2023屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

高三模擬試題PAGEPAGE1涼山州2023屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗化簡(jiǎn)等式得到，計(jì)算得到共軛復(fù)數(shù)，即可得到的值.〖詳析〗解：由題意在中，∴∴故選：B.2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計(jì)甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差相等D.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班大〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大??；C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義計(jì)算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項(xiàng)，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績(jī)更集中在平均數(shù)的周?chē)史讲钚?〖詳析〗甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為，甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班大，B錯(cuò)誤；甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為，故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差不相等，C錯(cuò)誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績(jī)更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績(jī)更分散，沒(méi)有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班小，D錯(cuò)誤.故選：A3.設(shè)集合，，則子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，從而得到，再求子集個(gè)數(shù)即可.〖詳析〗，，所以，的子集個(gè)數(shù)為.故選：C4.設(shè)，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由向量垂直的坐標(biāo)表示求，再由向量減法的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示求.〖詳析〗因?yàn)椋?，且，所以，所以，則，可得．故選：D．5.已知為拋物線焦點(diǎn)，過(guò)作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.〖詳析〗由題可知，由，可得，所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，所以，，解得，所以拋物線方程.故選：B.6.一元二次方程的兩根滿(mǎn)足，這個(gè)結(jié)論我們可以推廣到一元三次方程中．設(shè)為函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)（且）的三個(gè)實(shí)根分別為，依題意可得，再根據(jù)整式的乘法展開(kāi)，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.〖詳析〗設(shè)（且）的三個(gè)實(shí)根分別為，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函數(shù)中，，，，故選：D7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問(wèn)島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測(cè)量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測(cè)點(diǎn)與，共線，目測(cè)點(diǎn)與，共線，測(cè)出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.21〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題可得，，結(jié)合條件即得.〖詳析〗由題可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故選：A.8.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是底面正方形的中心，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，其中，，由求出的值，即可得解.〖詳析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，，其中，，，，因?yàn)?，則，解得，故.故選：D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即得.〖詳析〗因?yàn)椋?，即，又為等比?shù)列，，所以同號(hào)，，又，所以．故選：C.10.小明去參加法制知識(shí)答題比賽，比賽共有，，三道題且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立．已知三道題的分值和小明答對(duì)每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對(duì)的概率記小明所得總分為（分），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由概率乘法公式分別求出，由此可得結(jié)論.〖詳析〗由已知，，所以，故選：A.11.已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.〖詳析〗因?yàn)?，所以的最小正周期是，故①正確；若在處取得極值，則，即，又，故，故②錯(cuò)誤；把的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故③正確；由，可得，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故④正確；所以真命題的個(gè)數(shù)為3.故選：C.12.已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗對(duì)于選項(xiàng)A，通過(guò)令，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)解出的單調(diào)性，再結(jié)合有兩個(gè)不同零點(diǎn)即可得出與的大小關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對(duì)稱(chēng)定義得出關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得出，且，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，通過(guò)對(duì)零點(diǎn)的分析結(jié)合選項(xiàng)A中的證明，得出，結(jié)合選項(xiàng)C中的證明利用單調(diào)性得出即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，結(jié)合選項(xiàng)C，D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)再構(gòu)造得出的單調(diào)性即可由于單調(diào)性得出，即可證明比離遠(yuǎn)，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出，即可判斷.〖詳析〗對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，即，令，則，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，則，則當(dāng)有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，則，由基本不等式可得，則，則，則再定義域上單調(diào)遞增，，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，則，，且由選項(xiàng)A得知，當(dāng)時(shí)，解得的，即，由選項(xiàng)A中可知在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，則，且，令，且，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，，，，則，即在上單調(diào)遞減，，即，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，則比離遠(yuǎn)，則，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B中可知，且，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B中可知再定義域上單調(diào)遞增，且，，則，則，則故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗導(dǎo)函數(shù)中常見(jiàn)的解題轉(zhuǎn)化方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問(wèn)題，需要注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（2）函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題處理.難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時(shí)需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.〖詳析〗畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)在上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.14.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.〖詳析〗因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)為，所以，．故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：5.15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構(gòu)成數(shù)列，則__________．〖答案〗13〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.〖詳析〗由題可知正整數(shù)按1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3，……，進(jìn)行排列，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以.故〖答案〗為：13.16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.〖詳析〗由題可知，，設(shè)切線，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又兩切線斜率之積等于，所以，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.三、解答題．（解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語(yǔ)：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學(xué)生對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男60女合計(jì)（2）從樣本中對(duì)足球沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，〖答案〗（1）填表見(jiàn)〖解析〗；有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”（2）分布列見(jiàn)〖解析〗；期望為1〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求，分析理解；（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.〖小問(wèn)1詳析〗根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男55560女301040合計(jì)8515100所以有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”.〖小問(wèn)2詳析〗按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，則有：，，∴的分布列為：012故，即的期望為1.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）若，與平面所成的角為，求的取值范圍．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，所以且，又當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．〖小?wèn)2詳析〗因?yàn)?，，，所以，?又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范圍為．19.在銳角中，角A，，所對(duì)的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角關(guān)系可得角；（2）由（1）及已知得角范圍，利用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，從而得出的范圍，再由三角形面積公式得面積范圍．〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，因?yàn)椋?，由得．〖小?wèn)2詳析〗因?yàn)?，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．20.已知，分別是橢圓的上下頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于軸上方兩點(diǎn)，．若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由．〖答案〗（1）；（2）是，直線過(guò)定點(diǎn).〖解析〗分析〗（1）由題可得，然后把點(diǎn)代入橢圓方程可得，即得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而即得.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在圖像上，所以，所以，所以橢圓的方程為；〖小問(wèn)2詳析〗由題可設(shè)直線：，、，，由，得，則，，又，即，所以，即，，解得，又，即，所以，，所以直線過(guò)定點(diǎn)．21.已知函數(shù)．（1）是的導(dǎo)函數(shù)，求的最小值；（2）已知，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍．〖答案〗（1）0（2）證明見(jiàn)〖解析〗（3）〖解析〗〖祥解〗（1）求出的表達(dá)式，求導(dǎo)，通過(guò)討論的單調(diào)性，即可求出的最小值；（2）通過(guò)（1）中的取值范圍得出，即可證明不等式；（3）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)（1）中的結(jié)論，可得出的取值范圍，即可求得的取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗由題意，在中，所以，，在中，，，令，解得，又時(shí)，，時(shí)，，∴，即的最小值為0．〖小問(wèn)2詳析〗在中，，

可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴時(shí)，，即，∴.∴不等式成立．〖小問(wèn)3詳析〗由題意及（1）（2）得，.當(dāng)時(shí)，恒成立，∴不等式恒成立，令，則命題等價(jià)于，∵，∴.∴，當(dāng)，即時(shí)能取等號(hào)，∴，即.∴的取值范圍為．〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，以及求參數(shù)，具有較強(qiáng)的綜合性.請(qǐng)考生在第22、23兩題中選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑．〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（2）是曲線上的點(diǎn)，求到距離的最大值．〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用三角函數(shù)公式和極坐標(biāo)公式，代入?yún)?shù)方程即可得到直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程（2）根據(jù)是曲線上的點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，求出取值范圍，即可得到到距離的最大值.〖小問(wèn)1詳析〗由題意在中，，將代入上式得：，即直線的直角坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴，且，則曲線的普通方程為：．〖小問(wèn)2詳析〗由題意及（1）得，在中，是曲線上的點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離．∵，∴，∴，∴到距離的最大值為.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意分類(lèi)討論去絕對(duì)值解不等式；（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求的最小值，再結(jié)合恒成立問(wèn)題解不等式即得.〖小問(wèn)1詳析〗由于，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)．綜上：的解集為；〖小問(wèn)2詳析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即，解得，的取值范圍是．高三模擬試題PAGEPAGE1涼山州2023屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗化簡(jiǎn)等式得到，計(jì)算得到共軛復(fù)數(shù)，即可得到的值.〖詳析〗解：由題意在中，∴∴故選：B.2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計(jì)甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差相等D.甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班大〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大??；C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義計(jì)算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項(xiàng)，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績(jī)更集中在平均數(shù)的周?chē)?，故方差?〖詳析〗甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)中位數(shù)為，甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值比乙班大，B錯(cuò)誤；甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為，故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的極差不相等，C錯(cuò)誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績(jī)更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績(jī)更分散，沒(méi)有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙班小，D錯(cuò)誤.故選：A3.設(shè)集合，，則子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，從而得到，再求子集個(gè)數(shù)即可.〖詳析〗，，所以，的子集個(gè)數(shù)為.故選：C4.設(shè)，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由向量垂直的坐標(biāo)表示求，再由向量減法的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示求.〖詳析〗因?yàn)?，，且，所以，所以，則，可得．故選：D．5.已知為拋物線焦點(diǎn)，過(guò)作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即得.〖詳析〗由題可知，由，可得，所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，所以，，解得，所以拋物線方程.故選：B.6.一元二次方程的兩根滿(mǎn)足，這個(gè)結(jié)論我們可以推廣到一元三次方程中．設(shè)為函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)（且）的三個(gè)實(shí)根分別為，依題意可得，再根據(jù)整式的乘法展開(kāi)，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.〖詳析〗設(shè)（且）的三個(gè)實(shí)根分別為，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函數(shù)中，，，，故選：D7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問(wèn)島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測(cè)量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測(cè)點(diǎn)與，共線，目測(cè)點(diǎn)與，共線，測(cè)出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.21〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題可得，，結(jié)合條件即得.〖詳析〗由題可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故選：A.8.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是底面正方形的中心，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，其中，，由求出的值，即可得解.〖詳析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，，其中，，，，因?yàn)?，則，解得，故.故選：D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即得.〖詳析〗因?yàn)?，所以，即，又為等比?shù)列，，所以同號(hào)，，又，所以．故選：C.10.小明去參加法制知識(shí)答題比賽，比賽共有，，三道題且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立．已知三道題的分值和小明答對(duì)每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對(duì)的概率記小明所得總分為（分），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由概率乘法公式分別求出，由此可得結(jié)論.〖詳析〗由已知，，所以，故選：A.11.已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.〖詳析〗因?yàn)?，所以的最小正周期是，故①正確；若在處取得極值，則，即，又，故，故②錯(cuò)誤；把的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故③正確；由，可得，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故④正確；所以真命題的個(gè)數(shù)為3.故選：C.12.已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗對(duì)于選項(xiàng)A，通過(guò)令，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)解出的單調(diào)性，再結(jié)合有兩個(gè)不同零點(diǎn)即可得出與的大小關(guān)系；對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對(duì)稱(chēng)定義得出關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得出，且，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，通過(guò)對(duì)零點(diǎn)的分析結(jié)合選項(xiàng)A中的證明，得出，結(jié)合選項(xiàng)C中的證明利用單調(diào)性得出即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，結(jié)合選項(xiàng)C，D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)再構(gòu)造得出的單調(diào)性即可由于單調(diào)性得出，即可證明比離遠(yuǎn)，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出，即可判斷.〖詳析〗對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，即，令，則，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，則，則當(dāng)有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，則，由基本不等式可得，則，則，則再定義域上單調(diào)遞增，，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，令，則，，且由選項(xiàng)A得知，當(dāng)時(shí)，解得的，即，由選項(xiàng)A中可知在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，則，且，令，且，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，，，，則，即在上單調(diào)遞減，，即，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，則比離遠(yuǎn)，則，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B中可知，且，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B中可知再定義域上單調(diào)遞增，且，，則，則，則故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗導(dǎo)函數(shù)中常見(jiàn)的解題轉(zhuǎn)化方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問(wèn)題，需要注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（2）函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題處理.難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時(shí)需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.〖詳析〗畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)在上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.14.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.〖詳析〗因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)為，所以，．故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：5.15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構(gòu)成數(shù)列，則__________．〖答案〗13〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.〖詳析〗由題可知正整數(shù)按1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3，……，進(jìn)行排列，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以.故〖答案〗為：13.16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.〖詳析〗由題可知，，設(shè)切線，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又兩切線斜率之積等于，所以，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.三、解答題．（解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語(yǔ)：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學(xué)生對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對(duì)足球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男60女合計(jì)（2）從樣本中對(duì)足球沒(méi)有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機(jī)抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，〖答案〗（1）填表見(jiàn)〖解析〗；有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”（2）分布列見(jiàn)〖解析〗；期望為1〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求，分析理解；（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.〖小問(wèn)1詳析〗根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男55560女301040合計(jì)8515100所以有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生對(duì)足球是否有興趣與性別有關(guān)”.〖小問(wèn)2詳析〗按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，則有：，，∴的分布列為：012故，即的期望為1.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）若，與平面所成的角為，求的取值范圍．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，所以且，又當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．〖小?wèn)2詳析〗因?yàn)?，，，所以，?又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范圍為．19.在銳角中，角A，，所對(duì)的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角關(guān)系可得角；（2）由（1）及已知得角范圍，利用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，從而得出的范圍，再由三角形面積公式得面積范圍．〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，因?yàn)?，所以，由得．〖小?wèn)2詳析〗因?yàn)?，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．20.已知，分別是橢