山西省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類

山西省202L2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編?03解答題（提升

題）知識點分類

一.完全平方公式（共1小題）

1.（2023?山西）（1）計算：|-8|X（3）2-（-3+5）X2~1;

（2）計算：x（x+2）+（x+1）2-4x.

二.二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

2.（2023?山西）風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞.該大橋限

重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行.現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要

運輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)冬由1個A部件和3個B部件組成，這種設(shè)備必須成套運

輸.已知1個4部件和2個8部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個A部件和3個8部件的質(zhì)量

相等.

（1）求1個4部件和1個B部件的質(zhì)量各是多少；

（2）該卡車要運輸這種成套設(shè)備通過此大橋，一次最多可運輸多少套這種設(shè)備.

三.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

3.（2021?山西）綜合與探究

如圖，拋物線丁=尹+公-6與x軸交于A,B兩點（點A在點8的左側(cè)），與y軸交于

點C,連接AC,BC.

（1）求A、B,C三點的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,8C的函數(shù)表達式.

（2）點尸是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點尸作的平行線/,交線段AC于

點D.

①試探究：在直線，上是否存在點￡使得以點。，C,B,￡為頂點的四邊形為菱形，若

存在，求出點上的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點M,與直線AC交于點N.當(dāng)S"MN=S&u?c時，請

直接寫出0M的長.

4.(2023?山西)綜合與探究

如圖，二次函數(shù)y=-7+4x的圖象與x軸的正半軸交于點4經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)

圖象交于點8(1,3),與)，軸交于點C.

(1)求直線4B的函數(shù)表達式及點C的坐標(biāo)；

(2)點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作直線軸于點￡與

直線A8交于點。，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為機.

①當(dāng)PD—LOC時，求機的值；

2

②當(dāng)點P在直線A3上方時，連接OP,過點8作8。軸于點。.BQ與OP交于點、F,

如圖，二次函數(shù)y=-L2+2a+4的圖象與％軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè))，

42

與y軸交于點C點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,過

點P作直線PD±x軸于點D,作直線BC交PD于點E.

(1)求4,B,C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,過點尸作直線/〃AC,交y軸于點尸，連接OF.試探究：在點P運動的

過程中，是否存在點P,使得CE="),若存在，請直接寫出機的值；若不存在，請說

明理由.

四.三角形綜合題（共1小題）

6.（2022?山西）綜合與實踐

問題情境：在RtZXABC中，NBAC=90°,A8=6,AC=8.直角三角板EDF中NEDF

=90°,將三角板的直角頂點。放在RtZ\4BC斜邊8c的中點處，并將三角板繞點。旋

轉(zhuǎn)，三角板的兩邊OE,。尸分別與邊AB,4c交于點M,N.

猜想證明:

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN

的形狀，并說明理由;

問題解決:

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/8=/例。8時，求線段CN的長;

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時,直接寫出線段AN的

長

DD

圖②圖③

7.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記,請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABCD中，點E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,DA

的中點，順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

（Varingnon,Pierte1654-1722）是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四

邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交EH,產(chǎn)G于點P,。，過點。作于點M,交

HG于點N.

???〃，G分別為A。，的中點，：,HG//AC,HG=^AC.（依據(jù)1）

2

...典口.，：DG=GC,:?DN=NM=2DM.

NMGC2

???四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，???〃石〃GR即〃尸〃GQ.

,:HG〃AC,即"G〃PQ,

，四邊形HPQG是平行四邊形，（依據(jù)2）.??Sa〃PQG=HG?AfN=?^HG?DM?

2

任務(wù)：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABC。及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG從

使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）

（3）在圖1中，分別連接AC,80得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長

與對角線AC,80長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

8.（2023?山西）綜合與實踐

問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開,

得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△/）/￡：,其中NACB=N。所=90°,NA

=ZD,將AABC和△￡）尸E按圖2所示方式擺放，其中點B與點尸重合（標(biāo)記為點B）.當(dāng)

NA3￡=NA時，延長。E交RC于點G,試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由.

數(shù)學(xué)思考：（1）請你解答老師提出的問題；

深入探究：（2）老師將圖2中的△OBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在△ABC內(nèi)部,

并讓同學(xué)們提出新的問題.

①“善思小組”提出問題：如圖3,當(dāng)NABE=NBAC時，過點A作AM_LBE交BE的延

長線于點M,BM與AC交于點N.試猜想線段AM和8E的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請

你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NC8E=N84C時，過點A作AH_LO￡于點”，

若8C=9,AC=12,求4〃的長.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

9.（2021?山西）綜合與實踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在。ASCD中，BE±AD,垂

足為E,尸為。。的中點，連接ERBF,試猜想E尸與8尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②圖③

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將oABCO沿著B尸（尸為CO的中點）所在直

線折疊，如圖②，點C的對應(yīng)點為C',連接OC'并延長交AB于點G,請判斷AG與

BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將口A8CO沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對

應(yīng)點為A'.使A'81。。干點從折痕交人力于點連接A'必，交。力于點M該

小組提出一個問題：若此uABCO的面積為20,邊長AB=5,BC=2?求圖中陰影部

分（四邊形8HNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

六.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

10.（2021?山西）閱讀與思考

請閱讀下列科普材料，并完成用應(yīng)的任務(wù).

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有

刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)

式中的未知量.比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫

度之間的關(guān)系：/=@C+32得出，當(dāng)C=10時，"=50.但是如果你的溫度計上有華氏

5

溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條進行計算的方法就是

圖算法.

再看一個例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？

我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計一種圖算法直接得出結(jié)果：我們

R立R2

先來畫出一個120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位

長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖.我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成

一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式

進行計算的測昂:制圖人員，往往更能體會到它的優(yōu)越性.

任務(wù)：

（1）請根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性；

（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：

①用公式令計算：當(dāng)砧=7.5,及=5時，R的值為多少；

②如圖，在△AOB中，NAO3=120。，OC是△AO8的角平分線，04=7.5,08=5,

用你所學(xué)的幾何知識求線段0C的長.

11.（2023?山西）2023年3月,水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022-2025年）》,

我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母

親河復(fù)蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）.某?！熬C合與實踐”小組的同學(xué)把“母

親河駁岸的調(diào)研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調(diào)查，并形成了

如下活動報告.請根據(jù)活動報告計算和的長度（結(jié)果精確到0.1小，參考數(shù)據(jù)：V3

^1.73,72^141）.

課題母親河駁岸的調(diào)研與計算

調(diào)查資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解

方式

調(diào)查功能駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌成沖刷的構(gòu)筑物

內(nèi)容材料所需材料為石料、混凝土等

駁岸時剖面圖相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖

中，點八，B,C,D,

E在同一豎直平面

內(nèi)，AE和CO均與

地面平行，岸墻A8

_LAE于點A,/8C。

=135°,ZEDC=

60°,ED=6m,AE

=CD=3.5m.

計算結(jié)果

交誦

展示

A.解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題（共1小題）

12.（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測

量距淡i和角度.某?！熬C合與實踐”活動小組的同學(xué)要測量人以6。兩座樓之間的距離.

他們借助無人機設(shè)計了如下測量方案：無人機在A8,CO兩樓之間上方的點O處，點O

距地面AC的高度為60m,此時觀測到樓A3底部點A處的俯角為70°,樓CD上點E

處的俯角為30°,沿水平方向由點。飛行24切到達點凡測得點七處俯角為60°,其

中點A,B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓4B與CO之間

的距離4c的長（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos70°^=0.34,tan70°*

2.75,V3^1.73）.

九.頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）

13.（2023?山西）為增強學(xué)生的社會實踐能力，促進學(xué)生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站,

有20名學(xué)生報名參加選拔.報名的學(xué)生需參加采訪、寫作、攝影三項測試，每項測試均

由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項的測試成績，再將采訪、寫作、攝影

三項的測試成績按4：4：2的比例計算出每人的總評成績.

60708090100總評成績/分

小悅、小涵的三項測試成績和總評成績?nèi)绫?，這20名學(xué)生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每

組含最小值，不含最大值）如圖.

選手測試成績/分總評成

采訪寫作攝影績/分

小悅83728078

小涵8684▲▲

（1）在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分數(shù)如下：67,72,68,69,74,69,71.這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分,平均數(shù)是分；

（2）請你計算小涵的總評成績；

（3）學(xué)校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者.試分析小悅、小涵能否入選，并說

明理由.

一十.列表法與樹狀圖法（共1小題）

14.（2021?山西）近日，教育部臼發(fā)了《關(guān)于舉辦第三屆中華經(jīng)典誦寫講大賽的通知》，本

屆大賽以“傳承中華經(jīng)典，慶祝建黨百年”為主題，分為“誦讀中國”經(jīng)典誦讀，“詩教

中國”詩詞講解，“筆墨中國”漢字書寫，“印記中國”印章篆刻比賽四類（依次記為A,

8,C,D）.為了解同學(xué)們參與這四類比賽的意向，某校學(xué)生會從有意向參與比賽的學(xué)生

中隨機抽取若干名學(xué)生進行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），所有問卷全部收回，并將

調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表（均不完整）.

“中華經(jīng)典誦寫講大賽”參賽意向調(diào)查問卷

請在下列選項中選擇您有參賽意向的選項，在其后“I廣內(nèi)打“J”，

非常感謝您的合作.

A.“誦讀中國”經(jīng)典誦讀[]

B.“詩教中國”詩詞講解[]

C.“筆墨中國”漢字書寫[]

。.“印記中國”印章篆刻[]

人新

占調(diào)查人數(shù)

類別的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）參與本次問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，統(tǒng)計表中C的百分比m

為：

（2）請補全統(tǒng)計圖；

（3）小華想用扇形統(tǒng)計圖反映有意向參與各類比賽的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，是

否可行？若可行，求出表示C類比賽的扇形圓心角的度數(shù)；若不可行，請說明理由.

（4）學(xué)?！霸娊讨袊痹娫~講解大賽初賽的規(guī)則是：組委會提供“春”“夏”“秋”“冬”

四組題目（依次記為C,X,Q,D）,由電腦隨機給每位參賽選手派發(fā)一組，選手根據(jù)題

目要求進行詩詞講解，請用列表或畫樹狀圖的方法求甲，乙兩名選手抽到的題目在同一

組的概率.

山西省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編?03解答題(提升

題)知識點分類

參考答案與試題解析

一.完全平方公式(共1小題)

1.(2023?山西)(1)計算：|-8|X([)2-(-3+5)X2-1;

(2)計算：x(工+2)+(x+1)2-4x.

【答案】(1)I;

(2)2r+l.

【解答】解：(1)|-8|X(^-)2-(-3+5)X2-1

=8XA-2X-1

42

=2-1

=1；

(2)x(A+2)+(x+1)2-4X

=X2+2X+X2+2X+1-4x

=2X2+1.

二.二元一次方程組的應(yīng)用(共1小題)

2.(2023?山西)風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞.該大橋限

重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行.現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要

運輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)多由1個A部件和3個8部件組成，這種設(shè)備必須成套運

輸.已知1個A部件和2個8部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個A部件和3個8部件的質(zhì)量

相等.

(1)求1個A部件和1個B部件的質(zhì)量各是多少；

(2)該卡車要運輸這種成套設(shè)備通過此大橋，一次最多可運輸多少套這種設(shè)備.

【答案】（1）1個4部件的質(zhì)量為1.2噸，1個8部件的質(zhì)量為03噸.

（2）該卡車一次最多可運輸6套這種設(shè)備通過此大橋.

【解答】解：（1）設(shè)1個A部件的質(zhì)量為x噸，1個5部件的質(zhì)量為y噸，

由題意得:（X+2y=2,8,

2x=3y

解得：fx=l.2,

y=0.8

答：1個A部件的質(zhì)量為1.2噸，1個8部件的質(zhì)量為0.8噸.

（2）解：設(shè)該卡車一次可運輸機套這種設(shè)備通過此大橋.

根據(jù)題意得：（1.2+0.8X3）?6+8W30,

解得：機W至.

9

???根為整數(shù)，

???加取最大值,

??m=6?

答：該卡車一次最多可運輸6套這種設(shè)備通過此大橋.

三.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

3.（2021?山西）綜合與探究

如圖，拋物線y=y+2x-6與x軸交于4,B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于

點、C,連接AC,BC.

（1）求4、B,C三點的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,3c的函數(shù)表達式.

（2）點尸是直線4c下方拋物線上的一個動點，過點尸作8c的平行線/,交線段4c于

點。.

①試探究：在直線/上是否存在點￡使得以點O,C,B,E為頂點的四邊形為菱形，若

存在，求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點M,與直線AC交于點N.當(dāng)SA°MN=S"OC時，請

直接寫出OM的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當(dāng))，=0時，X?+2r-6=0,

解得xi=-6,X2=2,

：.A(-6,0),B(2,0),

當(dāng)x=O時.y=-6.

：.C(0,-6),

VA(-6,0),C(0,-6),

.?.直線AC的函數(shù)表達式為丁=7-6,

?:B(2,0),C(0,-6),

???直線BC的函數(shù)表達式為y=3x-6；

(2)①存在：設(shè)點。的坐標(biāo)為(m,-m-6),其中-6V，〃V0,

?:B(2,0),C(0,-6),

BD1=Gn-2)2+Cm+6)2.BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)2=2nr,

'：DE//BC,

，當(dāng)。時，以點。，C,B,E為頂點的四邊形為平行四邊形，

分兩種情況：

如圖，當(dāng)BD=8C時，四邊形8DEC為菱形，

E

:?B0=Bd,

(m-2)2+(m+6)2=40>

解得：〃?l=-4,W2=O（舍去）,

，點D的坐標(biāo)為（-4,-2）,

???點D向左移動2各單位長度，向下移動6個單位長度得到點E,

???點E的坐標(biāo)為（-6,-8）；

如圖，當(dāng)C7）=CB時，四邊形CBEO為菱形,

:?C0=C*

:.2序=40,

解得：mi=-2V5?旭2=2泥（舍去），

???點D的坐標(biāo)為（-點,275-6）,

二?點D向右移動2個單位長度，向上移動6個單位長度得到點E,

???點E的坐標(biāo)為（2?2遙，275）;

綜上，存在點區(qū)使得以點。，C,B,E為頂點的四邊形為菱形，點石的坐標(biāo)為（-6,

-8）或（2-2近，2立）；

②設(shè)點。的坐標(biāo)為（m,其中-6VmV0,

???A(-6,0),B(2,0),

...拋物線的對稱軸為直線x=-2,

???直線的函數(shù)表達式為y=3x?6,直線/〃8C,

???設(shè)直線I的解析式為y=3x+人

.?,點。的坐標(biāo)(m,-m-6)>

:?b=-4fn-6,

：.M(-2,-4m-12),

???拋物線的對稱軸與直線AC交于點N.

：.N(-2,-4),

:.MN=-4in-12+4=-4m-8,

VSADMN=SMOC,

???_!(-4m-8)(-2-zn)=-1x6X6,

22

整理得：/儲+4,"-5=0,

解得：加1=-5,m=l(舍去)，

，點。的坐標(biāo)為(-5,-1),

???點M的坐標(biāo)為(-2,8),

22

???DM=yj(_2+5)+(8+1)=3^10，

答：0M的長為的/元.

4.(2023?山西)綜合與探究

如圖，二次函數(shù)y=-7+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A,經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)

圖象交于點8(1,3),與)，軸交于點C

(1)求直線A8的函數(shù)表達式及點C的坐標(biāo)；

(2)點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作直線PELr軸于點日與

直線交于點。，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)PD'OC時，求m的值；

②當(dāng)點尸在直線A8上方時，連接。尸，過點8作BQ_Lx軸于點。BQ與。尸交于點F,

連接。F.設(shè)四邊形尸QED的面積為S,求S關(guān)于〃［的函數(shù)表達式，并求出S的最大值.

【答案】（1）y=-x+4,點。的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）①2或3或左叵；②s=-（nr^）2"，S的最大值為目

【解答】解：（1）由y=-X2+4X得，當(dāng)y=0時，?/+4x=0,

解得xi=0,X2=4,

???點4在x軸正半軸上.

???點4的坐標(biāo)為（4,0）.

設(shè)直線48的函數(shù)表達式為y=kx+b（AW0）.

將4,8兩點的坐標(biāo)（4,0）,（1,3）分別代入y=h+A,

得（曲+吁

k+b=3

解得（k=T,

Ib=4

???直線48的函數(shù)表達式為y=-x+4.

將x=0代入y=-x+4,得y=4.

???點。的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）①解：???點尸在第一象限內(nèi)二次函數(shù)y=?$+4x的圖象上，且PE_Lx軸于點￡

與直線48交于點D,其橫坐標(biāo)為日

???點P,￡>的坐標(biāo)分別為P（用，-/n2+4w）,D（/n,-〃?+4）,

：?PE=-/n2+4/n.DE=-m+4,OE=m,

???點。的坐標(biāo)為（0,4）,

???OC=4.PD^OO

乙

???PO=2.

如圖L當(dāng)點尸在直線AB上方時，PD=PE-DE=-w2+4w-(-w+4)=-w2+5w-4,

-4=2,

解得mi=2.m2=3.

如圖2,當(dāng)點P在直線AB下方時，PD=DE-PE=-加+4-(-m2+4/w)=序-5m+4,

Am2-5m+4=2,

解得m=5土產(chǎn)

VO<m<l,"5-VI7

2

綜上所述，加的值為2或3或2叵;

②解：如圖3,

圖3

由（1）得，OE=m,PE=-nr+4m,DE=-m+4.

???8Q_Lx軸于點。交OP于點八點8的坐標(biāo)為（1,3）,

OQ=1,

???點尸在直線AB上方，

,,EQ=tn-1.

VPElx軸于點E,

：?NOQF=/OEP=90°,

：.FQ//DE,4F0Q=/P0E,

:ZOQs/XPOE,

.FQOQ

**PE=OE,

?

??'FQ=1,，

-+4mm

2

?2-m+4m,

,,FQ==-m+4,

m

:?FQ=DE,

???四邊形FQED為平行四邊形，

*：PEA.x軸，

，四邊形尸。七。為矩形.

2

.*.S=EQ+FQ=（m-1）（-m+4）,即S=-m+5/n-4=-（m—+^,,

V-1<0,l</n<4,

??.當(dāng)機=9時，s的最大值為3；

24

5.（2022?山西）綜合與探究

如圖，二次函數(shù)丁=方+4的圖象與x軸交于A,B兩點（點A在點5的左側(cè)）,

與y軸交于點C點尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為m.過

點P作直線P￡>_Lx軸于點0,作直然BC交PD于點￡

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,過點P作直線/〃AC,交y軸于點F,連接。立試探究：在點P運動的

過程中，是否存在點P,使得CE="),若存在，請直接寫出機的值；若不存在，請說

明理由.

【答案】(1)4(-2,0),B(8,0),C(0,4),直線解析式為y=-/+4；

(2)P(4,6)；

(3)存在點尸，使得CE=F￡>,〃?=2遙-2或m=4.

【解答】解：(1)在y=-1f+3x+4中，

42

令x=0得y=4,令y=0得x=8或x=-2,

???A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

設(shè)直線BC解析式為y=丘+4,將B(8,0)代入得：

8女+4=0,

解得k=

2

:.直線BC解析式為y=-Xv+4；

(2)過C作CG_LPO于G,如圖:

42

：.PD=-工序+當(dāng)7+4,

42

VZCOD=ZPDO=ZCGD=90°,

???四邊形COOG是矩形，

：.DG=OC=4,CG=OD=m,

:?PG=PD-DG=-L/+2m+4_4=-當(dāng)?2+&

4242

YCP=CE,CG1PD,

：.GE=PG=-1-nr+^m,

42

,:/GCE=NOBC,ZCGE=90°=ZBOC,

???△CGES^BOC,

41n

.CG=GE即m=27

**0B0C，、后

解得機=0(舍去)或〃z=4,

：.P(4,6)；

(3)存在點P,使得CE=FQ,理由如下：

過C作(7"_1_尸。于"，如圖：

設(shè)P(〃?，-—m2+-^n+4),

42

由A(-2,0),C(0,4)可得直線AC解析式為)，=2x+4,

根據(jù)PF〃AC,設(shè)直線P尸解析式為y=2x+b,將產(chǎn)(〃?，-氏2十會十如代入得：

-工/+當(dāng)7+4=2〃?+〃，

42

:?b=~-Xn2-工辦+4,

42

???直線PF解析式為y=2x-1/n2-Xn+4,

2

令x=0得y=--lzw-_lw+4,

42

：.F(0,-X12-X?+4),

42

/.OF=\-X??2-Xw+4|,

42

同(2)可得四邊形CO。”是矩形，

:,CH=OD,

?：CE=FD,

/.RtACH￡^RtADOF(HL),

，ZHCE=NFQO,

■:ZHCE=ZCBO,

:?/FDO=NCBO,

tanZFDO=tanZCBO,

^OF=OC,叩—=4

0DOBm8

2

:.--1/W-A/〃+4=-lr〃或-Lp.▲/〃+4=-L??,

422422

解得m=2y[S-2或m=-2遙-2或6=4或m=-4,

???P在第一象限，

AZM=2V5-2或m=4.

四.三角形綜合題(共1小題)

6.(2022?山西)綜合與實踐

問題情境：在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板ED尸中NEDF

=90°,將三角板的直角頂點。放在RtZ\ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點。旋

轉(zhuǎn)，三角板的兩邊OE,。尸分別與邊A8,AC交于點M,N.

猜想證明：

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN

的形狀，并說明理由；

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時，直接寫出線段AN的

長.

(2)CyV=—；

8

⑶至.

7

【解答】解：(1)四邊形是矩形，理由如下:

???點。是BC的中點，點M是48的中點，

：.MD//AC,

.??NA+/AM￡>=18(T，

VZBAC=90°,

???NAMD=90°,

VZA=ZAMD=AMDN=W,

???四邊形AMQN是矩形；

(2)如圖2,過點N作NG_LC￡>于G,

EF

D

圖②

???48=6,4c=8,N84C=90°，

???8』即2+人,2=10,

???點。是3C的中點,

:?BD=CD=5,

■:NMDN=900=ZA,

.../B+NC=90°,NBQM+/l=90°,

AZ1=ZC,

:,DN=CN,

又?：NG1CD,

；?DG=CG=$,

2

CG_AC

VcosC=CN"BC

5_

.78

??"-S19

CN10

??.CN=至;

8

(3)如圖③，連接MN,AD,過點N作HN_LAD于H,

BD

圖③

*：AM=AN,NM4N=9O°,

AZAMN=ZANM=45°,

?:NBAC=NEDF=90°,

???點4,點M,點。，點N四點共圓，

/.ZADN=ZAMN=45°,

?：NHLAD,

:,NADN=NDNH=45°，

:.DH=HN,

■:BD=CD=5,NB4C=90°.

：.AD=CD=5,

:.乙C=4DAC,

.,.tanC=tanZDAC=I^=^.=X

AHAC4

:?AH=&HN,

3

'：AH+HD=AD=5,

：.DH=HN=^-,A”=型，

77

2=麻薩詹需竿

解法二：如圖，延長MD到。使得MZ)=。。連接NT,CT.

設(shè)AM=AN=4.證明CT=8M=6-mNM=NT=^2af/NCT=90°,

由N72=CN2+Cf1,

可得(血。)2=(8-?)2+(6?〃)2,解得。=絲.

7

解法三：也可以通過。向4c和AB分別作垂線DQ和DP,通過△OPMS/XOQV相似

來算.

五.四邊形綜合題（共3小題）

7.（2023?山西）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形人BCD中，點、E,F,G,H分別是邊人氏BC,CD,DA

的中點，順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFG"是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFG”被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pieite1654-1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四

邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交尸G于點尸，Q,過點。作。M_LAC于點M,交

HG于點N.

???，，G分別為4。，8的中點，???〃G〃AC,HG=1AC.(依據(jù)1)

2

工也圖.,;DG=GC,:,DN=NM=LDM.

NMGC2

???四邊形￡FG”是瓦里尼翁平行四邊形，???〃E〃GF,即”尸〃GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

；?四邊形HPQG是平行四邊形，(依據(jù)2)

2

任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：三角形中位線定理

依據(jù)2是指：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)請用刻度尺、三角板等工具,畫一個四邊形ABC。及它的瓦里尼翁平行四邊形E尸G”、

使得四邊形EFGH為矩形；(要求同時畫出四邊形A8C。的對角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,8。得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長

與對角線AC,BO長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）三角形中位線定理，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：

（2）見解析過程

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長等于4C+4Q,理由見解析過程.

【解答】解：（1）證明：如圖2,連接AC,分別交E”，產(chǎn)G于點P,Q,過點力作DM

_LAC于點M,交“G于點N.

'：H,G分別為4。，8的中點，

：.HG//AC,HG=1AC,（三角形中位線定理），

2

.DN_DG

??而年

9：DG=GC,

:?DN=NM=±DM,

2

???四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，

：.HE//GF,BPHP//GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

???四邊形"PQG是平行四邊形，（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），

???SoHPQG=HG?MN=AHG-DM,

???S"QC=LC?OM="G?DM,

2

S。HPQG=工aAOC,

2

同理可得，0P=

2

a=

SHEFG—S網(wǎng)邊形ABCD，

2

故答案為：三角形中位線定理，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）如圖，畫四邊形ABCD,且AC_LB。于O,點E,H,G,尸分別是邊AB,BC,CD,

D4的中點，順次連接上兄FG,GH,則四邊形EFG”為所求；

D

理由如下：???點E,H,G,尸分別是邊AB,BC,CD,D4的中點，

:.EF〃BD,HG//BD,EH//AC,FG//AC,

：.EF//HG,EH//FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC±BD,EF//BDf

：.ACLEF,

"G〃AC,

：.EFA-FG,

???平行四邊形EFGH是矩形；

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于AC+8Q,理由如下：

:四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，

:.點、E,H,G,尸分別是邊4B,BC,CD,0A的中點，

:.EF=LBD,GH=^BD,EH=-1AC,RO=—AC,

2222

.??瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長=EF+GF+GH+EH=2BnA8D+2AC+2AC=

AC+BD.

8.（2023?山西）綜合與實踐

問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開,

得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△￡>「￡,其中NACB=NO石尸=90°,NA

=ND,將△ABC和△OFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點尸重合（標(biāo)記為點B）.當(dāng)

N48E=N4時，延長￡>E交工。于點G,試判斷四邊形8CGE的形狀，并說明理由.

數(shù)學(xué)思考：（1）請你解答老師提出的問題；

深入探究：（2）老師將圖2中的七繞點5逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點七落在△45C內(nèi)部,

并讓同學(xué)們提出新的問題.

①“善思小組”提出問題：如圖3,當(dāng)。時，過點4作4M_LBE交BE的延

長線于點M,BM與AC交于點N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請

你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NC8E=N8AC時，過點A作Aa_LOE于點H,

若BC=9,AC=12,求4”的長.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

【答案】（1）結(jié)論：四邊形8CGE為正方形.理由見解析部分；

（2）①結(jié)論：AM=BE.理由見解析部分；

【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形8CGE為正方形.理由如下:

?；NBED=90°,

???N8EG=180°-BED=90°,

,:NABE=NA,

：.AC//BE,

：.ZCGE=ZBED=90°,

VZC=90°,

???四邊形BCGE為矩形.

,:△ACB9ADEB,

:.BC=BE.

，矩形8CGE為正方形；

(2)①結(jié)論：AM=BE.

理由：VZABE=ZBAC,

:,AN=BN,

VZC=90°,

???BC_LAN,

*：AM±BE,即4M_L8M

:,SAABF4AN-BC=4BN-AM?

"：AN=BN,

：.BC=AM.由(1)得BE=BC,

：.AM=BE.

②解：如圖：設(shè)48,OE的交點為M,過M作MG_LB。于G,

???△AC8絲△。血

:.BE=BC=9,DE=AC=\2,ZA=ZD,/ABC=/DBE,

:.NCBE=NDBM,

“：NCBE=NBAC,

:.ZD=ZBAC,

:?MD=MB,

VMG1-BD,

，點G是8D的中點，

由勾股定理得AB=VAC2+BC2=15>

i15

，,DG畸BD長

??/_DGDE

,cosZD=DM

:.DM=K^=T^L=75，即BM=DM;譚，

o

AAM