2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直二同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)三十三平面與平面垂直(二)(15分鐘30分)1.已知m,n,l是直線,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l,m⊥α,則直線m與n的位置關(guān)系是 ()A.異面 B.相交但不垂直C.平行 D.相交且垂直【解析】選C.因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,n?β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.2.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,則 ()A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC【解析】選B.因?yàn)镻A=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,所以PD⊥平面ABC.3.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC的形態(tài)是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【解析】選B.作AE⊥BD,交BD于E,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD,BC?平面BCD,所以AE⊥BC,而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以DA⊥BC,又因?yàn)锳E∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,而AB?平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC為直角三角形.4.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,現(xiàn)將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則三棱錐A-BCD的體積為.

【解析】折后如圖,作AH⊥BD于H,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AH⊥平面BCD.由AD∥BC,得∠BDC=180°-∠BCD-∠ADB=90°.由AB=AD=1,得BD=QUOTE,則CD=QUOTE.AH=ABsin45°=QUOTE,所以VA-BCD=QUOTES△BCD·AH=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2,M為AB中點(diǎn),將△BMC沿CM折疊,當(dāng)平面BMC⊥平面AMC時(shí),A,B兩點(diǎn)之間的距離為.

【解析】取MC中點(diǎn)O,連接AO,BO,因?yàn)椤鰽BC中,∠BCA=90°,∠A=60°,AB=2,M為AB中點(diǎn),所以AC=BM=AM=CM=1,所以AO=QUOTE=QUOTE,BO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,AO⊥MC,將△BMC沿CM折疊,當(dāng)平面BMC⊥平面AMC時(shí),AO⊥平面BMC,所以AO⊥BO,所以A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=QUOTE,CE=EF=1,求證:CF⊥平面BDE.【證明】如圖,設(shè)AC∩BD=G,連接EG,FG.由AB=QUOTE易知CG=1,則EF=CG=CE.又EF∥CG,所以四邊形CEFG為菱形,所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,CF?平面ACEF,所以BD⊥CF.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·南通高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別為PD,AB的中點(diǎn),△PAD為銳角三角形,平面PAD⊥平面PAB.(1)求證:直線MN∥平面PBC;(2)求證:平面PAD⊥平面PCD.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直【解析】選C.如圖所示,在四邊形ABCD中,因?yàn)锳B=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C12.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=QUOTE,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,則PC= ()A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選C.因?yàn)镻A=PB=QUOTE,PA⊥PB,所以AB=2QUOTE,因?yàn)锳B⊥BC,∠BAC=30°,所以BC=ABtan30°=2,因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=QUOTE=QUOTE.3.如圖,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在 ()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】選A.在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABD=AB,所以D在面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上.4.(2024·合肥高一檢測)如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動點(diǎn)C的軌跡是 ()A.一條線段B.一條直線C.一個(gè)圓D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,而平面PAC∩平面PBC=PC,又AC?平面PAC,且AC⊥PC,所以AC⊥平面PBC,而BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,所以點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓,但是要去掉A和B兩點(diǎn).【誤區(qū)警示】本題簡單錯(cuò)選C.留意本題中A,B,C三點(diǎn)不能共線.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°.側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說法正確的是 ()A.在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90°C.二面角P-BC-A的大小為45°D.BD⊥平面PAC【解析】選ABC.對于A,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,BM,則因?yàn)閭?cè)面PAD為正三角形,所以PM⊥AD,又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,所以三角形ABD是等邊三角形,所以AD⊥BM,PM∩BM=M,所以AD⊥平面PBM,故A正確;對于B,因?yàn)锳D⊥平面PBM,所以AD⊥PB,即異面直線AD與PB所成的角為90°,故B正確;對于C,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,PM⊥AD,所以PM⊥平面ABCD,則∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,設(shè)AB=1,則BM=QUOTE,PM=QUOTE,在直角三角形PBM中,tan∠PBM=QUOTE=1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小為45°,故C正確,錯(cuò)誤的是D.6.如圖梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,則在翻折過程中,可能成立的結(jié)論的是 ()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面DBF⊥平面BFCD.平面DCF⊥平面BFC【解析】選BC.因?yàn)锽C∥AD,AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不垂直,則A錯(cuò)誤;設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,可使條件滿意,所以B正確;當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以C正確;因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不行能在FC上,所以平面DCF⊥平面BFC不成立,即D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知m,n為直線,α,β為空間的兩個(gè)平面.給出下列命題:①Q(mào)UOTE?n∥α;②QUOTE?m∥n;③QUOTE?α∥β;④QUOTE?m∥n.其中正確的命題為.(填序號)

【解析】對于①,會有n?α的狀況,因此不正確;對于②,會有m,n異面的狀況,因此不正確;簡單驗(yàn)證③④都是正確的.答案:③④8.如圖,P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn),且∠DAB=60°,AB的長為a.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為θ,則θ=.

【解析】如圖,取AD的中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD.因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB與平面ABCD所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,所以∠PBG=45°,即θ=45°.答案:45°【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·贛州高一檢測)已知四邊形ABCD是矩形,AB=4,AD=3,沿AC將△ADC向上折起,使D為D′,且平面AD′C⊥平面ABC,F是AD′的中點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),四、解答題(每小題10分,共20分)

9.(2024·沈陽高一檢測)如圖,已知△ABC為等邊三角形,△ABD為等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè),且CE∥BD,BD=2CE.點(diǎn)F為AD中點(diǎn),連接EF.求證:平面AED⊥平面ABD.【證明】取AB的中點(diǎn)O,連接FO,CO,因?yàn)辄c(diǎn)F為AD中點(diǎn),所以FO∥BD且FO=QUOTEBD,因?yàn)镃E∥BD,BD=2CE,所以FO∥CE且FO=CE,所以四邊形FOCE為平行四邊形,所以CO∥EF.因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,所以CO⊥AB,又因?yàn)锳B⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,所以BD⊥平面ABC,所以BD⊥CO,又AB∩BD=B,所以CO⊥平面ABD,又CO∥EF,所以EF⊥平面ABD,因?yàn)镋F?平面AED,所以平面AED⊥平面ABD.10.如圖,M是半圓弧QUOTE上異于C,D的點(diǎn),四邊形ABCD是矩形,P為AM中點(diǎn).(1)證明:MC∥平面PBD;(2)若矩形ABCD所在平面與半圓弧QUOTE所在平面垂直,證明:平面AMD⊥平面BMC.【證明】(1)連接AC,交BD于O,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以O(shè)是AC中點(diǎn),連接OP,因?yàn)镻是AM中點(diǎn),所以MC∥OP,因?yàn)镸C?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD.(2)平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD,因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,所以BC⊥DM,因?yàn)镸為QUOTE上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM,又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC,而DM?平面AMD,所以平面AMD⊥平面BMC.1.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),若平面A1B1CD⊥平面AEP,則線段AP長度的取值范圍是【解析】連接BC1,依題意可得BC1⊥平面A1B1CD,故只需EP∥BC1即可,取CC1中點(diǎn)為F,故P在線段EF上(不含端點(diǎn)).AE=QUOTE=QUOTE,AF=QUOTE=3.所以線段AP長度的取值范圍是(QUOTE,3).答案:(QUOTE,3)2.(2024·朝陽高一檢測)如圖,在四棱錐A1-BCED中,DE∥BC,A1D=BD=A1E=CE=QUOTE,O為DE的中點(diǎn),2DE=BC=4.F為A1C的中點(diǎn),平面A1DE⊥平面BCED.(1)求證:平面A1OB⊥平面A1OC.(2)線段OC上是否存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG?說明理由.【解析】(1)因?yàn)锳1D=BD=A1E=CE=QUOTE,所以A1D=A1E,又O為DE的中點(diǎn),所以A1O⊥DE.因?yàn)槠矫鍭1DE⊥平面BCED,且A1O?平面A1DE,所以A1O⊥平面BCED.所以CO⊥A1O.由于四邊形BCED是一個(gè)上底為2,下底為4,腰長為QUOTE的等腰梯形,易求得OB=OC=2QUOTE.在△OBC中,BC=4,所以CO⊥BO,因?yàn)锽O∩A1O=O,所以CO⊥平面A1OB,所以平面A1OB⊥平面A1OC.(2)線段OC上不存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG.理由如下:假設(shè)線段OC上存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG.則必有OC⊥GF且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,由F為A1C的中點(diǎn),OC⊥GF,得G為OC的中點(diǎn).在△EOC中,因?yàn)镺C⊥GE.所以EO=EC.這明顯與EO=1,EC=QUOTE沖突.所以線段OC上不存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+QUOTE,過A作AE⊥CD,垂足為E,現(xiàn)將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.(1)求證:BC⊥平面CDE;(2)在線段AE上是否存在一點(diǎn)R,使得平面BDR⊥平面DCB,若存在,求出點(diǎn)R的位置;若不存在,請說明理由.【解析】(1)因?yàn)锳E⊥CD