2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6.1直線與直線垂直素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.68.6.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，則直線B′M與CN(C)A．平行 B．相交且垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直[解析]由題意畫出圖后，直線B′M與CN為異面直線且B′M⊥CN.2．設(shè)a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b(D)A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能[解析]空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.3．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有(DA．2條 B．4條C．6條 D．8條[解析]在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD14．空間四邊形的對角線相互垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是(D)A．梯形 B．矩形C．平行四邊形 D．正方形[解析]∵E、F、G、H分別為中點，如圖.∴FGEHeq\f(1,2)BD，HGEFeq\f(1,2)AC，又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四邊形EFGH為正方形.5．空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為(A)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]取AD的中點H，連FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°，故選A．二、填空題6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中(1)AC和DD1所成的角是__90°__；(2)AC和D1C1所成的角是__45°__(3)AC和B1D1所成的角是__90°__；(4)AC和A1B所成的角是__60°__.[解析](1)依據(jù)正方體的性質(zhì)可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即為AC和D1C1所成的角，由正方體的性質(zhì)得∠ACD(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等邊三角形，所以AC和A1B所成的角是60°7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點，則在全部的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有__AB，A1B1__[解析]由正三棱柱的性質(zhì)可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1．8．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角大小為__60°__[解析]連接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角(或其補角).在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，即異面直線A1B與AD1三、解答題9．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱CC1的中點，求異面直線AC和EF所成的角[解析]連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示依據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角(或其補角∵BC1＝A1C1＝A1B∴△A1C1B為等邊三角形，故∠A1C1B＝60°，即異面直線AC和EF10．如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2．求EF的長度.[解析]取BC的中點M，連接ME，MF，如圖.則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.當∠EMF＝60°時，EF＝ME＝MF＝eq\f(1,2)BD＝1；當∠EMF＝120°時，取EF的中點N，則MN⊥EF，∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故EF的長度為1或eq\r(3).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是(C)A．60° B．75°C．90° D．105°[解析]解法1：設(shè)BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角).連接AC2，因為AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.解法2：補成四棱柱亦得.2．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(DA．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]如圖，連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角或其補角.連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).3．點E、F分別是三棱錐P－ABC的棱AP、BC的中點，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線AB與PC所成的角為(D)A．60° B．45°C．30° D．90°[解析]如圖，取PB的中點G，連接EG、FG，則EGeq\f(1,2)AB，GFeq\f(1,2)PC，則∠EGF(或其補角)即為AB與PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.4．如圖所示，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M、N分別為AB、CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于(A)A．5 B．6C．8 D．10[解析]如圖，取AD的中點P，連接PM、PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5．二、填空題5．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有__1__條[解析]與AD1異面的面對角線分別為：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD6．(2024·廣東省肇慶市期中)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，則異面直線A1C與B1C1所成的角為__60°__.[解析]依題意，得BC∥B1C1，故異面直線A1C與B1C1所成的角即BC與A1C所成的角.連接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq\r(2)，故∠A1CB＝60°，即異面直線A1C與B1三、解答題7．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中(1)求A1C1與B1C(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小[解析](1)如圖所示，連接AC，AB1．由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1即A1C1與B1C(2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1即A1C1與EF所成的角為90°8．如圖所示，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角.[解析](1)如題圖，因為CG∥BF，所以∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠