高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和二導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

2.3等差數(shù)列的前n項和（二）【教學(xué)目標(biāo)】1.進(jìn)一步嫻熟駕馭等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.會解等差數(shù)列前n項和的最值問題.3.理解an與Sn的關(guān)系，能依據(jù)Sn求an.【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生通過觀看《2.3等差數(shù)列的前n項和（二）》課件“復(fù)習(xí)回顧”部分，通過四個問題對上節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行簡潔回顧，從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.二、自主學(xué)習(xí)教材整理等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)閱讀教材P44例3～P45，完成下列問題．1．Sn與an的關(guān)系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1.n≥2))2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…構(gòu)成等差數(shù)列．(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))．3．等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特殊地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．三、合作探究問題1已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，怎樣求a1，an?提示：a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1時也適合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.問題2我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n，類比二次函數(shù)的最值狀況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？提示：由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1＜0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1＞0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．探究點(diǎn)1已知數(shù)列{an}的前n項和Sn求an例1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求這個數(shù)列的通項公式．這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？假如是，它的首項與公差分別是什么？提示：依據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，當(dāng)n>1時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)]＝2n－eq\f(1,2)，①當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也滿意①式．∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－eq\f(1,2).故數(shù)列{an}是以eq\f(3,2)為首項，2為公差的等差數(shù)列．變式探究例1中前n項和改為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求通項公式．提示：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋eq\f(1,2)n＋1)－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)＋1]＝2n－eq\f(1,2). ①當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N*.))探究點(diǎn)2等差數(shù)列前n項和的最值例2已知等差數(shù)列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的前n項和為Sn，求使得Sn最大的序號n的值．提示：方法一由題意知，等差數(shù)列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的公差為－eq\f(5,7)，所以Sn＝5n＋eq\f(nn－1,2)(－eq\f(5,7))＝－eq\f(5,14)(n－eq\f(15,2))2＋eq\f(1125,56).于是，當(dāng)n取與eq\f(15,2)最接近的整數(shù)即7或8時，Sn取最大值．方法二an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,7)))＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7).令an＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7)≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.故前n項和是從第9項起先減小，又S7＝S8，所以前7項或前8項和最大．探究點(diǎn)3求等差數(shù)列前n項的肯定值之和例3若等差數(shù)列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.提示：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；當(dāng)n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))四、當(dāng)堂檢測1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，則an等于()A．4n－2 B．n2C．2n＋1 D．2n2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．13．首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項和為Sn，且S3＝S8，當(dāng)n＝________時，Sn取到最大值．4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，求an.提示：1．D2.B3.5或64．解當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋2＝5.當(dāng)n≥2時，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又當(dāng)n＝1時，a1＝5≠21－1＝1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1.因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1只有n≥2時才有意義.所以由Sn求通項公式an＝f(n)時，要分n＝1和n≥2兩種狀況分別計算，然后驗(yàn)證兩種狀況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.2.求等差數(shù)列前n項和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值，但要留意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀.(2)通項法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\r