11/12Thursday431通過等截面直肋的導(dǎo)熱§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))l已知：矩形直肋肋根溫度為t0，且t0>t肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h.

，h和Ac均保持不變求：溫度場t和熱流量2020/11/12Thursday44分析：將問題簡化為一維問題?§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))簡化：a長度l>>andH假設(shè)肋片長度方向溫度均勻

b大、<<H，認(rèn)為溫度沿厚度方向均勻邊界：肋根：第一類；肋端：絕熱；四周：對流換熱求解：這個(gè)問題可以從兩個(gè)方面入手：

a導(dǎo)熱微分方程，例如書上第38頁

b能量守恒＋FourierLaw2020/11/12Thursday45§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))能量守恒：Fourier定律：Newton冷卻公式：關(guān)于溫度的二階非齊次常微分方程2020/11/12Thursday46§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))導(dǎo)熱微分方程：混合邊界條件：引入過余溫度。令則有：2020/11/12Thursday47§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))方程的通解為：應(yīng)用邊界條件可得：最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：雙曲余弦函數(shù)雙曲正切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)2020/11/12Thursday48§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過肋基導(dǎo)入肋片的熱量肋端過余溫度：即x＝H2020/11/12Thursday49兩點(diǎn)說明：(1)上述推導(dǎo)中忽略了肋端的散熱（認(rèn)為肋端絕熱）。對于一般工程計(jì)算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，?。篐c=H+/2(2)上述分析近似認(rèn)為肋片溫度場為一維。當(dāng)h/=Bi0.05時(shí)，誤差小于1%。對于短而厚的肋片，二維溫度場，上述算式不適用；實(shí)際上，肋片表面上表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h不是均勻一致的—數(shù)值計(jì)算2020/11/12Thursday50§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))2肋片效率為了從散熱的角度評價(jià)加裝肋片后換熱效果，引進(jìn)肋片效率

2020/11/12Thursday51肋片的縱截面積影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導(dǎo)率、肋片表面與周圍介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）可見，與參量有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖2－14所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用(2-38)計(jì)算，而直接用圖2－14查出然后，散熱量ALAc2020/11/12Thursday52肋片熱阻2020/11/12Thursday53In-ClassProblems如右圖所示的等截面直肋，可以假設(shè)為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，問：（1）是否肋片一定能增強(qiáng)換熱？（2）如果不能，依據(jù)是什么？換熱增強(qiáng)2020/11/12Thursday54§2-4通過肋片的導(dǎo)熱(續(xù))3通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，有時(shí)候需要采用變截面肋片，環(huán)肋及三角形截面直肋是其中的兩種。對于變截面肋片來講，由于從導(dǎo)熱微分方程求得的肋片散熱量計(jì)算公式相當(dāng)復(fù)雜，因此，人們仿照等截面直肋。利用肋片效率曲線來計(jì)算方便多了，書中圖2－14和2－15分別給出了三角形直肋和矩形剖面環(huán)肋的效率曲線。2020/11/12Thursday55圖2－142020/11/12Thursday56圖2－152020/11/12Thursday574.通過接觸面的導(dǎo)熱當(dāng)界面上的空隙中充滿導(dǎo)熱系數(shù)遠(yuǎn)小于固體的氣體時(shí)，接觸熱阻的影響更突出接觸熱阻的產(chǎn)生？當(dāng)兩固體壁具有溫差時(shí)，接合處的熱傳遞機(jī)理為接觸點(diǎn)間的固體導(dǎo)熱和間隙中的空氣導(dǎo)熱,對流和輻射的影響一般不大2020/11/12Thursday58（1）當(dāng)熱流量不變時(shí)，接觸熱阻rc較大時(shí)，必然在界面上產(chǎn)生較大溫差（2）當(dāng)溫差不變時(shí)，熱流量必然隨著接觸熱阻rc

的增大而下降（3）即使接觸熱阻rc不是很大，若熱流量很大，界面上的溫差仍是不容忽視的2020/11/12Thursday59接觸熱阻的影響因素：（1）固體表面的粗糙度（3）接觸面上的擠壓壓力（2）接觸表面的硬度匹配（4）空隙中的介質(zhì)的性質(zhì)在實(shí)驗(yàn)研究與工程應(yīng)用中，消除接觸熱阻很重要如何消除或減小接觸熱阻？2020/11/12Thursday601具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱如圖所示，一無限大平板中具有均勻的內(nèi)熱源，其兩側(cè)同時(shí)與溫度為tf的流體對流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，現(xiàn)在要確定平板中任一x處的溫度及通過該截面的熱流密度。對稱邊界的處理？tfhtfhxt

0

tfhxt

02020/11/12Thursday61tfhxt

0xdx§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）控制方程:邊界條件:第幾類？第幾類？積分兩次：應(yīng)用邊界條件：2020/11/12Thursday62§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）

與無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)平板導(dǎo)熱相比，熱流密度不是常數(shù)，溫度呈二次曲線分布2020/11/12Thursday632二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）工程上經(jīng)常遇到二維和三維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，如？導(dǎo)熱微分方程式：二維、常物性、無內(nèi)熱源上面方程求解方法：（1）分析解法（簡單形狀、線性邊界條件），常用分離變量法（2）數(shù)值計(jì)算（復(fù)雜形狀、復(fù)雜邊界條件）（3）利用導(dǎo)熱形狀因子（工程計(jì)算、兩個(gè)邊界的溫度恒定）2020/11/12Thursday64§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）1.分析解法（簡單形狀、線性邊界條件)分離變量法：這是個(gè)關(guān)于溫度的齊次方程，為能采用分離變量法，需要將其邊界條件表達(dá)式也齊次化（最多只能包含一個(gè)非齊次邊界條件）。為此，引進(jìn)以下無量綱過余溫度作為求解變量2020/11/12Thursday65§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）于是上述方程變?yōu)椴捎梅蛛x變量法，令通解：2020/11/12Thursday66帶入邊界條件，并利用傅立葉級數(shù)，可得出溫度場的分析解二維溫度分布示意圖2020/11/12Thursday67§2-5具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱及多維導(dǎo)熱（續(xù)）2.形狀因子法看一下如下幾個(gè)公式：(2-19)p.29一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源的平板導(dǎo)熱一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源的圓筒壁導(dǎo)熱(2-28)p.34一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源的球殼導(dǎo)熱(2-32)p.3