2024學(xué)年同濟(jì)大學(xué)二附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年同濟(jì)大學(xué)二附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷滿分：150分，完成時間：120分鐘一、填空題（本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是___________.2.半徑為2的球的表面積為________.3.已知長方體棱，，則異面直線與所成角的余弦值為______．4.在四面體中，若底面的一個法向量為，且，則頂點(diǎn)到底面的距離為_____________．5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為___________.6.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的面積為_________.7.三棱錐中，三條側(cè)棱，則頂點(diǎn)在平面內(nèi)射影是的______．（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若四邊形對角線，對角線AC與BD所成的角為，則FH=______．9.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是_____10.已知二面角為30°，P是半平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面的距離是1，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影到的距離是_________．11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為_____12.如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.平面區(qū)域W由所有滿足的點(diǎn)P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）13.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺中的部分）長為12，則原圓錐的母線長為（）A.16 B.18 C.20 D.2215.為空間中兩條直線，為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的個數(shù)為（）①二面角的范圍是；②經(jīng)過3個點(diǎn)有且只有一個平面；③若兩條異面直線，，則．④若為兩條異面直線，且，則．A.0 B.1 C.2 D.316.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說法錯誤的是（）A.四棱錐為“陽馬”B.四面體為“鱉臑”C.四棱錐體積的最大值為D.過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作于點(diǎn)F，則面AEF三、解答題（本題滿分78分，共5小題）17.如圖，棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求異面直線與所成角的大小．（結(jié)果用反三角表示）18.如圖，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M為AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC；（2）求直線PB與平面ABC所成角的大?。?9.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若，，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，當(dāng)為多少時，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？20.如圖，是圓柱的底面直徑，，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．（1）求圓柱的表面積；（2）證明：平面平面；（3）若，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值．21.已知點(diǎn)是邊長為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)此時所在的位置.同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分：150分，完成時間：120分鐘一、填空題（本題滿分54分，共12小題，第1-6題每題4分，7-12題每題5分）1.在空間中，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系是___________.【答案】平行或異面【解析】【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】空間中的直線沒有公共點(diǎn)，則兩直線要么平行，要么是異面直線.故答案為：平行或異面2.半徑為2的球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】代入球的表面積公式:即可求得.【詳解】，由球的表面積公式可得,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.3.已知長方體的棱，，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】由定義說明是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，然后計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，所以異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在直角中，，，故答案為：．4.在四面體中，若底面的一個法向量為，且，則頂點(diǎn)到底面的距離為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)面距公式代入計(jì)算即可得.【詳解】由點(diǎn)面距公式得.故答案為：.5.已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與圓錐側(cè)面的關(guān)系求出圓錐底面圓半徑即可計(jì)算得解.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則該圓錐底面圓周長為，因圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長為，依題意，，解得，顯然圓錐母線長，則圓錐側(cè)面積，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：6.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的面積為_________.【答案】【解析】【分析】首先求出，再畫出平面圖形，從而求出其面積.【詳解】因?yàn)椋?，所以，由直觀圖可得如下平面圖形，則，，所以.故答案為：7.三棱錐中，三條側(cè)棱，則頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的______．（填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”）【答案】外心【解析】【分析】由已知可得頂點(diǎn)在底面上的射影到底面三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，即為的外心.【詳解】如圖，設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為，則平面，連接，，，，，在平面內(nèi)，，，，，，都是直角三角形，，，和三個三角形全等，從而有，所以為的外心.故答案為：外心.8.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若四邊形對角線，對角線AC與BD所成的角為，則FH=______．【答案】或【解析】【分析】由題意可知四邊形為菱形，且知菱形相鄰的兩個角分別為，再由所給邊長即可求得的長.【詳解】如圖，由分別是的中點(diǎn)，得，，則四邊形為菱形，又與所成的角為，于是直線與所成角為，即菱形的邊長為1，相鄰兩個內(nèi)角分別為，即或，當(dāng)時，,當(dāng)時，，所以或.故答案為：或9.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是_____【答案】【解析】【詳解】設(shè)球半徑為，則V1V2=π點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．10.已知二面角為30°，P是半平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面的距離是1，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影到的距離是_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，證明即為二面角的平面角，再解即可.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，則，，作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，所以，即點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影到的距離是.故答案為：.11.如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為_____【答案】12【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為l,求出以S為圓心，SA為半徑的圓的面積以及圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意，列出方程即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，又圓錐的側(cè)面積為，因?yàn)楫?dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，所以，解得，故答案為：1212.如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.平面區(qū)域W由所有滿足的點(diǎn)P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.【答案】【解析】【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，再根據(jù)得到當(dāng)在邊上時四面體的體積最大，當(dāng)在邊的中點(diǎn)時四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計(jì)算可得取值范圍.【詳解】連接，如圖所示，因?yàn)槠矫?，平面，所以，∵，由，，則；所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，所以當(dāng)在邊上時，四面體的體積的最大值是.所以當(dāng)在邊的中點(diǎn)時，的面積取得最小值，此時，所以四面體的體積的最小值是，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解三棱錐體積的最值問題，要找準(zhǔn)突破口，也即是按三棱錐的體積公式，通常會有以下兩種：①如果底面積固定，則通過找高的最值來進(jìn)行求解；②如果高已知確定，則求底面積的最值來進(jìn)行求解（如本題）.二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）13.已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選：B.14.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺中的部分）長為12，則原圓錐的母線長為（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】A【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為，且，設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)相似比可得，解得，即原圓錐的母線長為.故選：A.15.為空間中兩條直線，為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的個數(shù)為（）①二面角的范圍是；②經(jīng)過3個點(diǎn)有且只有一個平面；③若為兩條異面直線，，則．④若兩條異面直線，且，則．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】利用二面角的取值范圍可判斷①，當(dāng)三點(diǎn)共線時可判斷②，利用線面平行的判定方法可判斷③，利用線面平行的性質(zhì)以及面面平行的判定定理可判斷④【詳解】對于①，二面角的范圍是，①錯；對于②，若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過這個點(diǎn)有無數(shù)個平面，②錯對于③，若為兩條異面直線，，則與可能平行也可能相交，故③錯誤；對于④，因，過直線m作平面，使得，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，因?yàn)?，則，因?yàn)?，過直線n作平面，使得，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，因，則，若，則，這與為兩條異面直線矛盾，故相交，又因?yàn)?，所以，故④對，故選：B16.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說法錯誤的是（）A.四棱錐為“陽馬”B.四面體為“鱉臑”C.四棱錐體積的最大值為D.過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作于點(diǎn)F，則面AEF【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，故A正確；B選項(xiàng)，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，∴四面體為“鱉膈”，故B正確；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，最大值為，故C錯誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以平面，故D正確；故選：C三、解答題（本題滿分78分，共5小題）17.如圖，棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角表示）【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.（2）根據(jù)線線平行，找出異面直線所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.【小問1詳解】如圖：連接，.因?yàn)闉檎襟w，所以.又，、分別是、的中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】如圖：連接、因?yàn)?，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.在中，，，.所以.所以異面直線與所成的角為：.18.如圖，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M為AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC；（2）求直線PB與平面ABC所成角的大小．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面ABC；（2）連結(jié)BM，則是直線PB和平面ABC所成的角，由此能求出直線PB和平面ABC所成的角．【小問1詳解】證明：因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn)，所以．又，，且，所以平面．又在平面內(nèi)，所以．因?yàn)?，且，，所以平面．【小?詳解】解：連結(jié)，由（1）知平面，所以是直線和平面所成的角．因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又為等腰直角三角形，且，所以．因?yàn)椋?，則所以直線和平面所成的角的大小等于．19.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若，，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為，當(dāng)為多少時，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.【小問1詳解】由知.因?yàn)?，所以正四棱錐的體積正四棱柱的體積所以倉庫的容積.【小問2詳解】設(shè)，下部分的側(cè)面積為，則，，，設(shè)，當(dāng)，即時，，.即當(dāng)為時，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是.20.如圖，是圓柱的底面直徑，，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．（1）求圓柱的表面積；（2）證明：平面平面；（3）若，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱求表面積公式即可求解.（2）先證平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可.（3）先分析得將繞著旋轉(zhuǎn)到，使其與共面，且在的反向延長線上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，的最小值為，通過解三角形求即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，圓柱的底面半徑，圓柱的高，圓柱的上下底面積和為，