第14章 整式的乘法與因式分解 單元測(cè)試

第14章整式的乘法與因式分解單元測(cè)試一、單選題1．下列各多項(xiàng)式中，可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是（

）．A．a(chǎn)6÷a2=a3 B．(a+1)2=a2+1 C．(–a)3=–a3 D．(–ab3)2=–a2b53．若2m＝a，32n＝b，m，n為正整數(shù)，則23m+10n用含a，b式子表示的為（

）A．3a+2b B．a(chǎn)3+b2 C．6ab D．a(chǎn)3b24．已知：，其中☆代表一個(gè)常數(shù)，則☆的值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．45．若多項(xiàng)式可以寫成一個(gè)整式的平方，則常數(shù)的值可以為（

）A．3 B．6 C．9 D．126．課堂上老師布置了四個(gè)計(jì)算題，以下是小林給出的四個(gè)題的答案，則小林做對(duì)了（

）計(jì)算：；；；．A．題 B．題 C．題 D．題7．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．8．若則的值為（）A． B． C． D．9．如圖，從邊長(zhǎng)為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則長(zhǎng)方形的面積為（）A． B． C． D．10．如圖，4張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式放置，陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，若S2＝2S1，則a，b滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝3b二、填空題11．計(jì)算______________．12．化簡(jiǎn)：__．13．已知m2+m﹣1=0，則m3+2m2+2014=_____．14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為m＋5，面積記為S1，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．15．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，則式子m2﹣mn﹣n2的值為__．16．已知是完全平方式，則的值為__________．三、解答題17．因式分解：(1)6（m－n）3－12（n－m）2(2)x4－8x2y2＋16y418．計(jì)算與化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）已知，，，求的值19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．某廠現(xiàn)有種原料，種原料，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)，兩個(gè)品種的飲料，已知生產(chǎn)每千克品種的飲料需要種原料，種原料，可獲利元，生產(chǎn)每千克品種的飲料只需要種原料，可獲利3千元，兩種原料正好用完.（1）生產(chǎn)品種的飲料________千克.（2）生產(chǎn)品種的飲料使用種原料多少千克？（3）該廠共獲利多少元？（用含，的式子表示）21．若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，∴.請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：（1）若滿足，求的值；（2）已知正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是，上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是35，分別以，為邊作正方形和正方形，求陰影部分的面積．22．閱讀下列材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：；，因?yàn)?，即的最小值?，所以的最小值是5．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：；（2）求的最小值；（3）求的最大值．23．圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為___．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．24．在求代數(shù)式的值時(shí)，當(dāng)單個(gè)字母不能或不用求出時(shí)，可把已條件作為一個(gè)整體，通過(guò)整體代入，實(shí)現(xiàn)降次、消元、歸零、約分等，快速求得其結(jié)果．如：已知，，求代數(shù)式的值．可以這樣思考：因?yàn)椋约此耘e一反三：（1）已知，，求的值．（2）已知，則的值．（3）已知，求的值．

第14章整式的乘法與因式分解單元測(cè)試一、單選題1．下列各多項(xiàng)式中，可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】找出選項(xiàng)中有公因式的選項(xiàng)即可．【詳解】解：A.中各項(xiàng)沒(méi)有公因式，不可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B.，能用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C.中各項(xiàng)沒(méi)有公因式，不可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D.中各項(xiàng)沒(méi)有公因式，不可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-提取因式法，找出多項(xiàng)式的公因式是解本題的關(guān)鍵．2．下列計(jì)算正確的是（

）．A．a(chǎn)6÷a2=a3 B．(a+1)2=a2+1 C．(–a)3=–a3 D．(–ab3)2=–a2b5【答案】C【分析】各項(xiàng)利用同底數(shù)冪的除法和冪的乘方法則，完全平方公式判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)：a6÷a2=a6-2=a4,故是錯(cuò)誤的；B選項(xiàng)：(a+1)2=a2+2a+1,故是錯(cuò)誤的；C選項(xiàng)：(–a)3=–a3，故正確的；D選項(xiàng)：(–ab3)2=a2b6，故是錯(cuò)誤的；故選C.【點(diǎn)睛】考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．若2m＝a，32n＝b，m，n為正整數(shù)，則23m+10n用含a，b式子表示的為（

）A．3a+2b B．a(chǎn)3+b2 C．6ab D．a(chǎn)3b2【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及其逆運(yùn)算法則即可求解．【詳解】∵，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及其逆運(yùn)算的知識(shí)，掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及其逆運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．4．已知：，其中☆代表一個(gè)常數(shù)，則☆的值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用因式分解即可解答．【詳解】解：將因式分解，得：，故☆，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是：掌握因式分解的基本方法．5．若多項(xiàng)式可以寫成一個(gè)整式的平方，則常數(shù)的值可以為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定a值．【詳解】解：根據(jù)題意可得：或，∵多項(xiàng)式可以寫成一個(gè)整式的平方，∴或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．完全平方公式．6．課堂上老師布置了四個(gè)計(jì)算題，以下是小林給出的四個(gè)題的答案，則小林做對(duì)了（

）計(jì)算：；；；．A．題 B．題 C．題 D．題【答案】B【分析】利用積的乘方、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、合并同類項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：，故此計(jì)算錯(cuò)誤；，故此計(jì)算錯(cuò)誤；，故此計(jì)算錯(cuò)誤；，故此計(jì)算正確，符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、合并同類項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，即，由，可得，則答案可得．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了立方和公式，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，難度較大．8．若則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將兩邊同時(shí)平方，求出，可湊出，再開方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用和開平方的運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，從邊長(zhǎng)為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則長(zhǎng)方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出，求出即可．【詳解】解：長(zhǎng)方形的面積為：=6a-9(cm2).故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式與幾何圖形．10．如圖，4張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式放置，陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，若S2＝2S1，則a，b滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝3b【答案】B【分析】從圖形可知空白部分的面積為S2是中間邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形面積與上下兩個(gè)直角邊為（a+b）和b的直角三角形的面積，再與左右兩個(gè)直角邊為a和b的直角三角形面積的總和，陰影部分的面積為S1是大正方形面積與空白部分面積之差，再由S2＝2S1，便可得解．【詳解】由圖形可知，S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求陰影部分面積和因式分解，關(guān)鍵是正確列出陰影部分與空白部分的面積和正確進(jìn)行因式分解．二、填空題11．計(jì)算______________．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，將它們的系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘，即可計(jì)算求值．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，同底數(shù)冪乘法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．12．化簡(jiǎn)：__．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，平方差公式，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．已知m2+m﹣1=0，則m3+2m2+2014=_____．【答案】2015【詳解】試題分析：∵m2+m﹣1=0，∴m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m2+m+2014=1+2014=2015．故答案為2015．考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；代數(shù)式求值14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為m＋5，面積記為S1，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．【答案】7【分析】先根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根據(jù)S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【詳解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m為正整數(shù)，∴S2與S1都是正整數(shù)，∵某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及整式加減等相關(guān)知識(shí)，能夠根據(jù)題意得到2m+2＝16是解決本題的關(guān)鍵．15．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，則式子m2﹣mn﹣n2的值為__．【答案】【分析】將m2﹣mn﹣n2變形，將2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，整體代入化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：∵2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，∴m2﹣mn﹣n2＝m2+mn﹣n2﹣mn﹣3n2＝（2m2+2mn﹣n2）﹣（mn+2n2）＝（3a﹣35）﹣（2+a）＝a-＝．故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，根據(jù)已知條件正確對(duì)要求的代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵．16．已知是完全平方式，則的值為__________．【答案】25【分析】由已知是一個(gè)完全平方式，首項(xiàng)4x=（2x），中間項(xiàng)20x=2×2x×5，所以，末項(xiàng)m=5=25．【詳解】∵是一個(gè)完全平方式，∴4x+20x+m=(2x+5)，∴m=25.故答案為25.【點(diǎn)睛】此題考查完全平方式，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.三、解答題17．因式分解：(1)6（m－n）3－12（n－m）2(2)x4－8x2y2＋16y4【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法進(jìn)行分解，即可求解；（2）先利用完全平方公式計(jì)算，再利用平方差公式計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：6（m－n）3－12（n－m）2（2）解：x4－8x2y2＋16y4【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解的方法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．18．計(jì)算與化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）已知，，，求的值【答案】（1）3；（2）；（3）－4【分析】（1）先算指數(shù)運(yùn)算，再算加減法；（2）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)；（3）將變形為的形式，代值求解．【詳解】（1）原式=－1+1－(－3)=3（2）原式=（3）==【點(diǎn)睛】本題考查乘方運(yùn)算和去括號(hào)，注意當(dāng)括號(hào)前為“－”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)需要變號(hào)．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，0．【詳解】試題分析：解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)，再代入求值．試題解析：原式==，當(dāng)時(shí)，原式=．考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．20．某廠現(xiàn)有種原料，種原料，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)，兩個(gè)品種的飲料，已知生產(chǎn)每千克品種的飲料需要種原料，種原料，可獲利元，生產(chǎn)每千克品種的飲料只需要種原料，可獲利3千元，兩種原料正好用完.（1）生產(chǎn)品種的飲料________千克.（2）生產(chǎn)品種的飲料使用種原料多少千克？（3）該廠共獲利多少元？（用含，的式子表示）【答案】（1）200；（2）生產(chǎn)N品種的飲料使用種原料30千克；（3）該廠共獲利元.【分析】（1）根據(jù)題意，因?yàn)閮煞N原料正好全部用完，而N品種飲料不需要A種原料，所以A種原料皆為M品種飲料所用，用種原料除以每千克品種飲料所需要的種原料即可得出答案；（2）先將A品種飲料消耗的B種原料算出來(lái)，用B種原料總量減去它即可；（3）根據(jù)題意，列出代數(shù)式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）生產(chǎn)品種的飲料：（千克），所以答案為200.（2）生產(chǎn)品種的飲料所用B種原料：（千克），∵原料正好用完，∴生產(chǎn)品種的飲料使用種原料：（千克），答：生產(chǎn)品種的飲料使用種原料30千克.（3）共生產(chǎn)N品種飲料：（千克），∴該廠獲利：（元）答：該廠共獲利元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.21．若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，∴.請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：（1）若滿足，求的值；（2）已知正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是，上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是35，分別以，為邊作正方形和正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）(x-2018)(x-2021)=16；（2）陰影部分的面積是24．【分析】（1）設(shè)x-2018=a，x-2021=b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；（2）設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為x，進(jìn)而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)x-2018=a，x-2021=b，∴a2+b2=41，a-b=3，∴-2(x-2018)(x-2021)=-2ab=(a-b)2-(a2+b2)=9-41=-32，∴(x-2018)(x-2021)=16；（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x-1，DF=x-3，∴(x-1)?(x-3)=35，∴(x-1)-(x-3)=2，∴陰影部分的面積=FM2-DF2=(x-1)2-(x-3)2．設(shè)(x-1)=a，(x-3)=b，則(x-1)(x-3)=ab=35，a-b=(x-1)-(x-3)=2，∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+140=144，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=12，∴(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=12×2=24．即陰影部分的面積是24．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應(yīng)從整體和部分兩方面來(lái)理解完全平方公式的幾何意義，主要圍繞圖形面積展開分析．22．閱讀下列材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：；，因?yàn)椋吹淖钚≈凳?，所以的最小值是5．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：；（2）求的最小值；（3）求的最大值．【答案】（1）；（2）2020；（3）2020【分析】（1）根據(jù)材料運(yùn)用配方法即可解答；（2）先根據(jù)材料運(yùn)用配方法得到，再根據(jù)，即可解答；（3）先根據(jù)材料運(yùn)用配方法得到，再由因?yàn)?，即可解答．【詳解】解：?）（2）因?yàn)?，即的最小值?．所以的最小值是2020．（3）因?yàn)椋?，即的最大值?所以的最大值是2020．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟.注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．23．圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為___．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的