2024-2025學年河北省衡水二中高三上學期素養(yǎng)檢測（一）數(shù)學試題及答案

高三年級素養(yǎng)檢測一數(shù)學試題8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.Ma2,Na2MN1,4a1.設集合（）22D.A021z2z1z,z2.已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，則的虛部為（）1124545D.A.5512xy23.若的最小值為（）44xy183122A.D.244.若H是VABC的垂心，220C的值為（）212A.522D.2π62π3ππ，sinkk（5.，0tank，）1133A.D.2222136.在VABC，E是線段2x3y的最小值是（）A.1047D.13bababcnc1n7.已知向量a與c夾角的最大值為（）2ππ4π5πA.D.63121xfxaexxbx0a1b38.a0，fx0的最大值為（）12A.D.e2e234e2e23618分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.fxxxf1f20，有如下結(jié)論，①，12x,xxx9.對于函數(shù)定義域中任意的1212xxfxfx12f2xf22x0.下列函數(shù)能11f1f2120f12②22同時滿足以上兩個結(jié)論的有（）π2A.??=ln?fxsinxxfxexfx3D.z，，則下列說法中正確的有（3zz10.已知復數(shù)，）121313zzzzz0zzA.若C若或若1i1i12131232222z2z220zz20zzz2z|z|z|12D.若11112ππ123在fxx已知函數(shù)2x1N*,）fxA.為奇函數(shù)ππfx,上單調(diào)遞增在42π8xfx離y軸距離最近的對稱軸D.是fxπ的最小正周期為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.312.VABC的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,cab的面積為c______．2πM0(3,0)rad/s的角速度逆時針繞坐標原點O13.在平面直角坐標系213s2(x))(x)||的單調(diào)遞增區(qū)間為速圓周運動，后到達點M的位置設(,22_______________12aa,aa2n2n14.已知數(shù)列n1n1a1時，存在kN*，使得a2：kna1a為遞增數(shù)列，且a2恒成立；中既有最大值，又有最小值；nRaa，使得n1RnN0*nnn2a，存在恒成立.02024其中，所有正確結(jié)論的序號為______.四.解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.baCA.15.在VABC中，角,B,C.所對的邊分別為a,b,c1）求C；32）若VABC的內(nèi)切圓半徑為,c4VABC的面積.2π2πππ2π3f(x)x)單調(diào)，其中|f()f().16.已知函數(shù)1）求π在區(qū)間(,)為正整數(shù)，622yf(x)圖象的一條對稱軸；32）若f()，求621an,,an項和，已知1Sa1，n12n17.設是數(shù)列nnan,.n1）證明：2n是等比數(shù)列；S02n2）求滿足的所有正整數(shù)n.xefx2cos2x2π.x18.已知函數(shù)1）證明：2）證明：2efx的導函數(shù)有且僅有一個極值點；fx的所有零點之和大于2π.f(x)，[ab](a,b)內(nèi)每一點存在導數(shù)，19.在閉區(qū)間f(a)fb)(a,b)c內(nèi)至少存在一點f(c)0，這是以法國數(shù)學家米歇爾羅爾的且名字命名的一個重要定理，稱之為羅爾定理，其在數(shù)學和物理上有著廣泛的應用.f(x)x(xx2)(x4)f(x)f(x)f(x)0，試用上述定理，說明方程1）設個數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間；的導數(shù)為f(x)在閉區(qū)間[ab]上(a,b)f(x)2f(x)(a,b)c內(nèi)至少存在一點f)f(a)fcba)的導數(shù)為；ab3）利用（2）中的結(jié)論，證明：當0abe（為自然對數(shù)的底數(shù)）b(ab)e2aeabe高三年級素養(yǎng)檢測一數(shù)學試題8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.Ma2,Na2MN1,4a1.設集合（）22A.02D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果列出方程求解即得.4Ma2,Na2MN【詳解】集合a2a4，2a2.經(jīng)驗證?=2符合題意，所以故選：C1z2z1z,z2.已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，則的虛部為（）1124545D.A.55【答案】A【解析】z【分析】根據(jù)對稱性求復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的除法運算公式，即可化簡求解.2所對應的點為，所以，z11,2z22z21【詳解】由題意得在復平面內(nèi)所對應的112i)2345則，虛部為.z21115故選：A.12xy23.若的最小值為（）44xy134122A.D.28【答案】A【解析】第1共頁122162【分析】首先過呢據(jù)條件化簡得到，法一，根據(jù)基本不等式，即可求解；法二，xy12y2根據(jù)條件等式，變形得，再利用基本不等式，即可求解.xyyxyxy【詳解】，444122221222法一：，當且僅當時，上式等號成立，xy162xy122162又，可得x2,y42的最小值為.xy2故選：A.12y22y2法二：，當且僅當時，上式等號成立，xyy2y1221622又，可得x2,y4的最小值為.xy2故選：A.4.若H是VABC的垂心，220C的值為（）212A.522D.2【答案】B【解析】7CD【分析】取的中點D，連接，利用中點向量公式結(jié)合給定等式推得性質(zhì)，垂直關(guān)系的向量表示，二倍角的正切公式計算得解.，再利用垂心的3【詳解】在VABC中，取的中點D，連接2，如圖，第2共頁23437CH(HB)CD由220，于是，，37CACD,3由H是VABC的垂心，得,0|77321322CA()()0||，3||||3交ACF交BC于E，，，令直線于，πRtACE,RtACBCAEAHFCAE，在則22122tanAHD2123213tanACB2)tan2AHD，1tanAHD21()221C.的值為2故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及向量垂直關(guān)系，利用基底表示出相關(guān)向量，再利用向量數(shù)量積的運算律求解是關(guān).π62π3ππ，sinkk（5.，0tank，）1133A.D.2222【答案】B【解析】π【分析】根據(jù)題意分析可得，利用兩角和差公式結(jié)合指數(shù)冪運算求解.6ππ26π6πsin【詳解】由題意可得，6ππ65π6π0，0π，6ππ，即，66第3共頁π611333k3k3k3k3k則，k23令ttk0，133，整理得t2t3或t則t30，解得t3231即k3，解得k．2故選：B．136.在VABC，E是線段2x3y的最小值是（）A.1047D.13【答案】D【解析】3xy1xy0，則【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，2232332x3y1xy1，化簡后利用基本不等式可得答案.yxyx2132CBCD【詳解】因為，所以，33，所以，23xy1xy0，，,D,E三點共線，所以2232332x3y1xy1yxyx22x9y2x2x9y2x9y331772，yyx2xy2x2x9y1y2x213當且僅當時取等.3yxy12第4共頁故選：D.bababcnc1n7.已知向量a與c夾角的最大值為（）2ππ4π5π12A.D.63【答案】A【解析】2π3b2,23c3nx,y【分析】先得到a,b的夾角為a0，2nc12x1,y3sin夾角為n,c，表達出x1y3143sin2223sin5q3coscos44q3cos，得到夾角最大值.212π3ababcos，所以8cos，故【詳解】因為，解得，2abb2,233，設a4,0，c2nx,yncxy3設，則nc22x12x1231，y31y設x1,y3sin，ncx3y43sincos設n,c夾角為，nc2x2y22223sin5π2,2，3sintt2sin令64tq25cost5q1,3t則，2t52第5共頁q5244tq23q3則2，cos2t52q4q44qq3yq3q3,3上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在44qq333y當q取得最小值，最小值為，44q2q3y當故q1或3取得最大值，最大值為，44q3q3cos，44q2π6ycos0,π在上單調(diào)遞減，故，πn與c夾角的最大值為.6故選：A【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.1xfxaexxbx0a1b的最大值為（38.a0，fx0）12A.D.e2e234e2e2【答案】D【解析】1，b1，f1b0yaex,yxb,均再單調(diào)遞增；所以要使【分析】先分析得x第6共頁2x211b1bfx0aba03，然后構(gòu)造函數(shù)gx0a1b，求最值即可.bexe111yaex+∞aexy與yaex【詳解】因為，所以在為增函數(shù)，由y圖象知，在xxx+∞有唯一的零點0，11xxyaex0xxyaex0，當00xxyxb0在+∞fx0b.若b1恒成立，與矛盾，故1xfxaexxb的定義域為xbxxf1b01a0yaex,yxb,，所以單調(diào)遞增，x1,1bxxb0，因為fx0aex0；所以當，所以x1x1,x1b1xb0，因為fx0aex0當，所以，x1aex0,lnxb0，所以當x1b23即ab0a1b，1beb2xxxe2令gxgx，xexxe2x2gx0，gx所以當單調(diào)增，xxe2xgx0，gx當故單調(diào)減，x4gxg2，e2第7共頁21b4a1b31b2即b1，當且僅當時等號成立；1be2e故選：D【點睛】多變量問題通常需要先找到變量之間的關(guān)系，然后將多變量轉(zhuǎn)化為單一變量，然后構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求其最值即可.3618分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.fxxxf1f20，有如下結(jié)論，①，12x,xxx9.對于函數(shù)定義域中任意的1212xxfxfx12f2xf22x0.下列函數(shù)能11f1f2120f12②22同時滿足以上兩個結(jié)論的有（）π2A.??=ln?fxsinxfxfxxD.ex3【答案】【解析】【分析】先對四個結(jié)論進行解讀，得出函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和凹凸性，對選項一一判斷，即得結(jié)果.fx可得，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；xxf1f20【詳解】由①12f(x)f(x)0fx，即函數(shù)為奇函數(shù)；f1f2120可得，2fxfx11fx可得，函數(shù)的圖象向下凸.；f222f21f2210f(xf(x)，可得，f(xf(x)，說明函數(shù)fx的周期為4.即f(xfxxA，函數(shù)不是奇函數(shù)，圖象向上凸，也沒有周期，故排除；2ππ2π24x是奇函數(shù)，且周期為Tfxsin故符合要求；第8共頁fxex，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且其圖象向下凸，故符合要求；fxx3D，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故符合要求.R故選：10.已知復數(shù)z1zz，，則下列說法中正確3，）21313zzzzz0zzA.若若或若1i1i12131232222z2z220zz20zzz2z|z|z|12D.若11112【答案】【解析】311求z1zzz2zAD正確.斷BCA正確．zzzzz(zz)0z0zz【詳解】對于A，或12131231231313，方法：11，，所以zn以31為周期，所以2i，z31z41i222213221z1z31ziB正確．222π2π32π1i，所以的模為1，輻角為z1的模為1z1332π34π32π，4π34π313isiniB正確．22z1zi21z220zz，此時C錯誤．12z，12zz|z|2zz|z|zzzz|z|z|D正確．D，，2，所以111222112212故選：ππ123fxx已知函數(shù)2x1N*,在）第9共頁fxA.為奇函數(shù)ππfx,上單調(diào)遞增在42π8xfx離y軸距離最近的對稱軸D.是fxπ的最小正周期為【答案】【解析】fx數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.πxsinxsin2xx2sinxfxsin2x【詳解】22.4ππ123πππx,x,當，44643ππ123fx,因為函數(shù)在上有最大值，無最小值，ππ4π22ππ3π22kπ2π9kπ所以存在kZ，使得2634933212k12k3832222kZ.整理得，，所以，解得33kk8888π4*1fxN，又因為2xA.f010，所以函數(shù)fx不是奇函數(shù)，故A錯誤；ππ42π3π5ππ3π44422ππ42x,2x,,fx.當，所以函數(shù)在,上單調(diào)遞減，故B錯誤；π4ππ8kππ8.令2xkπ，kZxyx，kZ軸距離最近的對稱軸方程為C22正確；2πfxπD.的最小正周期為D正確.2故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.312.VABC的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,cab的面積為c______．2【答案】3或7【解析】π32π3【分析】先由三角形的面積公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出C或，再由余弦定理求出結(jié)果即可；3ab【詳解】的面積為，21133?，解得sinCabsinC=21sinC，2222π2π3π，所以C0C或，3π當C當Cc時，由余弦定理可得ab2abcosC4123c3，，c22232π時，由余弦定理可得c2=a+b22-2abC=4+1+2=7c733或7，故答案為：3或7.13.在平面直角坐標系π2M0(3,0)rad/s的角速度逆時針繞坐標原點O13s2(x))(x)||的單調(diào)遞增區(qū)間為速圓周運動，后到達點M的位置設(,22_______________284k,4kkZ3【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求出點M的坐標，求出(x)并利用差角的余弦化簡，再求(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.π2ππs【詳解】依題意，后，動點走過的弧度數(shù)為xM(3x,3sinx)，22第共頁13)，又(,22π12π2322則(x)(3x)2(3sinx)2ππ243x3sinx2ππ42x)，23ππ(x)ycos(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即的遞減區(qū)間，23π2π3283xZ2ππkx4k,4kkZ2π則，3283所以(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k,4kkZ.312aa,aa2n2n14.已知數(shù)列n1n1a1時，存在kN*，使得a2：kana1a為遞增數(shù)列，且2恒成立；naaR，使得中既有最大值，又有最小值；n1RnN0*nnn2a，存在恒成立.02024其中，所有正確結(jié)論的序號為______.【答案】【解析】n11【分析】對于①②，根據(jù)數(shù)列遞推式，求出243，結(jié)合題意，即可判斷；對于③，舉出特例，2a2a2即可判斷；對于④，分和情況討論，結(jié)合數(shù)列的項的變化情況，即可判斷.1112a1,n1a2n2nan1，n1【詳解】對于①，由于11n1，a2n1a22a24a24，結(jié)合a則n12212則a2na43為首項，公比為21的等比數(shù)列，n1n111則令aa2n432n243，2n1n1112n43430，n不存在，22N*，使得k2，①錯誤；故不存在k12a1時，由①知，a2na43為首項，公比為21的等比數(shù)列，n1n111則a2n432n2432，nn11n21212a2n則a2a2434330a2n1，n1nn112a4342恒成立，②正確；a2nan故為遞增數(shù)列，而n12a21n1n1222，時，當a中有最大值2，有最小值為-2，na中既有最大值，又有最小值，③正確；n即存在aR，使得1a24a24，對于④，由①知，n1n212a21n1n1a2n22，符合題意；當時，當n11a222n4，4，隨著nNa2n當又ana42，11an1n2*nn0n2，則必存在恒成立n1020241RnN0*nnn2綜合以上對任意的a，存在恒成立，④正確，0四.解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.baCA.15.在VABC中，角,B,C.所對的邊分別為a,b,c1）求C；32）若VABC的內(nèi)切圓半徑為,c4VABC的面積.2π【答案】（）C332）4【解析】）法一：利用正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可化簡求角；法二：利用余弦定理，將余弦化為邊，再根據(jù)余弦定理，即可求角；（2）首先根據(jù)余弦定理化簡得到(ab)2，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑，集合等面積公式，得到ab4，兩式化簡得到，即可求面積.【小問1詳解】—baCA，由正弦定理得，CCCCCC，，2sinBcosCsinAC，即，又ABCπ，所以sinACsinB01πcosC0CπC.23法二：因為baCA，由余弦定理得a2b2c2b2c2a2baa2b2c2ba22a2cbc2aa2b2c2a2b2c2ba2b2c2b2c2a2bb2aaa2b2c2a2b2c212ba1π3cosC0CπC.2【小問2詳解】由余弦定理得c2a2b22abCa2b2ab16(ab)16ab①2121abcr設VABC的內(nèi)切圓半徑為r，由等面積公式得absinC.212313abcab即.222ab4ab4ab)2a2b②2整理得聯(lián)立①②，解得，1131134VABC的面積為absinC11.222π2πππ2π3f(x)x)單調(diào)，其中|為正整數(shù)，f()f()16.已知函數(shù)1）求π在區(qū)間(,).622yf(x)圖象的一條對稱軸；32）若f().627π【答案】（）xπ2）3【解析】2ππ2ππ22π31,T,ff，323fx取其中點值，即可得圖象的一條對稱軸；2π2π3123fx在2T37πx處取得最值，即可求解.12【小問1詳解】ππ62xfx,因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，Tπ2π2π3T，26π2π,23在同一個周期內(nèi)，π2π3ff2，π22π3yfx7π12圖像的一條對稱軸為x2【小問2詳解】由（1）知，T2π2π3，3又為正整數(shù)，所以1，23，7πfxx由（1）知，在處取得最值，127πππ7ππkZ，即，π，kZ．22ππππ12當1時，π，kZ，知fxsinx，所以，212π6ππ6π3fsinsin，不符合題意；22π3當2π，kZ，πππ3，知fxsin2x由，所以，23π6ππ2π33fsin2sin3，符合題意；625π當3時，π，kZ，4ππ4π4，fxsin3x由，所以，2π6ππ423fsin3，不符合題意，622π綜上所述，.31an,,Saan項和，已知11，n12n17.設是數(shù)列nnan,.n1）證明：2n是等比數(shù)列；S02n2）求滿足的所有正整數(shù)n.【答案】（）證明見解析2）正整數(shù)n為12【解析】）由定義能證明數(shù)列2n是等比數(shù)列；n11n1122n22n1aa2n84n3，從而22232231n3S2naaaa2n12n2n；212342S02n由求和式子由此能求出滿足的所有正整數(shù)n的值．【小問1詳解】111a2n12n12n2n14n2n1，由已知得2n22221a2a2n2，2n22321a2a202，，2121所以2n為首項，為公比的等比數(shù)列；2【小問2詳解】n111由（12n2，22n122n2，n11a2n164n2，n12a2n1a2n84n3，Saaaa2n12n2n12342nn11118n412n32n6n33222222n323122n3，257218SS2S，4，S6當n2單調(diào)遞減，其中，2n24S02n所以滿足的所有正整數(shù)n為12.xefx2cos2x2π.x18.已知函數(shù)1）證明：2）證明：2efx的導函數(shù)有且僅有一個極值點；fx的所有零點之和大于2π.【答案】（）證明見解析fx2）【解析】的所有零點之和大于2π，理由見解析.gxfxgxfx進的exx1ex1x1hx1exgxgx取值情況，從而確定函數(shù)的極值點取值個數(shù)；fx2）結(jié)合的單調(diào)性，確定其零點，從而得函數(shù)fxfx的極值點分布，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零fxfxfx點存在定理即可確定函數(shù)有零點之和與【小問1詳解】2π的大小關(guān)系.xefx2cos21x1x,x2π，2exfx1xxe1xxx2π，，gxfx設1x1x1ex1x2π，x，其中egxexex0恒成立，hx1ex1x令，π則x1xex1sinx2ex1sinxhxe，4ππ7πx,x2π，所以，444xπ4hxhx單調(diào)遞減，0所以當，函數(shù)π44xx,hx0hx，函數(shù)單調(diào)遞增，當當5π4hxhx，函數(shù)單調(diào)遞增；,2π0π42π25π4π11又h01e1e00，hh0，h1e44227π427427π4π1h1e1e0，h2πh01225π7π440,h01e01000x，使得，0gxxfxx0,2πe1xhxgx00gx0故對于有單調(diào)遞減，時，00gx0fx，函數(shù)0fxfxfx無極小值點，故有且僅有一個極值點.x是函數(shù)的極大值點，0【小問2詳解】5π7π44fxxe,x2πx，0fxe1xx,因為函數(shù)，其導函數(shù)，使得當x0fxx0,2πfx時，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當e0x又，0πefx10sin00f0e0sin02sinx，4057π3πxxπ,π0,2πfx0，0，所以，所以04442f2πe12π0，又故當x0，xx,2πfx20，使得，于是可得：0fx20，使得11xxfx0fx，xx,xfx0fx，xx2,2π112fx，單調(diào)遞減，fx03π23π2fππf10xπ,1e2又，π2ππ2,πf0，則fe2fππ10，所以存在23π23π23π2f2f1fπ0ff0π,0，所以，則存在f0，f2πfxxx2,2π上無零點；e12π10又，所以函數(shù)在區(qū)間πx2π,π故函數(shù)在上有兩個零點，22ff0可得：由e0,ecos0，所以,，11e1e1e1e1又，，2ππππ2ππ2ππ，，可得：，222π2yx,π2π2π并且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，fx2π的兩個零點之和大于故【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的極值點、零點與導數(shù)的關(guān)系，涉及到三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)混合運算，難度較大.這樣避免求導數(shù)過程中，導函數(shù)的零點無法解含指數(shù)與三角函數(shù)的方程問題，例如本題中對函數(shù)gx1xxgxx1ex1x，其影響正e直接求其導數(shù)無法消除指數(shù)運算，將其轉(zhuǎn)化為負的部分1ex1cosxπ22π的關(guān)鍵是確定零點范圍為之后，結(jié)合零點所滿足的等式關(guān)系yx0在e0,eπ2與2π的大小