11.3 多邊形的內角和

11.3多邊形的內角和基礎過關練1．從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊分成10個三角形，則這個多邊形是（

）邊形A．十 B．十一 C．十二 D．十三2．從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）處出發(fā)，連接各個頂點得到2021個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20203．下列說法正確的有（）個．①把一個角分成兩個角的射線叫做這個角的角平分線；②連接C、D兩點的線段叫兩點之間的距離；③兩點之間直線最短；④n邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出（n-3）條對角線，這些對角線把這個n邊形分成了（n-2）個三角形．A．3 B．2 C．1 D．04．一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2000°，則這個內角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°5．一個正多邊形的每個外角都等于40°，則它的內角和是（）A．1000° B．1620° C．1260° D．6．如圖，小明從正八邊形（各邊相等，各內角也相等）草地的一邊AB上一點S出發(fā)，步行一周回到原處在步行的過程中，小明轉過的角度的和是（

）A．0° B．45° C．180° D．360°7．如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，F(xiàn)，G是邊CD，DE上的點，且BF∥AG．若∠CFB=57°，則∠AGD=（）A．108° B．36° C．129° D．72°8．若正多邊形的一個內角是，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．12 B．13 C．14 D．159．若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．610．若一個正多邊形的一個外角是72°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．511．若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形12．如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個外角，若∠A+∠B=230°，則∠1+A．130° B．180° C．230° D．330°13．八邊形的外角和是（

）.A． B． C．540° D．360°14．若一個正多邊形的每個內角都是120°，則這個正多邊形是（

）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形15．已知一個多邊形的內角和與外角和的和為1620°，這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10能力提升練16．下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，217．下列圖形中，是正多邊形的是(

)A．三條邊都相等的三角形 B．四個角都是直角的四邊C．四邊都相等的四邊形 D．六條邊都相等的六邊形18．某個人從多邊形一個頂點出發(fā)引對角線可以把這個多邊形分成八個三角形，這個多邊形是（

）邊形A．六 B．八 C．十 D．十一19．如圖所示，要使一個六邊形木架在同一平面內不變形，至少還要再釘上（

）根木條.A．1 B．2 C．3 D．420．如圖，將多邊形分割成三角形.圖①中可分割出2個三角形，圖②中可分割出3個三角形，圖③中可分割出4個三角形.由此你能推測出n邊形可以分割出三角形（

）A．(n?2)個 B．(n?1)個 C．n個 D．無數(shù)個21．如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2A． B．51° C．42° D．49°22．如圖所示，在正六邊形ABCDEF內，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則（

）A．10° B．12° C．14° D．15°23．多邊形的邊數(shù)由3增加到，其外角度數(shù)之和是（

）A．增加 B．保持不變 C．減小 D．變成(n?3)1824．如圖，∠A+A．180° B．360° C．25．如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1A．72° B．84° C．82° D．94°26．如圖，伸縮晾衣架利用的幾何原理是四邊形的_______________．27．如圖，求∠A+28．一個多邊形的每一個內角都是它對應外角的3倍，這個多邊形的邊數(shù)是__．拓展培優(yōu)練29．已知：一個多邊形所有的內角與它的一個外角的和等于2011°．(1)求這個外角的度數(shù)；(2)求它的邊數(shù).30．如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；(2)如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請直接寫出α，β所滿足的數(shù)量關系式；(3)如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關系，并說明理由．31．探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關系呢？(1)已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數(shù)量關系．探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？(2)已知：如圖2，△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關系．探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？(3)已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A＋∠B的數(shù)量關系．32．（1）問題發(fā)現(xiàn)：小紅在數(shù)學課上學習了外角的相關知識后，她很容易地證明了三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，于是，愛思考的小紅在想，四邊形的外角是否也具有類似的性質呢？如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關系是_________________；（2）總結歸納：如果我們把∠1，∠2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關系式；（3）知識應用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；（4）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度數(shù)．33．當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．(1)如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由．(2)如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖③，若α＝110°，設鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當?shù)趎次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）34．已知MN//，點B、C在MN上（B在C左側），A在上，連接AB、AC，∠PAB=60°，，AE平分∠PAC，平分∠ABC，AE、交于點E．(1)求∠AEB(2)若將圖1中的線段AC沿向右平移到DC如圖2所示位置，DE平分∠ADC，平分∠ABC，DE、交于點E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，請你直接寫出的度數(shù)：(3)若將圖1中的線段AC沿向左平移到DC如圖3所示位置，其它條件與（2）相同，猜想此時的度數(shù)又是多少．（不需要證明）

11.3多邊形的內角和基礎過關練1．從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊分成10個三角形，則這個多邊形是（

）邊形A．十 B．十一 C．十二 D．十三【答案】C【分析】從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以引（n?3）條對角線，把n邊形分為（n?2）的三角形．【詳解】解：由題意可知，n?2＝10，解得n＝12．∴這個多邊形的邊數(shù)為12．故選：C．【點睛】此題主要考查了多邊形，關鍵是掌握從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以把n邊形分為（n?2）的三角形．2．從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）處出發(fā)，連接各個頂點得到2021個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】B【分析】設多邊形的邊數(shù)為n，可根據(jù)多邊形的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到的三角形個數(shù)為n-1，即可求解．【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：n-1=2020，解得n=2021，故選：B【點睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化，理解多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到的三角形個數(shù)=多邊形的邊數(shù)-1是解題的關鍵．3．下列說法正確的有（）個．①把一個角分成兩個角的射線叫做這個角的角平分線；②連接C、D兩點的線段叫兩點之間的距離；③兩點之間直線最短；④n邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出（n-3）條對角線，這些對角線把這個n邊形分成了（n-2）個三角形．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】利用角平分線的定義、兩點間距離的定義、線段公理（兩點之間線段最短）、以及多邊形對角線的求法分析得出即可．【詳解】解：①從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線，故原說法錯誤；②連接C、D兩點的線段的長度叫兩點之間的距離，故原說法錯誤；③兩點之間線段最短，故原說法錯誤；④n邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出(n?3)條對角線，這些對角線把這個n邊形分成了(n?2)個三角形，此說法正確．所以，正確的說法只有1個，故選：C．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義、兩點間距離的定義、線段公理（兩點之間線段最短）、以及多邊形對角線的求法等知識，正確把握相關定義是解題關鍵．4．一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2000°，則這個內角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°【答案】A【分析】設多邊形的邊數(shù)是n，沒加的內角為x，根據(jù)多邊形的內角和公式n?2?【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)是n，沒加的內角為x，根據(jù)題意得：n?2?∵2000°÷180°=11...20°，∴n=14，x=160°．故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式，根據(jù)多邊形的內角和公式可得多邊形的內角和是180°整數(shù)倍是解題的關鍵．5．一個正多邊形的每個外角都等于40°，則它的內角和是（）A．1000° B．1620° C．1260° D．【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內角和公式求出即可．【詳解】解：設這個多邊形是n邊形，根據(jù)多邊形的外角和為360°可得，40°×n=360°，解得n=9．所以這個多邊形的內角和為（9-2）×180°=1260°．故選C.【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，能正確求出多邊形的邊數(shù)是解此題的關鍵，注意：多邊形的外角和等于360°，邊數(shù)為n的多邊形的內角和=(n?2)×180°.6．如圖，小明從正八邊形（各邊相等，各內角也相等）草地的一邊AB上一點S出發(fā)，步行一周回到原處在步行的過程中，小明轉過的角度的和是（

）A．0° B．45° C．180° D．360°【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的內角和求出每個內角，再求出每次轉過的角度45°，一共轉8次，利用45°×8計算即可.【詳解】解：∵ABCDEFGH為正八邊形，∴每個內角為（8-2）×180°÷8=135°，小明每轉一次轉過的角為180°-135°=45°，步行一周回到原處，小明一共轉八次所有轉過的角度之和為45°×8=360°，故選:D．【點睛】本題考查正八邊形的內角和、每個內角、外角與外角和，掌握正多邊形相關知識是解題關鍵．7．如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，F(xiàn)，G是邊CD，DE上的點，且BF∥AG．若∠CFB=57°，則∠AGD=（）A．108° B．36° C．129° D．72°【答案】C【分析】過點D作DH∥FB交AB于點H，根據(jù)平行線的性質先求出∠CDH=57°，然后求出∠HDG=51°，最后利用平行線的性質求得即可．【詳解】解：過點D作DH∥FB交AB于點∵∠CFB=57°∴∠CDH=在正五邊形ABCDE中，∠CDE=108°∴∠HDE=∵BF∴∠AGD=180°?故選：C．【點睛】本題考查了正五邊形的性質，平行線的判定和性質，構造輔助線是解決本題的關鍵．8．若正多邊形的一個內角是，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】一個正多邊形的每個內角都相等，根據(jù)內角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：外角是180°?156°=24°，360°÷24°=15，∴這個正多邊形是正十五邊形．故選D．【點睛】考查了多邊形內角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關，由外角和求正多邊形的邊數(shù)是解題關鍵．9．若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計算即可．【詳解】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個外角都相等是解題的關鍵．10．若一個正多邊形的一個外角是72°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數(shù)，就得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：這個正多邊形的邊數(shù)：360°÷72°=5．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角的關系，解題的關鍵是熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關系．11．若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】A【分析】根據(jù)多邊形內角和公式n?2×180°【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意列方程得，n?2×180°=360°n?2=2，∴n=4，故選：A．【點睛】本題考查的知識點多邊形的內角和與外角和，熟記多邊形內角和公式是解題的關鍵．12．如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個外角，若∠A+∠B=230°，則∠1+A．130° B．180° C．230° D．330°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，以及已知條件，求得∠4+【詳解】如圖，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∠EAB+∴∠4+∠∴∠故選C【點睛】本題考查了多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和是360度是解題的關鍵．13．八邊形的外角和是（

）.A． B． C．540° D．360°【答案】D【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360度即可求出答案．【詳解】解：八邊形的外角和是360°．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，任何多邊形的外角和是360度．外角和與多邊形的邊數(shù)無關．14．若一個正多邊形的每個內角都是120°，則這個正多邊形是（

）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【答案】A【分析】設所求正多邊形邊數(shù)為n，根據(jù)內角與外角互為鄰補角，可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，由60°?n=360°，求解即可．【詳解】解：設所求正多邊形邊數(shù)為n，∵正n邊形的每個內角都等于120°，∴正n邊形的每個外角都等于180°-120°=60°．又因為多邊形的外角和為360°，即60°?n=360°，∴n=6．所以這個正多邊形是正六邊形．故選：A．【點睛】本題考查了多邊形內角和外角和的知識，解答本題的關鍵在于熟練掌握任何多邊形的外角和都是360°．15．已知一個多邊形的內角和與外角和的和為1620°，這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°求得這個多邊形的內角和，再根據(jù)多邊形的內角和公式求解即可．【詳解】解：由題意可知，多邊形的內角和為1620°?360°=1260°，設多邊形的邊數(shù)為n，則(n?2)×180°=1260°，解得，n=9，故選：C【點睛】此題考查了多邊形內角和和外角和的性質，解題的關鍵是掌握多邊形內角和公式．能力提升練16．下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成．【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可．17．下列圖形中，是正多邊形的是(

)A．三條邊都相等的三角形 B．四個角都是直角的四邊C．四邊都相等的四邊形 D．六條邊都相等的六邊形【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的定義即可解答.【詳解】選項A，三條邊都相等的三角形是等邊三角形，它的三個角相等，三條邊都相等，是正多邊形；選項B、C、D不符合正多邊形的定義，都不是正多邊形.故選A．【點睛】本題主要考查了正多邊形的定義，熟練運用正多邊形的定義是解決問題的關鍵．18．某個人從多邊形一個頂點出發(fā)引對角線可以把這個多邊形分成八個三角形，這個多邊形是（

）邊形A．六 B．八 C．十 D．十一【答案】C【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n?3）條對角線，可組成n?2個三角形，依此可得n的值．【詳解】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n?3）條對角線，可組成n?2個三角形，∴n?2＝8，即n＝10．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程思想，解方程求n．19．如圖所示，要使一個六邊形木架在同一平面內不變形，至少還要再釘上（

）根木條.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，能做（n-3）條對角線，把三角形分成（n-2）個三角形．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，要使六邊形木架不變形，至少再釘上3根木條；要使一個n邊形木架不變形，至少再釘上（n-3）根木條．故選：C.【點睛】本題考查了多邊形以及三角形的穩(wěn)定性；掌握從一個頂點把多邊形分成三角形的對角線條數(shù)是n-3．20．如圖，將多邊形分割成三角形.圖①中可分割出2個三角形，圖②中可分割出3個三角形，圖③中可分割出4個三角形.由此你能推測出n邊形可以分割出三角形（

）A．(n?2)個 B．(n?1)個 C．n個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】（1）三角形分割成了兩個三角形；（2）四邊形分割成了三個三角形；（3）以此類推，n邊形分割成了（n-1）個三角形．【詳解】根據(jù)圖形分析規(guī)律（1）三角形分割成了兩個三角形；（2）四邊形分割成了三個三角形；（3）以此類推，n邊形分割成了（n-1）個三角形．即n邊形可以分割出(n?1)個三角形故選B.【點睛】本題考查多邊形的問題，根據(jù)具體數(shù)值進行分析找出規(guī)律是解題關鍵.21．如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2A． B．51° C．42° D．49°【答案】A【分析】先求出正六邊形的內角和外角，再根據(jù)三角形的外角性質以及平行線的性質，即可求解．【詳解】解：∵正六邊形的每個內角等于120°，每個外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光線是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故選A【點睛】本題主要考查平行線的性質，三角形外角性質以及正六邊形的性質，掌握三角形的外角性質以及平行線的性質是解題的關鍵．22．如圖所示，在正六邊形ABCDEF內，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則（

）A．10° B．12° C．14° D．15°【答案】B【分析】利用正n邊形的外角和定理計算即可【詳解】如圖，延長BA到點O，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAO=3606∵五邊形ABGHI是正五邊形，∴∠IAO=3605∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故選B．【點睛】本題考查了正多邊形的外角和定理，熟練掌握正ｎ邊形的外角和定理是解題的關鍵．23．多邊形的邊數(shù)由3增加到，其外角度數(shù)之和是（

）A．增加 B．保持不變 C．減小 D．變成(n?3)18【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理即可解決．【詳解】解：任何多邊形的外角和都是360°．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的外角和，多邊形的外角和是360度，并不隨邊數(shù)的變化而變化．24．如圖，∠A+A．180° B．360° C．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質和多邊形外角和定理得出答案即可．【詳解】解：由三角形外角的性質可得：等于中間四邊形四個外角的和，故∠A+故選：B．【點睛】本題考查了三角形外角的性質和多邊形外角和定理，判斷出所求角度的和等于中間四邊形四個外角的和是解題的關鍵．25．如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1A．72° B．84° C．82° D．94°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形內角和公式求出正六邊形和正五邊形的內角和內角的補角，結合三角形內角和定理即可求解；【詳解】解：正六邊形的內角為：180°×6?2正五邊形的內角為：180°×5?2∴∠故選：B【點睛】本題主要考查多邊形內角和公式，三角形的內角和定理，掌握相關知識并正確求解是解題的關鍵．26．如圖，伸縮晾衣架利用的幾何原理是四邊形的_______________．【答案】靈活性．【分析】根據(jù)四邊形的靈活性，可得答案．【詳解】我們常見的晾衣服的伸縮晾衣架，是利用了四邊形的靈活性，故答案為靈活性．【點睛】此題考查多邊形，解題關鍵在于掌握四邊形的靈活性.27．如圖，求∠A+【答案】225°##225度【分析】連接AD，BC，根據(jù)三角形內角和、四邊形內角和求解即可．【詳解】解：連接AD，BC，四邊形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，∴∠EAD＋∠ADE＝180°?105°＝75°，∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，∴∠FCB十∠FBC＝180°?120°＝60°，∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360°?（∠EAD＋∠ADE）?（∠FCB＋∠FBC）＝360°?75°?60°＝225°，故答案為：225°．【點睛】此題考查了多邊形的內角和，熟記多邊形的內角和公式是解題的關鍵．28．一個多邊形的每一個內角都是它對應外角的3倍，這個多邊形的邊數(shù)是__．【答案】8【分析】假設多邊形的邊數(shù)是n，則每一個內角是180°n?2n，內角所對的外角為，利用，可得：．【詳解】解：假設多邊形邊數(shù)為n，則多邊形的每一個內角是180°n?2∴內角所對的外角為，∵解得：，故答案為：8．【點睛】本題考查多邊形的內角和與外角和，關鍵是利用多邊形內角和公式表示出每一個內角，再表示出內角所對的外角．拓展培優(yōu)練29．已知：一個多邊形所有的內角與它的一個外角的和等于2011°．(1)求這個外角的度數(shù)；(2)求它的邊數(shù).【答案】(1)這個外角的度數(shù)是31°；(2)邊數(shù)為13【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是這個多邊形的邊數(shù)，余數(shù)是這個多邊形的一個外角度數(shù)求解即可．（1）解：∵一個多邊形的所有內角與它的一個外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°，∴這個外角的度數(shù)是31°；（2）解：∵一個多邊形的所有內角與它的一個外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°，∴這個多邊形的邊數(shù)為：11+2=13．【點睛】此題考查了多邊形的內角，熟記多邊形的內角和公式是解題的關鍵．30．如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；(2)如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請直接寫出α，β所滿足的數(shù)量關系式；(3)如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關系，并說明理由．【答案】(1)105°(2)β-α=90°(3)BE∥DF，理由見解析【分析】（1）利用四邊形的內角和和平角的定義推導即可；（2）利用角平分線的定義，四邊形的內角和以及三角形的內角和轉化即可；（3）利用角平分線的定義以及平行線的判定與性質即可解答．（1）解：∵四邊形ABCD的內角和為360°，∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC=360°－（∠ABC+∠ADC），=α+β=105°；（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正確）．理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，∴12（α+β）+180°-β+45°=180°，∴β-α=90°．故答案為β-（3）解：BE∥DF．理由：如圖2，過點C作CP∥BE，則∠EBC=∠BCP，∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，∵α=β，∴∠MBC+∠NDC=2β，又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）=β，∴∠FDC=β－∠EBC，又∵∠DCP=β－∠EBC，∴∠FDC=∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【點睛】此題主要考查了平行線的性質及其判定、平角的定義，四邊形的內角和，三角形內角和，角平分線的定義，用整體代換的思想是解本題的關鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強訓練．31．探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關系呢？(1)已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數(shù)量關系．探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？(2)已知：如圖2，△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關系．探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？(3)已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A＋∠B的數(shù)量關系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內角和定理整理即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根據(jù)四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A，理由如下：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠ACD，∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12∠ACD＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD）＝180°﹣12（180°﹣（3）解：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠BCD，∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12∠BCD＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD）＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B）＝12【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，四邊形的內角和定理，熟練掌握角平分線的定義及外角性質是解題的關鍵．32．（1）問題發(fā)現(xiàn)：小紅在數(shù)學課上學習了外角的相關知識后，她很容易地證明了三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，于是，愛思考的小紅在想，四邊形的外角是否也具有類似的性質呢？如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關系是_________________；（2）總結歸納：如果我們把∠1，∠2稱為四邊形的外角，那么請你用文字描述上述的關系式；（3）知識應用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；（4）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四邊形的相鄰的兩個外角的和等于和它不相鄰的兩個內角的和；（3）65°；（4）30°【分析】（1）根據(jù)兩個等式，利用等式性質得出∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關系；（2）仿照三角形的外角定理求解；（3）根據(jù)（1）結論，先確定∠MDA與∠DAN的和，再根據(jù)角平分線的性質，可以確定∠EDA與∠DAE的和，從而求∠E的度數(shù)；（4）先確定∠CDN與∠CBM之和，再確定∠CDP與∠CBP之和，進而確定∠ADC與∠ABP之和，再根根四邊形內角和，從而求∠P的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD的內角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D，故答案為：∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）結論為：四邊形的相鄰的兩個外角的和等于和它不相鄰的兩個內角的和；（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，∵AE，DE分別是∠NAD和∠MDA的平分線，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°，∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝180°，∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，即∠ADP+∠ABP＝240°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．【點睛】本題考查考查了三角形的綜合題，閱讀題目，理解題意是解題的關鍵．33．當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．(1)如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由．(2)如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖③，若α＝110°，設鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當?shù)趎次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）【答案】(1)，理由見解析；(2)2∠(3)90°+m【分析】（1）利用同旁內角互補，兩直線平行加以證明；（2）利用三角形的外角性質證明即可；（3）分兩種情況畫圖討論：①當n=3時；②當n=2時．（1）解：EF∥GH，理由如下：在△BEG中，，∵α=90°，，∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∠3+∠4+∠EGH=180°,∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，∴∠FEG+∠EGH=180°（2）解：β=2α?180°．理由如下：在△BEG中，，，∵∠1=∠2,∠1=∠MEB，，，∵∠3=∠4,∠4=∠MGB，，，在△MEG中，∠