17.3.2 勾股定理的逆定理 同步練習(xí)

第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二課時(shí)勾股定理的逆定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)3勾股定理的逆定理11.(2023寧夏中寧期末)下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是()A.2，3，4 B.5，12，13 C.6，8，10 D.9，12，1512.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中有三條線段，每條線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將這三條線段組成三角形.對組成的三角形，小明認(rèn)為是等邊三角形，小亮認(rèn)為是直角三角形，小紅認(rèn)為是銳角三角形，小沫認(rèn)為是鈍角三角形，他們幾個(gè)說法正確的是()A.小明 B.小亮 C.小紅 D.小沫13.(2023吉林第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末)在△ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=7，則△ABC的面積為()A.47 B.37C.6 D.14.(2023山東東營實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)將直角三角形的三條邊長同時(shí)縮小為原來的一半，所得到的三角形為()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形15.如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是() A B C D16.(2023甘肅蘭州三十五中期末)下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是()A.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 B.AB∶BC∶AC=1∶2∶3C.∠A-∠B=∠C D∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶517.(2023遼寧丹東期末)△ABC的三邊長分別為1，3，2，那么△ABC(填“是”或“不是”)直角三角形.18.(2023山東東平期末)如圖，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12.則∠ACD=___________度.

19.(2022湖北咸寧中考改編)勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》中：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.像3，4，5這樣能作為直角三角形三邊長的3個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是勾為奇數(shù)，弦與股相差1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；……，若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m為正整數(shù))，則其弦是(結(jié)果用含m的式子表示).20.(2023吉林長春八十七中期末)如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量.小明測得AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13m，已知∠A=90°，求這塊土地的面積.21.(2023遼寧沈陽一三四中期末)如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC，經(jīng)測得AB=3dm，BC=4dm，CD=2dm，AD=29dm，求這張紙片的面積S.22.已知a，b，c是△ABC的三邊長，根據(jù)下列條件，判斷△ABC是不是直角三角形.(1)a=11，b=31，c=21；(2)a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn(m>n，m，n為正整數(shù)).23.如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AF⊥BC于點(diǎn)F.關(guān)于△ABC的形狀，小明和小亮展開以下討論：小明：如果∠BAC=90°，那么我可以求出AE的長.我的思路是這樣的：如圖，連接CE，設(shè)AE=x，則BE=4-x，因?yàn)镈E垂直平分BC，所以CE=BE=4-x，……小亮：如果DF的長為710，那么△ABC是直角三角形.(1)請補(bǔ)充完整小明的求解過程；(2)請判斷小亮的說法是否正確，并說明理由.能力提升全練24.(2023河北張家口橋西期中)下列4組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊長的有()(1)9，12，15； (2)12，18，22； (3)12，35，36； (4)15，36，39A.1組 B.2組 C.3組 D.4組25.(2022四川攀枝花中考)圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會會徽的主體圖案，從中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的長為() 圖1 圖2A.3 B.32 C.2 26.(2020河北中考)如圖所示的是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊(可重復(fù)選取)按如圖所示的方式組成圖案，若所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊正方形紙片的面積分別是()A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，427.(2022江蘇泰州中考)如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為.

28.我國海監(jiān)船加大對某島附近海域的巡航維權(quán)力度.如圖，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，該島位于O點(diǎn)，我國海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向該島所在地點(diǎn)O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船.(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長.29.(2019河北中考)已知：整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.嘗試化簡整式A.發(fā)現(xiàn)A=B2.求整式B.聯(lián)想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，當(dāng)n>1且n為整數(shù)時(shí)，n2-1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖.填寫下表中B的值：直角三角形的三邊長n2-12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ35素養(yǎng)探究全練30.(2023江蘇灌南期中)我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論.像3、4、5這樣能作為直角三角形三邊長的3個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).請你觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過.當(dāng)勾為3時(shí)，股為4=12×(9-1)，弦為5=12當(dāng)勾為5時(shí)，股為12=12×(25-1)，弦為13=12當(dāng)勾為7時(shí)，股為24=12×(49-1)，弦為25=12(1)若勾用n(n≥3，且n為奇數(shù))表示，請用含有n的式子表示股和弦，則股=，弦=，據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是；

(2)若a=m2-1，b=2m，c=m2+1，其中m>1且m是整數(shù).求證：以a，b，c為三邊長的△ABC是直角三角形.

第十七章特殊三角形17.3勾股定理第二課時(shí)勾股定理的逆定理答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練11.A∵22+32=13，42=16，∴22+32≠42，∴不能組成直角三角形，故A符合題意；∵122+52=169，132=169，∴122+52=132，∴能組成直角三角形，故B不符合題意；∵62+82=100，102=100，∴62+82=102，∴能組成直角三角形，故C不符合題意；∵122+92=225，152=225，∴122+92=152，∴能組成直角三角形，故D不符合題意.故選A.12.B根據(jù)題意得AB2=22+32=13，CD2=22+22=8，EF2=12+22=5，∴AB2=CD2+EF2，∴這三條線段組成的三角形是直角三角形，故小亮的說法正確，故選B.13.D∵AB=4，AC=3，BC=7，∴AC2+BC2=16，AB2=16，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ABC的面積為12AC·BC=12×3×14.A設(shè)原直角三角形的三條邊長分別為2a、2b、2c，且2c為斜邊的長，則(2a)2+(2b)2=(2c)2，∴a2+b2=c2∵將原直角三角形的三條邊長同時(shí)縮小為原來的一半得到新三角形，∴新三角形的三邊長分別為a、b、c，∵a2+b2=c2，∴所得到的三角形為直角三角形.故選A.15.C∵52+122=132，92+122=152，∴C正確.16.D本題容易認(rèn)為D選項(xiàng)是正確的，將邊與角混淆.A.設(shè)AB=3a，BC=4a，AC=5a，因?yàn)锳B2+BC2=(3a)2+(4a)2=25a2，AC2=(5a)2=25a2，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；B.設(shè)AB=a，BC=2a，AC=3a，因?yàn)锳B2+AC2=a2+(3a)2=4a2，BC2=(2a)2=4a2，即AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故B選項(xiàng)不符合題意；C.由∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C，可得∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；D.因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C=3∶4∶5，所以∠A=312×180°=45°，∠B=412×∠C=512×180°=75°，所以△ABC不是直角三角形，17.答案是解析由勾股定理的逆定理可知，只要驗(yàn)證兩個(gè)較小的邊長的平方和等于最長邊長的平方，即可判斷△ABC為直角三角形.∵12+(3)2=22，∴△ABC是直角三角形.18.答案45解析∵∠A=90°，AC=AB=8，∴BC=82∵CD=4，BD=12，∴CD2+BC2=16+128=144=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠DCB=90°，∵AC=AB，∠A=90°，∴∠ACB=45°，∴∠ACD=45°.19.答案m2+1解析∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理，得(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.20.解析如圖，連接BD，∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=25，∴BD2+CD2=132=BC2，∴∠CDB=90°，∴S四邊形ABCD=S△ADB+S△CBD=36(平方米).答：這塊土地的面積為36平方米.21.解析如圖，連接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AB=3dm，BC=4dm，∴AC=A=32+∵CD=2dm，AD=29dm，∴AC2+CD2=25+4=29，AD2=(29)2=29，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴S=S△ABC+S△ACD=12BC·AB+12AC·CD=12×4×3+12×5×∴這張紙片的面積S為11dm2.22.解析(1)顯然b>c>a，∵b2=312=961，a2+c2=112+212=562，a2+c2≠b2，∴△ABC不是直角三角形.(2)∵m>n，∴(m-n)2>0，即m2-2mn+n2>0，可得m2+n2>2mn.又m2+n2>m2-n2，∴m2+n2是最長邊的長.∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2，即a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形.23.解析(1)補(bǔ)充如下：因?yàn)椤螧AC=90°，所以AE2+AC2=CE2，即x2+32=(4-x)2，解得x=78，即AE=7(2)小亮的說法正確.理由如下：設(shè)BD=y，則CD=y，因?yàn)镈F=710，所以BF=y+7因?yàn)锳F⊥BC，所以AB2-BF2=AC2-CF2=AF2，即42-y+7解得y=52，所以AB2+AC2=42+32=52=BC2，所以△ABC為直角三角形.能力提升全練24.B∵92+122=225，152=225，∴92+122=152，∴能構(gòu)成直角三角形，故(1)符合題意；∵182+122=468，222=484，∴182+122≠222，∴不能構(gòu)成直角三角形，故(2)不符合題意；∵352+122=1369，362=1296，∴352+122≠362，∴不能構(gòu)成直角三角形，故(3)不符合題意；∵362+152=1521，392=1521，∴362+152=392，∴能構(gòu)成直角三角形，故(4)符合題意.綜上所述，能構(gòu)成直角三角形三邊長的有2組，故選B.25.A∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1，∴OB=OC2-BC2=(5)2-12=2∴OA=OB226.B當(dāng)選取的三塊正方形紙片的面積分別是1，4，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是1×42=42=1；當(dāng)選取的三塊正方形紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是2×32=62；當(dāng)選取的三塊正方形紙片的面積分別是3，4，5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊正方形紙片的面積分別是2，2，27.答案2解析如圖，第一步到①，第二步到②，故走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為1228.解析(1)如圖，作線段AB的垂直平分線與OA交于點(diǎn)C.(2)如圖，連接BC，由作圖可得CD為AB的中垂線，則CB=CA.由題意可得OC=36-CA=36-BC.∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，即122+(36-BC)2=BC2，∴BC=20海里.答：我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長為20海里.29.解析嘗試A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.發(fā)現(xiàn)∵A=B2