數(shù)學(xué)示范教案：半角的正弦、余弦和正切

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案3.2。2半角的正弦、余弦和正切eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì)））教學(xué)分析本節(jié)內(nèi)容實(shí)際上是上節(jié)公式的逆用，讓學(xué)生進(jìn)一步理解高中數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸這一重要數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力．對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力具有十分重要的意義．本節(jié)教學(xué)要求并不高，要求學(xué)生了解半角公式，能用公式求值,化簡簡單的恒等變形即可．因此,在實(shí)際教學(xué)中不必過多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí)．有條件的學(xué)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行本節(jié)的探索與研究，可使用Scilab編程或用電子表格中公式功能．三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)半角的正弦、余弦和正切公式，了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過題目訓(xùn)練，加深對(duì)三角函數(shù)公式的理解,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力．2．通過對(duì)半角公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡和恒等證明,使學(xué)生進(jìn)一步養(yǎng)成利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來觀察、分析問題的習(xí)慣．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):半角的正弦、余弦和正切公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn):半角公式的靈活運(yùn)用．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7()，\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1.（復(fù)習(xí)引入）我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一，三角函數(shù)主要有以下三個(gè)基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換．前面已經(jīng)利用倍角公式進(jìn)行了簡單的化簡、求值及解決實(shí)際問題，本節(jié)將利用二倍角公式的逆用推導(dǎo)出半角公式，并用它來解決一些三角函數(shù)式的化簡、求值等．思路2.（直接引入)先讓學(xué)生寫出上節(jié)課學(xué)習(xí)的二倍角公式，接著讓學(xué)生探究公式的逆用，由此展開新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）eq\a\vs4\al(1α與\f（α,2)有什么關(guān)系？，2如何建立cosα與sin2\f（α，2）之間的關(guān)系？,3sin2\f(α,2）＝\f(1－cosα,2），cos2\f(α,2)＝\f(1＋cosα,2）,tan2\f(α，2)＝\f（1－cosα，1＋cosα）這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)?,4通過上面的三個(gè)問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎？）活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2eq\f(α，2)，將公式中的α用eq\f（α,2)代替,解出sin2eq\f(α,2)即可．教師對(duì)學(xué)生的討論進(jìn)行提問，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：α是eq\f（α,2)的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以eq\f（α,2）代替α,即得cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2）,即sineq\f（α，2）＝±eq\r(\f(1－cosα,2））（Seq\f（α,2))①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2）代替α，即得cosα＝2cos2eq\f（α，2）－1，所以cos2eq\f（α,2）＝eq\f(1＋cosα，2），即coseq\f（α，2）＝±eq\r（\f(1＋cosα，2))(Ceq\f（α，2)）②將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除,即得tan2eq\f（α,2)＝eq\f（1－cosα，1＋cosα)，即taneq\f(α，2）＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα）)（Teq\f（α，2))③上面三個(gè)公式，稱作半角公式．在半角公式中,根號(hào)前的正負(fù)號(hào)，由角eq\f（α，2)所在象限確定．又根據(jù)正切函數(shù)的定義，得到taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f（α,2)，cos\f（α，2）)＝eq\f(sin\f（α，2)·2cos\f(α，2)，cos\f（α,2)·2cos\f(α，2）)＝eq\f(sinα,1＋cosα）；④taneq\f(α,2）＝eq\f(sin\f(α,2)，cos\f(α,2）)＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α，2），cos\f(α,2)·2sin\f（α，2）)＝eq\f(1－cosα，sinα）.⑤這樣我們就得到另外兩個(gè)公式：taneq\f(α，2）＝eq\f(sinα,1＋cosα）；taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα，sinα)。這即為本節(jié)教材中的例2，因其不帶正負(fù)號(hào)，用起來有其獨(dú)到之處．在這些公式中，根號(hào)前面的符號(hào)由eq\f（α，2)所在象限相應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)確定,如果eq\f（α,2)所在象限無法確定,則應(yīng)保留根號(hào)前面的正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的①②③④⑤式,可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)：（1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)；(2）由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式"(即用此式可達(dá)到“降次”的目的)．教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn)，并告訴學(xué)生這些特點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到．提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意．教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異．因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角恒等變換的重要特點(diǎn)．代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．討論結(jié)果:（1)α是eq\f（α,2)的二倍角．(2)sin2eq\f（α,2）＝eq\f(1－cosα，2）。(3）(4)略（見活動(dòng)）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1已知cosα＝eq\f(7，25）,求sineq\f（α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f（α,2）的值．解：sineq\f(α,2）＝±eq\r（\f（1－cosα,2)）＝±eq\r(\f(1－\f（7,25),2））＝±eq\f（3,5），coseq\f（α,2)＝±eq\r（\f(1＋cosα，2））＝±eq\r（\f（1＋\f（7,25），2）)＝±eq\f（4，5)，taneq\f（α,2）＝eq\f（sin\f(α，2）,cos\f(α,2））＝±eq\f(\f（3,5),\f(4，5）)＝±eq\f(3,4）。變式訓(xùn)練1．求sin15°，cos15°,tan15°的值．解:因?yàn)?5°是第一象限的角，所以sin15°＝eq\r(\f(1－cos30°,2））＝eq\r（\f(1－\f(\r(3）,2），2))＝eq\f（\r(2－\r(3))，2）＝eq\f(\r（8－4\r(3）），4)＝eq\f(\r（\r（6）－\r（2)2）,4)＝eq\f(\r(6)－\r(2），4)；cos15°＝eq\r(\f（1＋cos30°，2))＝eq\r（\f（1＋\f（\r(3)，2）,2））＝eq\f（\r(2＋\r（3))，2)＝eq\f（\r（8＋4\r(3）)，4）＝eq\f(\r(\r(6）＋\r(2)2),4）＝eq\f(\r（6)＋\r(2），4);tan15°＝eq\r（\f(1－cos30°,1＋cos30°））＝2－eq\r(3）。2．已知θ為第二象限角，sin(π－θ）＝eq\f(24，25），則coseq\f(θ，2）的值為（）A.eq\f(3，5）B.eq\f（4,5)C．±eq\f(3，5)D．±eq\f（4，5)解析：∵sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，∴sinθ＝eq\f（24,25）。又θ為第二象限角，∴cosθ＝－eq\f(7,25），cosθ＝2cos2eq\f（θ，2)－1，而eq\f(θ,2)在第一、三象限，∴coseq\f(θ，2)＝±eq\f（3，5).答案：C例2已知sin2α＝－eq\f(12,13）,π＜2α＜eq\f（3π，2），求tanα。解：因?yàn)棣校?α＜eq\f（3π,2），故eq\f（π,2）＜α＜eq\f(3π,4),有cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\r(1－－\f(12,13）2)＝－eq\f（5,13）,所以tanα＝eq\f（1－cos2α,sin2α)＝eq\f(1＋\f（5，13），－\f（12,13）)＝－eq\f(3，2).變式訓(xùn)練1．已知sinθ＋cosθ＝eq\f（1,5)，且eq\f（π,2）≤θ≤eq\f(3π,4），則cos2θ的值是__________．答案：－eq\f（7,25)2．函數(shù)f（x)＝sin2x＋eq\r(3）sinxcosx在區(qū)間[eq\f（π，4)，eq\f（π，2）］上的最大值是…（)A．1B。eq\f(1＋\r(3），2）C。eq\f(3,2）D．1＋eq\r(3)答案：C思路2例1已知sin2010°＝－eq\f(1，2），求sin1005°,cos1005°,tan1005°的值．解：因?yàn)?010°＝5×360°＋210°是第三象限的角，所以cos2010°＝－eq\r（1－sin22010°)＝－eq\f(\r（3),2)。又1005°＝2×360°＋285°是第四象限的角，所以sin1005°＝－eq\r（\f(1－cos2010°，2)）＝－eq\f(\r（2＋\r（3))，2)＝－eq\f(\r(6)＋\r（2），4)，cos1005°＝eq\r(\f(1＋cos2010°，2))＝eq\f(\r(2－\r(3)),2）＝eq\f(\r(6）－\r（2),4)，tan1005°＝eq\f(sin1005°，cos1005°)＝－eq\f（\r(6）＋\r(2）,\r（6)－\r（2）)＝－eq\f(8＋4\r（3）,4)＝－2－eq\r(3).變式訓(xùn)練求coseq\f（π,8)的值．解：因?yàn)閑q\f（π,8）是第一象限的角,所以coseq\f(π,8)＝eq\r（\f（1＋cos\f（π，4)，2))＝eq\r(\f(1＋\f(\r（2）,2),2)）＝eq\f(1,2）eq\r（2＋\r(2)）。例2證明eq\f（1＋sinx，cosx)＝tan（eq\f（π，4）＋eq\f（x，2)）．活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)于三角恒等式的證明,可從三個(gè)角度進(jìn)行推導(dǎo):①左邊→右邊；②右邊→左邊;③左邊→中間條件←右邊．教師可以鼓勵(lì)學(xué)生試著多角度的化簡推導(dǎo)．注意式子左邊包含的角為x，三角函數(shù)的種類為正弦,余弦，右邊是半角eq\f(x,2），三角函數(shù)的種類為正切．證明：方法一:從右邊入手，切化弦,得tan（eq\f(π,4)＋eq\f（x,2))＝eq\f（sin\f(π，4)＋\f(x,2）,cos\f（π，4）＋\f（x,2)）＝eq\f（sin\f（π，4)cos\f(x，2）＋cos\f(π,4)sin\f(x,2)，cos\f(π,4)cos\f（x,2）－sin\f（π,4）sin\f（x,2））＝eq\f（cos\f（x，2)＋sin\f(x，2)，cos\f（x,2）－sin\f(x，2)），由左右兩邊的角之間的關(guān)系,想到分子分母同乘以coseq\f(x,2）＋sineq\f(x,2），得eq\f（cos\f(x,2）＋sin\f(x，2）2，cos\f(x,2）＋sin\f(x，2）cos\f(x，2）－sin\f（x，2))＝eq\f(1＋sinx,cosx)。方法二:從左邊入手，分子分母運(yùn)用二倍角公式的變形，降倍升冪，得eq\f(1＋sinx，cosx)＝eq\f(cos\f（x，2）＋sin\f（x,2)2,cos\f(x，2）＋sin\f(x,2)cos\f(x，2)－sin\f(x，2））＝eq\f(cos\f（x，2)＋sin\f(x,2），cos\f（x，2）－sin\f（x，2））.由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f（x，2)，得eq\f（1＋tan\f(x，2）,1－tan\f（x,2))＝eq\f（tan\f(π,4)＋tan\f（x,2），1－tan\f(π，4）tan\f（x，2)）＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2）).變式訓(xùn)練已知α，β∈（0，eq\f（π，2）)且滿足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β＝13sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β,①3sin2α－2sin2β＝03sinαcosα＝sin2β，②①2＋②2,得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝eq\f（1，9）?！擀痢?0，eq\f（π，2）)，∴sinα＝eq\f（1，3).∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα（sin2α＋cos2α)＝3×eq\f（1,3）＝1?！擀粒隆剩?,eq\f(π，2)），∴α＋2β∈（0，eq\f（3π,2）)．∴α＋2β＝eq\f(π,2)。解法二:3sin2α＋2sin2β＝1cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α,3sin2α－2sin2β＝0sin2β＝eq\f(3,2）sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β）＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0?！擀粒隆?0，eq\f（π，2))，∴α＋2β∈(0,eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f（π，2)。解法三：由已知3sin2α＝cos2β，eq\f(3,2）sin2α＝sin2β，兩式相除，得tanα＝cot2β,∴tanα＝tan(eq\f（π,2）－2β）．∵α∈（0，eq\f(π，2))，∴tanα>0。∴tan(eq\f(π，2)－2β)〉0。又∵β∈（0，eq\f（π，2）)，∴－eq\f（π，2)<eq\f(π,2）－2β<eq\f(π,2）.結(jié)合tan（eq\f（π,2）－2β)〉0，得0<eq\f(π,2）－2β〈eq\f（π，2）.∴由tanα＝tan(eq\f(π，2）－2β),得α＝eq\f（π,2）－2β,即α＋2β＝eq\f(π,2).例3求證：eq\f（sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α）?；顒?dòng)：證明三角恒等式，一般要遵循“由繁到簡”的原則，另外“化弦為切"與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法．證法一:左邊＝eq\f（sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ，sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β，sin2αcos2β）＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β）＝1－eq\f(tan2β,tan2α）＝右邊，∴原式成立．證法二：右邊＝1－eq\f(cos2αsin2β，sin2αcos2β）＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β）＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ，sin2αcos2β）＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β）＝左邊，∴原式成立．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))1．先讓學(xué)生自己回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：和、差、倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系，三角恒等式與條件等式的證明．2．教師畫龍點(diǎn)睛總結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了公式的應(yīng)用，換元法，方程思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化，三角恒等變形的基本方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)課本本節(jié)習(xí)題3-2A組3，4,5，B組1～3.eq\o（\s\up7(），\s\do5（設(shè)計(jì)感想））1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了怎樣推導(dǎo)半角公式以及如何利用已有的公式進(jìn)行簡單的恒等變換．在解題過程中，應(yīng)注意對(duì)三角式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適公式，進(jìn)行公式變形，還要思考一題多解、一題多變,并體會(huì)其中的一些數(shù)學(xué)思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等．2．在近幾年的高考中，對(duì)三角變換的考查仍以基本公式的應(yīng)用為主，突出對(duì)求值的考查，特別是對(duì)平方關(guān)系及和角公式的考查應(yīng)引起重視，其中對(duì)符號(hào)的判斷是經(jīng)常出問題的地方，應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)符號(hào)問題也是常出錯(cuò)的地方．eq\o(\s\up7(），\s\do5(備課資料))備用習(xí)題1．已知cosα＝eq\f(5，13）（eq\f(3π，2)＜α＜2π），則taneq\f（α,2）等于()A。eq\f(2，3）B.eq\f(3,2)C．－eq\f(3，2)D．－eq\f（2,3）2．已知α為鈍角，β為銳角，且sinα＝eq\f(4，5），sinβ＝eq\f(12，13）,則coseq\f(α－β，2）等于()A．7B．－7C．－eq\f（7\r（65）,65）D。eq\f（7\r（65),65）3．若sin(eq\f（π,6)－α）＝eq\f(1,3)，則cos（eq\f(2π，3)＋2α）等于(）A．－eq\f(7,9）B．－eq\f（1,3）C.eq\f(1，3)