湖北省宜城一中、棗陽一中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

宜城一中棗陽一中曾都一中襄陽六中南漳一中老河口一中2024—2025學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘主命題學(xué)校：襄陽六中分值：150分命題教師：陳凌云王園園漆莉莉注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，那么下面的韋恩圖中，陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖，等價轉(zhuǎn)化為集合的表示，結(jié)合并集和補集，可得答案.【詳解】由圖可知，陰影部分為，由，則，故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用特稱命題的否定的概念即可求解,改量詞，否結(jié)論.【詳解】由特稱命題的否定的概念知，“，”的否定為：，．故選：B．3.已知冪函數(shù)的圖象過點，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和冪函數(shù)圖象過的點，可求出的值，從而根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以，即.故選：B.4.在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率π準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準(zhǔn)確地說出該數(shù)位上的數(shù)字．已知圓周率，如果記圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字為，則下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時， B.，是一個函數(shù)C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，結(jié)合圓周率小數(shù)點后的數(shù)字，依次判斷選項即可.【詳解】A：當(dāng)時，，故A錯誤；B：由題意可知圓周率小數(shù)點后第n位上的數(shù)字y是唯一確定的，即任取一個正整數(shù)n都有唯一確定的y與之對應(yīng)，因此y是n的函數(shù)，故B正確；C：，所以，故C正確；D：由題意知，函數(shù)的定義域為，值域為，故D正確.故選：A5.關(guān)于x的不等式的解集是,則關(guān)于x的不等式的解集是A.或 B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的解集判斷出的關(guān)系，由此求得不等式的解集.【詳解】由于x的不等式的解集是，所以且.所以不等式等價于，故解集為.故選：C【點睛】本小題主要考查一元一次不等式解法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，則，解得.故選：D7.若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的奇偶性，確定和的解集，進(jìn)而可求解.【詳解】因為奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，可得：在上單調(diào)遞減，且，同時，所以當(dāng)時，的解集為：，當(dāng)，的解集為：，又時，滿足，綜上可知：的解集為：，故選：B8.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點A作于點F，則下列推理正確的是（）A.由圖1和圖2面積相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，，因為，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確；對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題恒成立的是（）A.若，則 B.若，，，則C.若，則 D.若，，且，則【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷AB；舉例可判斷C；結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對于A，由，則，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，則，所以，又，則，故B正確；對于C，當(dāng)時，滿足，而，故C錯誤；對于D，由于，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.若的定義域為，則的定義域為B.關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍【答案】AD【解析】【分析】由抽象函數(shù)定義域即可判斷A，由一元二次不等式恒成立即可判斷B，由換元法求函數(shù)值域即可判斷C，由二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D【詳解】對于A，因為的定義域為，則，解得，所以的定義域為，故A正確；對于B，當(dāng)時，不等式，符合要求；當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足，解得，綜上，實數(shù)k的取值范圍是，故B錯誤；對于C，令，則，即，所以，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，則函數(shù)的值域為，故C錯誤；對于D，由函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，解得，故D正確；故選：AD11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如，．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在R上是增函數(shù) B.的最小值為0，無最大值C. D.當(dāng)時，【答案】BD【解析】【分析】，使得，即可運算判斷；由結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷，根據(jù)高斯函數(shù)定義及周期函數(shù)計算可判斷；根據(jù)高斯函數(shù)定義計算可判斷.【詳解】，使得，此時，從而，即，故錯誤；對于，有，故錯誤，由，可知是以1為周期的周期函數(shù)，故只需討論在上的值域即可，當(dāng)時，，即函數(shù)的值域為，故正確；當(dāng)時，，故正確；故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，先求得的值，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，則.故答案為：.13.已知集合，，若，則實數(shù)________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)條件先判斷出，然后再對進(jìn)行分類討論，結(jié)合集合中元素的互異性求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以或，當(dāng)時，或，若，，滿足要求；若，，不滿足集合元素的互異性；當(dāng)時，或，若，，不滿足集合元素的互異性；若，，滿足要求；綜上，的取值為或，故答案為：或.14.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個周長均為28m的相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）鋪上鵝卵石，造價元；在四個空角（圖中四個三角形）鋪上草坪，造價為元．若要使總造價不高于元，則正方形周長的最大值為________m．【答案】【解析】【分析】先分別求出正方形，長方形，四個空角的面積，再由題意計算出總成本小于28000列不等式解出即可；【詳解】設(shè)正方形的邊長為，則正方形的面積為，四個相同的矩形即陰影部分的面積為，四個空角的面積為，設(shè)總造價為元，則，即，即，解得，故正方形周長的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知存在，使不等式成立的實數(shù)a的取值集合為A，非空集合．（1）求集合A；（2）設(shè)p：；q：，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將“存在，使得成立”變?yōu)椤按嬖?，使得成立”，再利用基本不等式即可求?（2）由p是q的必要不充分條件知是的真子集，根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.∴若存在，使不等式成立，則，即.所以.【小問2詳解】∵p是q的必要不充分條件，∴是A的真子集.∵，是A的真子集，∴，解得.所以實數(shù)m的范圍是.16.已知全集，集合，集合．（1）求，；（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)并集，交集，補集的定義計算即可；（2）由題意得集合間的包含關(guān)系，然后分和兩種情況分類討論即可.【小問1詳解】由解得或，所以或，所以或；，所以；【小問2詳解】由得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.17.已知定義在R上的函數(shù)滿足：．（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于x的不等式；（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）利用方程組法求函數(shù)解析式即可；（2）整理不等式為，再根據(jù)含參一元二次不等式的解法求解即可；（3）轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立，即，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】由，得，兩式聯(lián)立解得，.【小問2詳解】由（1）知，，則不等式，即為，整理得，，即，當(dāng)時，不等式為，解得；當(dāng)時，不等式解得；當(dāng)時，不等式解得.綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.【小問3詳解】由（1）知，，由不等式在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，所以時，，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．18.某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．（1）求a，b；（2）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）（2）（3）當(dāng)年產(chǎn)量為萬部時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組求解出結(jié)果；（2）根據(jù)利潤的計算公式分別考慮當(dāng)，時的解析式，由此可求解出結(jié)果；（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)分析時的最大值，利用基本不等式分析時的最大值，由此可確定出結(jié)果.小問1詳解】由題意可知，解得；【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，；【小問3詳解】當(dāng)時，，此時由二次函數(shù)單調(diào)性可知；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，且，綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為萬部時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元.19.我們知道，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．給定函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對稱中心；（2）用定義證明在區(qū)間上的單調(diào)性，并求在上的值域；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，．若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析；值域為；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，根據(jù)函數(shù)關(guān)于點對稱的性質(zhì)得到，代入求解即可得到的值，從而得到對稱中心；（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明，再根據(jù)所得單調(diào)性結(jié)合定義域求值域即可；（3）由題意可知函數(shù)的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可對二次函數(shù)分析得到，最終整合得到實數(shù)m的取值范圍.