2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率計算公式課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修3

PAGE課時素養(yǎng)評價十九古典概型的特征和概率計算公式(20分鐘·35分)1.下列是古典概型的是 ()A.隨意拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和作為基本領(lǐng)件B.求隨意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率,將取出的正整數(shù)作為基本領(lǐng)件C.從甲地到乙地共n條路途,求某人正好選中最短路途的概率D.拋擲一枚勻稱硬幣首次出現(xiàn)正面為止【解析】選C.A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等,故A不是;B項中的基本領(lǐng)件是無限的,故B不是;C項中滿意古典概型的有限性和等可能性,故C是;D項中基本領(lǐng)件既不是有限個也不具有等可能性,故D不是.2.某部三冊的小說,隨意排放在書架的同一層上,則各冊從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊的概率為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.全部基本領(lǐng)件為:123,132,213,231,312,321.其中從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊包含2個基本領(lǐng)件,所以P=QUOTE=QUOTE.3.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依題意,記兩次抽得卡片上的數(shù)字依次為a,b,則一共有25個不同的數(shù)組(a,b),其中滿意a>b的數(shù)組共有10個,分別為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率為QUOTE=QUOTE.4.從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是________.

【解析】由題意得,a,b有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12種取法.若滿意logab為整數(shù),則僅有a=2,b=8和a=3,b=9兩種狀況,所以logab為整數(shù)的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.下列隨機(jī)事務(wù):①某射手射擊一次,可能命中0環(huán),1環(huán),2環(huán),…,10環(huán);②一個小組有男生5人,女生3人,從中任選1人進(jìn)行活動匯報;③一只運用中的燈泡壽命長短;④拋出一枚質(zhì)地勻稱的硬幣,視察其出現(xiàn)正面或反面的狀況;⑤中秋節(jié)前夕,某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量,給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”.這些事務(wù)中,屬于古典概型的有________.

【解析】題號推斷緣由分析①不屬于命中0環(huán),1環(huán),2環(huán),…,10環(huán)的概率不肯定相同②屬于任選1人與學(xué)生的性別無關(guān),仍是等可能的③不屬于燈泡的壽命是任何一個非負(fù)實數(shù),有無限多種可能④屬于該試驗結(jié)果只有“正”“反”兩種,且機(jī)會均等⑤不屬于該品牌月餅評“優(yōu)”與“差”的概率不肯定相同答案:②④6.某商場實行有獎促銷活動,顧客購買肯定金額的商品后即可抽獎.抽獎方法是:從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,若摸出的2個球都是紅球則中獎,否則不中獎(全部的球除顏色外都相同).(1)用球的標(biāo)號列出全部可能的摸出結(jié)果;(2)有人認(rèn)為:兩個箱子中的紅球比白球多,所以中獎的概率大于不中獎的概率,你認(rèn)為正確嗎?請說明理由.【解析】(1)全部可能的摸出結(jié)果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)不正確.理由如下:由(1)知,全部可能的摸出結(jié)果共12種,其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4種,所以中獎的概率為QUOTE=QUOTE,不中獎的概率為1-QUOTE=QUOTE>QUOTE.故這種說法不正確.(30分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.一個袋子中裝有編號分別為1,2,3,4的4個小球,現(xiàn)有放回地摸球,規(guī)定每次只能摸一個球,若第一次摸到的球的編號為x,其次次摸到的球的編號為y,構(gòu)成數(shù)對(x,y),則全部數(shù)對(x,y)中滿意xy=4的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意可知兩次摸球得到的全部數(shù)對(x,y)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個,其中滿意xy=4的數(shù)對有(1,4),(2,2),(4,1),共3個.故所求事務(wù)的概率為QUOTE.2.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種,出現(xiàn)的狀況有:(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)共10種等可能狀況,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5種,則不相克的也是5種,所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為QUOTE.3.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.袋中的1個紅球、2個白球和3個黑球分別記為a,b1,b2,c1,c2,c3.從袋中任取兩球有{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15個基本領(lǐng)件.其中滿意兩球顏色為一白一黑的有{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},共6個基本領(lǐng)件.所以所求事務(wù)的概率為QUOTE=QUOTE.4.甲、乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲,先由甲在心中任想一個數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,則稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)隨意找兩人玩這個嬉戲,得出他們“心有靈犀”的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.甲、乙所猜數(shù)字的狀況有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16種狀況,其中滿意|a-b|≤1的狀況有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10種狀況,故所求概率為QUOTE=QUOTE.5.在5瓶飲料中,有2瓶已過了保質(zhì)期,從中任取2瓶,取到的全是已過保質(zhì)期的飲料的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)過保質(zhì)期的2瓶記為a,b,沒過保質(zhì)期的3瓶用1,2,3表示,試驗的結(jié)果為:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10種結(jié)果,2瓶都過保質(zhì)期的結(jié)果只有1個,所以P=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排,甲站在中間的概率為________.

【解析】基本領(lǐng)件為甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6個,其中甲站在中間的為乙甲丙、丙甲乙,共2個,所以甲站在中間的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.某汽車站每天均有3輛開往省城的分上、中、下等級的客車.某天王先生打算在該汽車站乘車去省城辦事,但他不知道客車的車況,也不知道發(fā)車依次.為了盡可能乘上上等車,他實行如下策略:先不上第一輛,假如其次輛比第一輛好則上其次輛,否則上第三輛,那么他乘上上等車的概率為________.

【解析】共有6種發(fā)車依次:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車),所以他乘上上等車的概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________.

【解析】2本不同的數(shù)學(xué)書用a1,a2表示,語文書用b表示,則共有(a1,a2,b),(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)6種不同的排法.其中兩本數(shù)學(xué)書相鄰的狀況有4種,故所求概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.甲、乙兩人參與法律學(xué)問競答,共有10道不同的題目,其中選擇題6道,推斷題4道,甲、乙兩人依次各抽一道題.(1)甲抽到選擇題,乙抽到推斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少?【解析】甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題,先抽的有10種抽法,后抽的有9種抽法,故全部可能的抽法是10×9=90種,即基本領(lǐng)件總數(shù)是90.(1)記“甲抽到選擇題,乙抽到推斷題”為事務(wù)A,下面求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù):甲抽到選擇題有6種抽法,乙抽到推斷題有4種抽法,所以事務(wù)A的基本領(lǐng)件數(shù)為6×4=24.P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)先考慮問題的對立面:“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對立事務(wù)是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”,即都抽到推斷題.記“甲、乙兩人都抽到推斷題”為事務(wù)B,“至少一個人抽到選擇題”為事務(wù)C,則B包含的基本領(lǐng)件數(shù)為4×3=12.所以由古典概型概率公式得P(B)=QUOTE=QUOTE,所以P(C)=1-P(B)=1-QUOTE=QUOTE.10.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參與活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.嘉獎規(guī)則如下:①若xy≤3,則嘉獎玩具一個;②若xy≥8,則嘉獎水杯一個;③其余狀況嘉獎飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱,四個區(qū)域劃分勻稱.小亮打算參與此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.【解析】用數(shù)對(x,y)表示兒童參與活動先后記錄的數(shù),則基本領(lǐng)件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng).因為S中元素的個數(shù)是4×4=16,所以基本領(lǐng)件總數(shù)n=16.(1)記“xy≤3”為事務(wù)A,則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=QUOTE,即小亮獲得玩具的概率為QUOTE.(2)記“xy≥8”為事務(wù)B,“3<xy<8”為事務(wù)C.則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)共6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=QUOTE=QUOTE.事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=QUOTE.因為QUOTE>QUOTE,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.1.連續(xù)拋擲質(zhì)地勻稱的骰子兩次,得到的點數(shù)分別記為a和b,則使直線3x-4y=0與圓(x-a)2+(y-b)2=4相切的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.連續(xù)拋擲質(zhì)地勻稱的骰子兩次的全部試驗結(jié)果有36種,要使直線3x-4y=0與圓(x-a)2+(y-b)2=4相切,則應(yīng)滿意QUOTE=2,即滿意|3a-4b|=10,符合題意的(a,b)有(6,2),(2,4),一共2個.所以由古典概型得所求概率為QUOTE=QUOTE.2.甲、乙兩人玩一種嬉戲,每次由甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數(shù)則甲贏,否則乙贏.(1)若以A表示事務(wù)“和為6”,求P(A);(2)若以B表示事務(wù)“和大于4而小于9”,求P(B);(3)這種嬉戲公允嗎?試說明理由.【解析】將全部可能狀況列表如下:甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知,該試驗共包括25個等可能發(fā)生的