《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（一）（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）理解n次方根與根式的概念；（2）正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值；（3）了解分類討論思想在解題中的應(yīng)用.2．過程與方法通過與初中所學(xué)的知識（平方根、立方根）進(jìn)行類比，得出次方根的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)根式的性質(zhì).3．情感、態(tài)度與價值觀（1）通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣；（2）培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識、接受新事物的能力.（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；（2）掌握并運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì).2．教學(xué)難點(diǎn)：根式概念的理解.（三）教學(xué)方法本節(jié)概念性較強(qiáng)，為突破根式概念的理解這一難點(diǎn)，使學(xué)生易于接受，故可以從初中已經(jīng)熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐漸地過渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引導(dǎo)學(xué)生注意它與n次方根的關(guān)系，并強(qiáng)調(diào)說明根式是n次方根的一種表示形式，加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解，并引導(dǎo)學(xué)生主動參與了教學(xué)活動.故本節(jié)課可以采用類比發(fā)現(xiàn)，學(xué)生合作交流，自主探索的教學(xué)方法.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖提出問題先讓我們一起來看兩個問題（見教材P52—53）.在問題2中，我們已經(jīng)知道…是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為….那么，的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識.下面，我們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù).為此，需要先學(xué)習(xí)根式的知識.老師提出問題，學(xué)生思考回答.由實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.復(fù)習(xí)引入什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？歸納：在初中的時候我們已經(jīng)知道：若，則叫做a的平方根.同理，若，則叫做a的立方根.根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如4的平方根為，負(fù)數(shù)沒有平方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如―8的立方根為―2；零的平方根、立方根均為零.師生共同回顧初中所學(xué)過的平方根、立方根的定義.學(xué)習(xí)新知前的簡單復(fù)習(xí)，不僅能喚起學(xué)生的記憶，而且為學(xué)習(xí)新課作好了知識上的準(zhǔn)備.形成概念類比平方根、立方根的概念，歸納出n次方根的概念.n次方根：一般地，若，則x叫做a的n次方根（throot），其中n＞1，且n∈Ｎ＊,當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根中，正數(shù)用表示，如果是負(fù)數(shù)，用表示.當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根用符號表示，叫做根式.其中n稱為根指數(shù)，a為被開方數(shù).老師點(diǎn)撥指導(dǎo)，由學(xué)生觀察、歸納、概括出n次方根的概念.由特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括的能力.深化概念類比平方根、立方根，猜想：當(dāng)n為偶數(shù)時，一個數(shù)的n次方根有多少個？當(dāng)n為奇數(shù)時呢？零的n次方根為零，記為舉例：16的次方根為，等等，而的4次方根不存在.小結(jié)：一個數(shù)到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數(shù)到底是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，還要分清n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況.根據(jù)n次方根的意義，可得：肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？讓學(xué)生注意討論，n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學(xué)生分組討論.通過探究得到：n為奇數(shù)，n為偶數(shù),如小結(jié)：當(dāng)n為偶數(shù)時，化簡得到結(jié)果先取絕對值，再在絕對值算具體的值，這樣就避免出現(xiàn)錯誤.讓學(xué)生對n為奇偶數(shù)進(jìn)行充分討論.通過探究得到：n為奇數(shù)，；n為偶數(shù),.舉出實(shí)例，加深理解.通過分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，掌握n次方根概念，培養(yǎng)學(xué)生掌握知識的準(zhǔn)確性、全面性，同時培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的能力應(yīng)用舉例例題：求下列各式的值思考：是否成立，舉例說明.課堂練習(xí)：1.求出下列各式的值；；.2．若.3．計(jì)算學(xué)生思考，口答，教師版演、點(diǎn)評.例題分析：當(dāng)n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫，然后再去絕對值.解：=—8；=|—10|=10；=；=課堂練習(xí)1.解：（1）—7；（2）；（3）=.2.解：.3.解：原式=—8+1+=.通過例題的解答，進(jìn)一步理解根式的概念、性質(zhì).歸納總結(jié)1．根式的概念：若n＞1且，則.為偶數(shù)時，；2．掌握兩個公式：先讓學(xué)生獨(dú)自回憶，然后師生共同總結(jié).通過小結(jié)使學(xué)生加強(qiáng)對知識的記憶，加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解，養(yǎng)成總結(jié)的好習(xí)慣.課后作業(yè)作業(yè)：2.1第一課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固新知提升能力備選例題例1計(jì)算下列各式的值.（1）；（2）（，且）（3）（，且）【解析】（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，=；當(dāng)為偶數(shù)時，=.（3）=，當(dāng)時，=；當(dāng)時，=.【小結(jié)】（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，（2）不注意n的奇偶性對式子值的影響，是導(dǎo)致錯誤出現(xiàn)的一個重要原因.故要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟、會用、活用.例2求值：【分析】需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\(yùn)算性質(zhì)；【解析】【小結(jié)】開方后帶上絕對值，然后根據(jù)正負(fù)去掉絕對值.2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（二）（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；（2）掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；（3）掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；（4）培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象等的能力.2．過程與方法通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì).3．情感、態(tài)度與價值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生觀察分析，抽象的能力，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想；（2）通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣；（3）讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；（2）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2．教學(xué)難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解（三）教學(xué)方法發(fā)現(xiàn)教學(xué)法1．經(jīng)歷由利用根式的運(yùn)算性質(zhì)對根式的化簡，注意發(fā)現(xiàn)并歸納其變形特點(diǎn)，進(jìn)而由特殊情形歸納出一般規(guī)律.2.在學(xué)生掌握了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)后，進(jìn)一步推廣到實(shí)數(shù)范圍內(nèi).由此讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并由特殊推廣到一般的研究方法.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖提出問題回顧初中時的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì).,什么叫實(shí)數(shù)？有理數(shù)，無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).老師提問，學(xué)生回答.學(xué)習(xí)新知前的簡單復(fù)習(xí)，不僅能喚起學(xué)生的記憶，而且為學(xué)習(xí)新課作好了知識上的準(zhǔn)備.復(fù)習(xí)引入觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：＞0①②③④小結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式，（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）.根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.如：即：老師引導(dǎo)學(xué)生“當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式，（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）”聯(lián)想“根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.”.從而推廣到正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個新的概念或法則時，總希望它與已有的概念或法則是相容的.形成概念為此，我們規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：正數(shù)的定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.即：規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.說明：規(guī)定好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是可以互換的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫法，而不是學(xué)生計(jì)算、構(gòu)造、猜想，允許交流討論，匯報結(jié)論．教師巡視指導(dǎo)．讓學(xué)生經(jīng)歷從“特殊一一般”，“歸納一猜想”，是培養(yǎng)學(xué)生“合情推理”能力的有效方式，同時學(xué)生也經(jīng)歷了指數(shù)冪的再發(fā)現(xiàn)過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力．深化概念由于整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：（1）（2）（3）若＞0，P是一個無理數(shù)，則P該如何理解？為了解決這個問題，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本P57——P58.即：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近.所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時，的近似值從小于的方向逼近.當(dāng)?shù)倪^剩似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示)所以，是一個確定的實(shí)數(shù).一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.無理指數(shù)冪的意義，是用有理指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值無限地逼近以確定大小.思考：的含義是什么？由以上分析，可知道，有理數(shù)指數(shù)冪，無理數(shù)指數(shù)冪有意義，且它們運(yùn)算性質(zhì)相同，實(shí)數(shù)指數(shù)冪有意義，也有相同的運(yùn)算性質(zhì)，即：讓學(xué)生討論、研究，教師引導(dǎo)．通過本環(huán)節(jié)的教學(xué)，進(jìn)一步體會上一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖．應(yīng)用舉例例題例1（P56，例2）求值；；；.例2（P56，例3）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（＞0）；；.分析：先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.解：；；.課堂練習(xí)：P59練習(xí)第1，2，3，4題補(bǔ)充練習(xí)：1.計(jì)算：的結(jié)果；2.若.學(xué)生思考，口答，教師板演、點(diǎn)評．例1解：①；②；③；④.例2分析：先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.解：；；.練習(xí)答案：1.解：原式===512；2.解：原式==.通過這二個例題的解答，鞏固所學(xué)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的求值，提高運(yùn)算能力．歸納總結(jié)1．分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫法.2．無理數(shù)指數(shù)冪表示一個確定的實(shí)數(shù).3．掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，其與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是一致的.先讓學(xué)生獨(dú)自回憶，然后師生共同總結(jié)．鞏固本節(jié)學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)、會總結(jié)的習(xí)慣和能力．課后作業(yè)作業(yè)：2.1第二課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固新知提升能力備選例題例1計(jì)算（1）（1）；【解析】（1）原式（2）原式===.【小結(jié)】一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡的目的.例2化簡下列各式：（1）；（2）.【解析】（1）原式=====；（2）原式=.【小結(jié)】（1）指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是：有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì).（2）根據(jù)一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解.如.（3）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式計(jì)算時，結(jié)果可化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，但不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（三）（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能：能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡，求值.2．過程與方法：通過訓(xùn)練點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì).3．情感、態(tài)度、價值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力；（2）培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力.（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．重點(diǎn)：運(yùn)用有理指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行化簡，求值.2．難點(diǎn)：有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用.（三）教學(xué)方法1.啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪實(shí)質(zhì)是相同的.并能熟練應(yīng)用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化.2.引導(dǎo)學(xué)生在化簡求值的過程中，注意將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式和積累一些常用技巧.如湊完全平方、分解因式、化小數(shù)為分?jǐn)?shù)等等.另外，在運(yùn)用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡變形時，應(yīng)注意根據(jù)底數(shù)進(jìn)行分類，以精簡解題的過程.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).師：提出問題生：復(fù)習(xí)回顧師：總結(jié)完善復(fù)習(xí)舊知，為新課作鋪墊.應(yīng)用舉例例1．（P56，例4）計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）（1）（2）例2．（P57例5）計(jì)算下列各式（1）（2）＞0）課堂練習(xí)：化簡：（1）；（2）；（3）.學(xué)生思考，口答，教師板演、點(diǎn)評．例1（先由學(xué)生觀察以上兩個式子的特征，然后分析、提問、解答）分析：四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號的.整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序.我們看到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算；（2）小題是乘方形式的運(yùn)算，它們應(yīng)讓如何計(jì)算呢？其實(shí)，第（1）小題是單項(xiàng)式的乘除法，可以用單項(xiàng)式的運(yùn)算順序進(jìn)行.第（2）小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算.解：（1）原式===4（2）原式==例2分析：在第（1）小題中，只含有根式，且不是同類根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡便多了，同樣，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算.解：（1）原式=====（2）原式=.小結(jié)：運(yùn)算的結(jié)果不強(qiáng)求統(tǒng)一用哪一種形式表示，但不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母，又含有負(fù)指數(shù).練習(xí)答案：解（1）原式==；（2）原式==2；（3）原式===.通過這二個例題的解答，鞏固所學(xué)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的求值，提高運(yùn)算能力．強(qiáng)化解題技巧.歸納總結(jié)1.熟練掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則，化簡的基礎(chǔ).2.含有根式的式子化簡，一般要先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再計(jì)算.先讓學(xué)生回顧反思，然后師生