2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.3.1幾何概型學案含解析新人教版必修3

PAGE3．3幾何概型3．3.1幾何概型內容標準學科素養(yǎng)1.理解幾何概型的定義及特點.2.駕馭幾何概型的計算方法和求解步驟，精確地把實際問題轉化為幾何概型問題.3.與長度、角度有關的幾何概型問題.提升數(shù)學運算發(fā)展數(shù)學抽象應用數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第61頁[基礎相識]學問點幾何概型預習教材P135－136，思索并完成以下問題每逢節(jié)假日，各大型商場競相出招，吸引顧客，其中某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤，規(guī)定顧客消費100元以上，就能獲得一次轉動轉盤的機會．假如轉盤停止后，指針正好對準①，②或③區(qū)域，顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券(轉盤被等分成20個扇形)，一位顧客消費了120元．(1)這位顧客獲得100元購物券的概率與什么因素有關？提示：與標注①的小扇形個數(shù)多少(面積大小)有關．(2)在該實例試驗中，試驗結果有多少個？其發(fā)生的概率相等嗎？提示：試驗結果有無窮多個，但每個試驗結果發(fā)生的概率相等．(3)如何計算該顧客獲得100元購物券的概率？提示：用標注①的扇形面積除以圓的面積．學問梳理1.幾何概型的定義假如每個事務發(fā)生的概率只與構成該事務區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點：(1)試驗中全部可能出現(xiàn)的結果(基本領件)有無限多個．(2)每個基本領件出現(xiàn)的可能性相等．3．幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）).4．當X為區(qū)間[a，b]上的隨意實數(shù)，并且是等可能的，我們稱X聽從[a，b]上的勻稱分布，X為[a，b]上的勻稱隨機數(shù)．[自我檢測]1．如圖所示，有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的嬉戲盤是()解析：A中獎概率為eq\f(3,8)，B中獎概率為eq\f(1,4)，C中獎概率為eq\f(1,3)，D中獎概率為eq\f(1,3)，故選A.答案：A2．X聽從[3，40]上的勻稱分布，則X的值不能等于()A．15B．25C．35 D．45解析：由于X∈[3，40]，則3≤X≤40，則X≠45.故選D.答案：D3．在區(qū)間[－1，2]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為__________．解析：∵區(qū)間[－1，2]的長度為3，由|x|≤1得x∈[－1，1]，而區(qū)間[－1，1]的長度為2，x取每個值為隨機的，∴在[－1，2]上取一個數(shù)x，|x|≤1的概率P＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)授課提示：對應學生用書第61頁探究一與長度、角度有關的幾何概型[閱讀教材P136例1]某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率．方法步驟：第一步，表示出事務；其次步，分析是否滿意幾何概型的條件；第三步，計算．[例1]在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM大于AC的概率．[解析]如圖，點M隨機地落在線段AB上，故線段AB的長度為試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度，在AB上截取AC′＝AC，當點M位于線段C′B上時，AM>AC，故線段C′B即為構成事務的區(qū)域長度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝eq\f(C′B,AB)＝1－eq\f(\r(2),2).方法技巧在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到試驗的全部結果構成的區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事務A發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否取到卻不影響事務A的概率．延長探究本例條件不變．若求AM不大于AC的概率，結果有無變更？解析：結果不變．幾何概型中，一點在線段上的長度視為0，包含與不包含一點，不變更概率的結果．探究二與面積有關的幾何概型[例2]某校早上8：00起先上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答)[解析]設小王到校時間為x，小張到校時間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時滿意x－y≥5.如圖，原點O表示7：30，在平面直角坐標系中畫出小王和小張到校的時間構成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對應的圖形(圖中陰影部分)的面積為eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2)，故所求概率為P＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).[答案]eq\f(9,32)方法技巧與面積有關的幾何概型問題的解法：(1)假如試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域面積,試驗的全部結果所構成的區(qū)域面積).(2)求幾何概型的概率的關鍵是：確定試驗的全部結果所構成的圖形及事務A對應的圖形，并求出它們的面積．跟蹤探究1.一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．解析：如圖所示，區(qū)域Ω是長30m、寬20m的長方形，圖中陰影部分表示事務A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率．由于區(qū)域Ω的面積為30×20＝600(m2)，陰影部分的面積為30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75).即海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為eq\f(23,75).探究三與體積有關的幾何概型[例3]有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，求點P到點O的距離大于1的概率．[解析]圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)；則點P到點O的距離小于或等于1的概率為eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).故點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).方法技巧與體積有關的幾何概型問題的解決：(1)假如試驗的全部結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，則其概率的計算公式為：P(A)＝eq\f(構成事務A的體積,試驗的全部結果構成的體積).(2)解決此類問題肯定要留意幾何概型的條件，并且要特殊留意所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆．跟蹤探究2.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解析：如圖是正方體ABCD－A1B1C1D1，設四棱錐M－ABCD的高為h，由eq\f(1,3)×SABCD×h＜eq\f(1,6)，又SABCD＝1，∴h＜eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分．∴所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方體ABCD－A1B1C1D1,V正方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,2).授課提示：對應學生用書第63頁[課后小結]1．幾何概型適用于試驗結果是無窮多且事務是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關的題目．3．留意理解幾何概型與古典概型的區(qū)分．4．理解如何將實際問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）).[素養(yǎng)培優(yōu)]幾何度量(長度、角度、面積或體積)的選擇錯誤如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M.求AM<AC的概率．易錯分析錯誤的緣由在于選擇的視察角度有問題，題目中的條件是過C作射線CM，錯解中先在A