專題13.10 最短路徑（將軍飲馬）問題（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題13.10最短路徑（將軍飲馬）問題（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【模型一：兩定交點型】如圖1，直線和的異側(cè)兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最?。粓D1【模型二：兩定一動型】如圖2，直線和的同側(cè)兩點A.B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最?。ㄍ瑐?cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；圖2【模型三：一定兩動型】如圖3，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小。圖3【模型四：兩定兩動型】如圖4，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。圖4【模型五：一定兩動（垂線段最短）型】如圖5，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。圖5【模型六：一定兩動，找（作）對稱點轉(zhuǎn)化型】如圖6，點A是∠MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。圖6【考點1】兩定一動型；【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；【考點3】一定兩動（垂線段最短）型；【考點4】兩定兩動型；【考點5】一定兩動（等線段）轉(zhuǎn)化型；.第二部分【題型展示與方法點撥】【考點1】兩定一動型；【例1】（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，垂直平分，交于點D，則周長的最小值是（）

A．12 B．6 C．7 D．8【變式】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，．將沿射線折疊，使點A與邊上的點D重合，E為射線上的一個動點，則周長的最小值．

【考點2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；【例2】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期末）如圖，，P為內(nèi)一點，A為上一點，B為上一點，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，，點分別在射線上，，，點P是直線上的一個動點，點P關(guān)于的對稱點為，點P關(guān)于的對稱點為，連接、、，當(dāng)點P在直線上運動時，則面積的最小值是．【考點3】一定兩動型（垂線段最短）；【例3】（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，，，點P、Q分別是邊、上的動點，則的最小值等于（

）A．4 B． C．5 D．【變式】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是．

【考點4】兩定兩動型；【例4】如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時，此時的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式】（23-24八年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則與的數(shù)量關(guān)系為．【考點5】一定兩動（等線段）轉(zhuǎn)化型；【例5】（20-21八年級上·湖北鄂州·期中）如圖，AD為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，AC上的動點，且AE=CF，當(dāng)BF＋CE取最小值時，∠AFB的度數(shù)為（

）A．75° B．90° C．95° D．105°【變式】（23-24七年級下·四川宜賓·期末）在中，，，，點E是邊的中點，的角平分線交于點D．作直線，在直線上有一點P，連結(jié)、，則的最大值是．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為．【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值為．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，、在的同側(cè)，點為線段中點，，，，若，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．