立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問題-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展29立體幾何中的結(jié)構(gòu)不良問題(精講+精練)

一、知識點梳理

一、空間向量與立體幾何的求解公式

(1)異面直線成角：設(shè)方分別是兩異面直線/1,/2的方向向量，則與/2所成的角6滿足：850=嬲；

⑵線面成角：設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為“，a與"的夾角為從

則直線I與平面?所成的角為0滿足：sin。=|3川=韶.

(3)二面角：設(shè)"1,“2分別是二面角的兩個半平面a,￡的法向量，

則兩面的成角。滿足：cos6(=cos<rai,n2>=方向；

注意：二面角的平面角大小是向量"1與"2的夾角或是向量為與"2的夾角的補角，具體情況要判斷確定.

(4)點到平面的距離：如右圖所示，已知A3為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，/

則點8到平面a的距離為：|的=?；?，即向量劭在法向量”的方向上的投影長./-

二'幾種常見角的取值范圍

__JT__TT

①異面直線成角e(0,N；②二面角q0,兀]；③線面角e[0,引；④向量夾角G[0,兀]

三、平行構(gòu)造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構(gòu)造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量證明空間中的平行關(guān)系

⑴線線平行：設(shè)直線h和h的方向向量分別為V1和V2,則(〃/2(或/1與L重合)〃也.

(2)線面平行：設(shè)直線/的方向向量為匕平面a的法向量為〃，則/〃a或/uae_L".

(3)面面平行:設(shè)平面a和夕的法向量分別為"1,u2,貝Ua〃伙=io〃"2.

六、用向量證明空間中的垂直關(guān)系

(1)線線垂直：設(shè)直線/1和/2的方向向量分別為燈和也，則/」/2令01"2=0.

(2)線面垂直：設(shè)直線/的方向向量為v,平面a的法向量為"，則

(3)面面垂直：設(shè)平面a和/的法向量分別為此和如貝Ija_LAuwi_L“2Uwr"2=0.

七、點面距常用方法

①作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；②等體積法；③向量法

二、題型精講精練

[典例1]（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-中，側(cè)面BCC內(nèi)為正方形,平面BCC國1

平面A2用A，AB=BC=2,M,N分別為4瓦，AC的中點.

4/彳

c

⑴求證：MN〃平面BCC4；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A3與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）取43的中點為K,連接"K,腿，可證平面MKN〃平面3CG耳，從而可證MN〃平面BCC4.

（2）選①②均可證明8月，平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角

的正弦值.

【詳解】（1）取的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-AeG可得四邊形ABB.A,為平行四邊形，

而B]M=MA1,BK=K4,則MK〃區(qū)81，

而MK<z平面BCClBl,BB[u平面BCCiBl,故MKII平面BCCtBt,

而CN=NA,BK=KA,則隧//3C,同理可得M7/平面BCQ用，

而NK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCG4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

（2）因為側(cè)面BCG片為正方形，故用，

而CBu平面BCG4，平面CBBg±平面ABB.Aj,

平面CBBlCln平面ABB^=BBt,故CB_L平面AB4A,

因為NK//BC,故A?_L平面，

因為Afiu平面AB4A，故NKLAB,

若選①，則ABLMN,而NKLAB,NK^\MN=N,

故AB工平面MAK,而必Tu平面MAK,故AB_LA/K,

所以片，而CB,BB],CBcAB=B,故B片，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,前=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,

設(shè)平面的法向量為五=（x,y,z）,

加麗=0_f元+y=0.-/、

從而jv+2z_0，取z=—1,貝！]鞏=(―2,2,—1),

n-BM=0

設(shè)直線A3與平面3NM所成的角為。，則

若選②，因為NK//BC,故雁，平面4即4，而平面MKN,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB—MN,故ABB、MHAMKN,

所以NBB[M=4MKN=90°,故4園1BBt,

而C2_LBB|,CBoAB^B,故臺與，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,4（0,2,0）,N。,1,0）,M（0,1,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,西=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,%z）,

n-BN=0\x+y=0一/、

從而1+；z=0'取z=—1，貝U〃=(—2,2,—1),

n-BM=0

設(shè)直線A5與平面BNM所成的角為。，則

42

2^33

z

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、解答題

1.（2023?北京海淀??？既＃┤鐖D，在四棱錐尸-A6CD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD為

JT

等腰直角三角形，且=點尸為棱PC上的點，平面AZ）尸與棱尸8交于點

⑴求證：EF//AD；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，求平面尸。與平面ADEE所成銳二面角的

大小.

條件①：AE=四;

條件②：平面R4D_L平面A3CD；

條件③：PB1FD.

【答案】（1）證明見解析

嗚

【分析】（1）由底面ABCD是正方形得AD//BC,用線面平行的判定定理證得AD//平面PBC,再用線面平

行的性質(zhì)定理證得EF〃AD；

⑵若選條件①②，由平面RM>_L平面A5CD得上4_LAB,PA±AD,由A5CD為正方形得AB_LAD,即可

建立空間直角坐標(biāo)系，由點的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，從而求出平面ADEE和平面PCD的法向量，代入夾角

公式即可求出平面PCD與平面4>組所成銳二面角的大小；若選條件①③，易證得平面E4B,從而

證得AD_LBB,所以尸3_L平面ADFE,從而得到PBJLAE,又因為AE=0,則可說明為等腰直角

三角形，即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，下面用與①②相同的過程求解；若選條件②③，由平面

PA￡>_L平面ABCD,可證PA_L平面ABCD,所以R4J.AB,X4_L4),又由PB_L平面的>EE,可證尸3_L,

結(jié)合尸A=可得點E為9的中點，則可得AE=應(yīng)，即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，下面用與

①②相同的過程求解.

【詳解】(1)證明：因為底面A5CD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,平面P3C,所以AD//平面P3C,

又因為平面AD尸與尸3交于點E,ADu平面4乃E,平面尸3Cc平面4〃花=E￡

所以E產(chǎn)//AO.

(2)選條件①②，則AE=0,平面尸AD,平面ABCD.

JT

因為側(cè)面尸AD為等腰直角三角形，且=即PA=AD=2,PA±AD,

因為平面RID_L平面ABC。，平面上4Dc平面ABCr>=AD,PAu平面PAD,

所以PA_L平面45cD,

又因為A5u平面ABC。，A￡>u平面ABC。，所以R4J_AB,PA^AD,

又由ABCD為正方形得AB_LXD.

以點A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AP分別為x軸，,軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙，

則A(0,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),8(2,0,0),￡>(0,2,0),

因為AE=行，所以點E為尸3的中點，則E(l,0,D,

,,____.____?____.UUU

從而PC=(2,2,-2),AZ>=(0,2,0),A￡=(l,0,l),PD=(0,2-2),

為?AE=x+z=(

設(shè)平面ADRE的法向量為3=(羽y,z),貝"一一

n-AD=2y=0,

令1=1,可得日=(1,0,-1),

一m-PD=2b-2c=0,

設(shè)平面PCD的法向量為m=（a也c）,貝!!_

m-PC=2a+2b-2c=Q,

令6=1,可得而=(0,1,1),

..-----.\n-m\1

所CC以K|cos<n,m>\=一一=—,

|n||m|2

則兩平面所成的銳二面角為

選條件①③，則=PB1FD.

TT

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且NPAD=5，即上4=">=2,PAYAD,

因為AD1AB,PA[}AB=A,且兩直線在平面P4B內(nèi)，可得A￡)_L平面

因為PBu平面則ADJLPB.

又因為P3_LFD,ADC\FD=D,且兩直線在平面ADFE內(nèi)，

則尸3_L平面4萬E,

因為AEu平面ADFE,則尸3_LAE,

因為上4=所以ABIB為等腰三角形，所以點E為尸8的中點.

又因為4￡=亞，所以AEAB為等腰直角三角形，

則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下用與①②相同的過程求解.

選條件②③，則平面PAD,平面A3CD,PB1FD.

因為側(cè)面尸AD為等腰直角三角形，且NPAD=],

即F4=AD=2,PA±AD,

因為平面R4D_L平面ABCD,平面F4Dc平面ABCD=AD,上4u平面MD,

所以上4_L平面A5CD,

又因為ABu平面A3CD,ADu平面A8CD,所以E4_LAB,PA±AD,

又由ABC。為正方形得AB_LAD.

因為P3_LFD,AD^FD^D,且兩直線在平面皿芯內(nèi)，則PBJ_平面ADFE,

因為AEu平面ADFE,則尸3_LA￡,

因為尸A=AB,所以AR鉆為等腰三角形，所以點E為PB的中點，則AE=0.

則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下的過程與①②相同.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在長方體4BCD-A4CQ中，AB=AD=^AAl=1,￡為。R的中點.

⑴證明：平面平面EACi；

（2）若點p在AEAC內(nèi)，且D尸〃BE,從下面三個結(jié)論中選一個求解.

①求直線所與平面EAG所成角的正弦值；

②求平面E4B與平面K4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-4G的余弦值.

注：若選擇多個結(jié)論分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴證明見解析

⑵答案見解析

【分析】（1）故以4為坐標(biāo)原點，A由，AA，AA所在直線分別為X軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別求出平面EA8,平面即G的法向量晨后，由雇成=0,即可證明；

（2）選①，分別求出直線所的方向向量與平面E4G的法向量，由線面角的向量公式求解即可；選②、③,

分別求出兩個平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【詳解】（1）因為-AAGA是長方體，所以AA,A4，AA兩兩垂直，

故以A為坐標(biāo)原點，A瓦，AA，44所在直線分別為X軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系孫z.

因為ABnADugAAnl,所以4（0,0,2）,30,0,2）,￡（0,1,1）,A（。，。，。），G。/，。）.

則通=(1,0,0),AE=(0,l,-l),AG=(1,1,0),乖=(0,1,1).

,一/、%,AB=0,x,=0,

設(shè)平面EAB的法向量為4=($%,zj,貝!通_0即jy」=0

令％=1,貝!1玉=。，Z[=l,得]=(0,1,1)；

一/、-AC=0,+y=0,

設(shè)平面EAG的法向量為%=(%,%，Z2)，貝"水'_0即1；+；0=o

令%=1,則%=T，z2=1>得E=(l,-U).

因為卜os&,初=］^告=0,所以疝，故平面EAB_L平面NG.

(2)取2用的中點H,由長方體的性質(zhì)易得即/〃E，，BH=EDt,連接用力

所以四邊形8HpE為平行四邊形，BE〃曲,

因為礪=。,-1,1)=或，所以平面3C,

所以HR，平面EAG，即2尸，平面E4G.

由AEAG是等邊三角形，易得三棱錐2-AGE為正三棱錐，

所以點F為等邊曲G的中心，故dm，麗韋,4算

DO)

選擇結(jié)論①:

由(1)得平面E4C的一個法向量為瓦

設(shè)直線BF與平面EAG所成角為。,

所以BF與平面3G所成角的正弦值為斗.

選擇結(jié)論②：

由⑴得平面EAB的一個法向量1=(0」］)，又西=1卜33］，=

fn-FA=0,a+2b-5c=0,

設(shè)平面FAB的法向量為根=(a,b,c),貝卜_即

m?FB=0,2a-2b+5c=0,

令a=0,得b=5,c=2,則根=（0,5,2）.

I/____\|々?根7.V58

設(shè)平面FAB與平面EAB所成角為，，貝!!cos6>=cos供，機)==^

1'1闖相58

選擇結(jié)論③:

因為點F在AEAC內(nèi)，DtF//BE,所以下為直線HR與平面AEAC的交點,

所以平面E4G的一個法向量為&=(1,T,1).

又麗=

—/、m-FA=0,ftz+2Z?-5c=0,一,、

設(shè)平面FAB的法向量為機=（a,b,c）,則｛—,即｛令a=0,得b=5,c=2,則機=（0,5,2）.

m-FB=0,Yla—Zb+JC=U,

設(shè)二面角AB-尸-AG為e,

觀察圖形可得二面角止IG為鈍二面角，所以二面角止iG的余弦值為一等

3.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，A4,，平面ABC,AB=AC=AAl=l,M

為線段4G上一點，平面3cM交棱A用于點。

⑴求證：FM//BC-,

jr

（2）若直線A片與平面3cM所成角為:，再從條件①和條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求點A到平

面BCM的距離.

條件①：AB1AC；

條件②：BC=s/2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）-.

3

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計算點到平面的距離即可.

【詳解】（1）證明：由題意可知，

因為三棱柱ABC-A2]C[>_L平面ABC

所以側(cè)面為矩形

BC//B.Q

QB[C[u面U平面

平面A4G

又,平面BCMPl平面A與C[=FM

且3Cu平面3cMp

:.BC//FM

（2）解：若選擇條件①，

；例_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

A^IAC,A^IAB,

X-.-AB1AC

AB,AC,A4,兩兩垂直；

若選擇條件②，

"_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

AAj1AC,AAiIAB,

y,-.-AB=AC=l,BC=42,

BC2=AB2+AC2,

...ZBAC=9(y

:.AB±AC

AB,AC,A4］兩兩垂直;

以下條件①和條件②的計算過程相同,

因為AB,AC,M兩兩垂直，所以如圖建立空間直角坐直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

可得A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,1,O),A(0,0,1),B](1,0,1),^(0,1,1).

x

貝!|阮=(-1,1,0),科=(1,0,1),\B=(l,0,-l).

設(shè)加=X宿(0WXW1),

貝!|兩=可+W=明*+九石

=(-l,O,l)+A(O,l,O)=(-l,A,D.

設(shè)5=(%,y,z)為平面BCM的法向量，

n-BC=0,f-x+y=O

則<______即〈

[n-BM=0,[-x+Ay+z=0

令1=1,貝！|y=l,z=l—X,可得為=(1,1,1一刃.

itI—>?|,司|2—Al&

1

則sin-=cosA環(huán)司二,=「一=—

4??畫憫TX〃12_2?4+32

所以點A到平面BCM的距離為;.

4.（2023?北京海淀??？既＃┰谒睦忮F尸-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，AC^BD^O,^.PO1

平面ABC。，PO=2,尸,G分別是的中點，E是以上一點，且AP=3AE.

p

(1)求證：30〃平面跖G；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面跖G所成角的正弦值.

條件①：BD=20

條件②：ZDAB=^-.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分.

【答案】⑴證明見解析；

3

⑵手

【分析】(1)通過證明即//Gb即可證明結(jié)論；

(2)以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點坐標(biāo)，可得向量PA坐標(biāo)與平面EFG法向

量坐標(biāo)，即可得答案.

【詳解】(1)因G,F分別為即,尸3中點，則G尸為△口?中位線，則G尸〃。瓦

又3DZ平面GEF,GPu平面GEF,則8。//平面EBG.

(2)如圖以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

若選①，因BD=2指，底面ABCD是邊長為2的菱形，則。4=1,OD=02=有，

若選②，因皿加與，底面ABCD是邊長為2的菱形，則04=1,OD=OB=C，

貝?。?(1,0,0),8儀,百,0),￡)儀,一百,0),「(0,0,2),G0,-,1,F0,^,1,

所以礪=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),方=(1,0,0).

又AP=3AE,則A￡=得OE=OA+-AP=L，.

(33)1323323

一,2,陋J「

n-Er=——xH-----y+—z=0

323

設(shè)平面EFG法向量為"=(x,y,z),則-2幣1n

323

得元=(1,0,2),又麗=(1。-2),設(shè)直線Bl與平面EFG所成角為4

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AE1AD,AB=AE=2DF=2.

(1)判斷AD是否平行于平面CEF,并證明；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，求:

(i)平面ABC。與平面CEF所成角的大小；

(ii)求點A到平面CEF的距離.

條件①：面E4B_L面ABC。

條件②：BDLCE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

【答案】(1)4。與平面CEF不平行，證明見解析

⑵⑴不(ii)V2

【分析】(1)利用線面平行的判定定理構(gòu)造平行四邊形得線線平行，即可得結(jié)論；

(2)選擇條件證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算求解平面與平面的角及點到平

面距離.

【詳解】(1)AD不平行于平面C￡F,理由如下：

取AE中點G,

因為AE〃/)尸,AE=2￡>尸，所以AG〃。.AG=OR

則四邊形AGFD為平行四邊形，所以AD//GR,又GFcEF=F,所以AD不平行于E尸，

假設(shè)AD//平面CEF,因為平面CEbc平面AZ)FE=EF,A￡>u平面AZJFE

所以AD〃族，與AD不平行于E尸矛盾，所以假設(shè)不成立，即AO不平行于平面CEF；

(2)選擇條件①：

取8中點連接AM

因為菱形A5CD,ZABC=60。，所以AACD為正三角形，又加為8中點，所以AMLCD,

由于AB//C。，所以AAf_LM,

又因為面面ABC。，面EABc面ABCD=AB,AMu面A3CD

所以AA/1面E4B,因為AEu面所以AAf_LAE

又因為AE_LAE>,40門71￡)=4,40,4。<=面43。9,所以A￡_1_面43。。，

而面ABC。，所以AEJ_AB,AEYAM

所以如圖，以A為原點，AB,，,的所在直線為％MZ軸建立空間直角坐標(biāo)系，

八z

X

則4(0,0,0),3(2,0,0),<7(1,也,0),0卜1,6,0),石(0,0,2),尸卜1,也,1)

(i)因為面ABC。，所以荏=(0,0,2)為平面ABCD的一個法向量

設(shè)平面CEF的法向量為分=(x,y,z),因為屈=卜1,一百,2),CF=(-2,0,1)

n-CE=-x-43y+2z=0y=A/3X

所以__=><,令％=1

h-CF=—2x+z=0z=2x

設(shè)平面ABC。與平面CEF所成角為。,

I一.I\n-AE\4J2jt

Mfffy,cos0=1cos<n,AE>1=--i——T=—產(chǎn)——=——，貝!]0=一

\H\-\AE\272X22，川4

即平面A8CO與平面CEF所成角大小為:；

4

(ii)因為*=(l,?o),由(i)知平面的一個法向量為3=(1,6,2)

,IAC-H.1ll+3+Olr-

所以點A到平面CEF的距離為=匕莘U=72.

\n\2V2

選擇條件②：連接8。，取8中點M,連接AM

因為菱形ABaXNABC=60。，所以AACD為正三角形，又A/為8中點，所以A似_LCD,由于A5〃CD,

所以

在菱形A5CD中，有ACJ^BD,

又因為3O_LCE,ACr\CE=E,AC,CEACE,所以3/)7,平面ACE,

因為AEu平面ACE,所以

又因為AE_LAD,B￡>cAD=￡>,8r>,ADu面ABC。，所以AE_L面ABCD,

而AB,AMu面ABC。，所以AE_LAB,AELAM

所以如圖，以A為原點，AB,AM,AE所在直線為MX2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),3(2,0,0),<7(1,也,0),0卜1,6,0),石(0,0,2),尸卜1,也,1)

(i)因為面ABC。，所以荏=(0,0,2)為平面ABCD的一個法向量

設(shè)平面CEF的法向量為分=(x,y,z),因為屈=卜1,一百,2),CF=(-2,0,1)

n-CE=-x-43y+2z=0y=A/3X

所以__=><,令％=1

h-CF=—2x+z=0z=2x

設(shè)平面ABC。與平面CEF所成角為。,

I一.I\n-AE\4J2jt

Mfffy,cos0=1cos<n,AE>1=--i——T=—產(chǎn)——=——，貝!]0=一

\H\-\AE\272X22，川4

即平面A8CO與平面CEF所成角大小為:；

4

(ii)因為衣=(1,近0),由(i)知平面的一個法向量為3=(1,6,2)

,IAC-H.1ll+3+Olr-

所以點A到平面CEF的距離為=匕莘U=72.

\n\2V2

條件③:

取8中點M,連接AM

因為菱形ABCD,ZABC=60。，所以AACD為正三角形，又M為8中點，所以AMLCD,由于AB〃CD,

所以A〃_LAB,

因為AE_LAO,由(1)可得EG_LG產(chǎn)，所以EF={EG?+GF。=五S=4

所以EF=CF=>B=dDF2+C[f，即LCD

因為A￡7/。尸，所以AE_LCD

又因為AE_LA￡),8門40=￡>,8,4￡><=面43?！?,所以AE_L面ABC。,

而AB,AWu面ABC。，所以AE_LAB,AE±AM

所以如圖，以A為原點，的所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,8（2,0,0）,。（1,后0）,￡>11,百,0）,以0,0,2"（目,有,1）

(i)因為面ABC。，所以亞=(0,0,2)為平面ABCD的一個法向量

設(shè)平面CEF的法向量為元=(x,y,z),因為礪=卜1,一班,2),次=(一2,0,1)

nCE=-x-百y+2z=0;二fl令.1,心（1,62）

所以__=><

n-CF=-2x+z=0

設(shè)平面ABGD與平面CEF所成角為09

所以cos6=\cos<n,AE>1=,_j,=t=<，貝!J。:

11\n\-\AE\2V2X224

71

即平面ABCD與平面CE尸所成角大小為了；

4

(ii)因為衣=(1,6,0),由(i)知平面的一個法向量為日=(1,"2)

AC-nli+3+olr-

所以點A到平面CEF的距離為=11=V2.

\h\272

6.(2023?北京?校考模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ABJ.BC,AD//BC,底面ABC。，M

為棱尸C上的點，PB=AB=BC=2,AD=l.

⑴若DM//平面上4B,求證：點M為尸C的中點;

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面C3D與平面BAM夾角的余弦值.

條件①：B1//平面

條件②：直線與5D夾角的余弦值為g

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴證明見解析

⑵g

6

【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行，即可得結(jié)論；

(2)以3為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，選擇條件①，利用PA//平面由)確定M的坐標(biāo)，進(jìn)而

利用向量法可求平面CBD與平面BOW夾角的余弦值；選擇條件②，利用直線與8。夾角的余弦值為!,

確定M的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量法可求平面CBD與平面BDM夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：過M作ME//3C交融于E,連接AE,如圖所示：

M

AD

-.?AD//BC,:.ME//AD,：,ME，AD確定平面ADME,

?.?DM〃平面叢B,MDu平面ADME,

平面ADMEfl平面PAB=AE,

:.MD//AE,

二四邊形ADME1為平行四邊形，則=

.1EM為APBC的中位線，，點M為PC的中點；

(2)選擇條件①：序//平面3OW

?.?尸臺,底面鉆。。，ABJ.BC,

???以8為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,O),。(2,1,0),

設(shè)M(x,y,z),且兩=2定，26[0.1],:.PM=(x,y,z-2),

PC=(0,2,-2),(x,V,z-2)=A(0,2,-2),

x=0,y=22,z—2=—22,

.1M(0,24,2-24),

BM=(0,2A,2—22),BD=(2,1,0))

設(shè)平面RDM的一個法向量為拓=(工,，，z),

n-BM=2/ly+(2-2/l)z=022

則—.，令x=1,則y=-2,z=------,

n?BD=2x+y=01-2

92

平面BDM的一個法向量為為=(1,-2,——),

1-Z

???麗=(2,0,-2),若P4//平面瓦加，則加麗=0,

221

?，-2-2x---=0,解得2=彳，.,.為=(1,—2,1),

1—/I3

?「成，平面C3D,?,.麗=(0,0,2)是平面。3。的一個法向量,

,~BPn0+0+2V6

則cos〈而，…麗二云石=不,

二平面CBD與平面BDM夾角的余弦值為逅.

6

選擇條件②：直線BM與BD夾角的余弦值為!

底面ABC。，AB1BC,

???以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

z.

A

則8(0,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,O),D(2,l,0),

設(shè)M(x,y,z),且兩=2定，2e[0.1],PM=(x,y,z-2),

PC=(0,2,-2),A(x,y,z-2)=A(0,2,-2),

.".x=0fy—24,z—2=—22,

■.M(0,2A,2-2A),

BM=(0,2A,2—22),BD=(2,1,0))

直線BM與BD夾角的余弦值為!

兩?幽|0+22+0|

IcosBM,BD|=??_,-----------------=|,整理得3幾2+2彳一1=0,解得彳=；或為=一1（舍）,

1

?怛叫?甌V8A2-82+4X^

.??麗=。,7

設(shè)平面BOM的一個法向量為為=a,y,z）,

—.24

n-BM=-y+-z=Q

則33,令x=l,則y=-2,z=l,

n-BD=2x+j=0

平面BDM的一個法向量為為=（1,-2J）,

???族，平面CAD,.??麗=（0,0,2）是平面C3D的一個法向量,

BPn0+0+2>/6

則cos<BP，為>=

6，

二?平面CBD與平面BDM夾角的余弦值為逅.

6

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四邊形A3CO是邊長為2的菱形，ZABC=60。，四邊形叢。。為矩

形，上4=1,從下列三個條件中任選一個作為己知條件，并解答問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一

個解答計分）.

①BRDP與平面ABC。所成角相等；②三棱錐尸-ABD體積為如；③COSNBPA=B

35

(1)平面PACQ，平面ABCD；

(2)求二面角B-PQ-D的大??；

(3)求點C到平面8尸。的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵至

3

(3)正

2

【分析】(1)若選①，則作己4'，面458,證明A和A重合從而得到外，面468,從而得到面面垂直；

若選②，計算得到尸到面4h的距離/z=l=B4,得到上4,面ABCD,從而得到面面垂直；若選③，通過余

弦定理計算得到再通過面ABCD,從而得到面面垂直；

(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，結(jié)合二面角計算公式計算即可；

(3)通過點面距離的計算公式直接計算即可.

【詳解】(1)選①，連接8。，作PAU面ABCD,垂足為A.

BP,DP與平面A3CD所成角相等，

:.AB=AD,

..A在班)的中垂線AC上，

在平面PACQ內(nèi)，PA'±AC,PA±AC,

.1A和A重合，

，E1_L面A5CD,

又P4u面PA。。，

二面PACQL面ABC。

若選②，設(shè)P到面4犯的距離為K

'VP-ABD=gAABD，h=(x超.h=個，得拉=1=PA,

二PA即為尸到面ABD的距離，即PA_L面ABCD,

又以u面PACQ,

二面PACQ，面ABCD.

若選③，由余弦定理得，cos/BPA=PB+PA--AB-=旦,

2PBPA5

BP=y/5,:.BP2=AP2+AB2

:.PA±AB,又PA_LAC,ACcAB=A,AC,ABu面ABCD

:.PA±^ABCD,

又PAu面PACQ

..面PAC。，面ABC。

(2)因為PA_L面ABCD,O3,OCu面ABC。，

所以上4_LO8,PA_LOC,

取PQ中點G,則OG//R4,

所以O(shè)G，OB,OG，OC,又因為OBLOC,

所以建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，

B(V3,0,0),P(0,-l,l),D(-V3,0,0),C(0,l,l),

Bg=(-A/3,1,1),Dg=(V3,1,1),DP=(A/3,-1,1),

設(shè)平面3尸。的一個法向量為正=(x,y,z),

-y/3x-y+z=0

一指x+y+z=0

令x=6,則y=0,z=3,.,.加=(班,0,3),

設(shè)平面。尸。的一個法向量為3=(%,%,zj,

n-DP—0yfix,—y,+z,=0

則_，即廠?,

n?DQ=0[+/+4=0

令％=6,則必=0,4=_3,/.〃=(?0,—3),

cos(m,n

|m|-|n|2V5x2百2

由圖可知二面角B-PQ-D是鈍角，

2兀

所以二面角5-尸。-。的大小為手.

（3）???C（0,1,0）00,1,1）,

①=（。,。,1）,?平面BPQ的一個法向量為味=（也,0,3）,

C2-m

???點C到平面BPQ的距離d=

2百一2

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖在三棱柱ABC-A4G中，。為AC的中點，AB=BC=2,

ZAAiBl=ZBtBC.

（1）證明：BBX±AC.

⑵若BBJBC,且滿足：,（待遇條件）.

從下面給出的①②③中選擇可個填入待段條曾，求二面角B-B.D-C,的正弦值.

①三棱柱ABC-A與G的體積為3招;

②直線AB,與平面BCQBi所成的角的正弦值為叵；

13

③二面角的大小為60。；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）通過證明AC，平面8。用來證得AC，8耳.

（2）先選擇條件，然后根據(jù)所選條件，利用幾何法或向量法求得二面角8-耳。-G的正弦值.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-4旦G中，由題意可得用=8出，ZAA.B^ZB^C,A,B,=BC,

A

：.△A4）4也△4BCnAB,=CBt,XVAD=DC,：.BQAC,

同時在”WC中，?:AB=BC,AD=DC,：.BDLAC,

?：BpcBD=D,B】D,BDu平面BDB1,

二AC,平面均叫，

又?/BB}u平面BEB],AC1BB}.

（2）?/BB{±AC,BBI±BCS.ACC\BC=C,二，平面ABC,

方案一：選擇①③

?.*BB{1平面ABC,：.BBt±AB,BBi1BC,

/ABC為二面角A-BBt-C的平面角，即/ABC=60。nAC=2nAO=6，

o

???5AABC=1x2x2xsin60=^,又二?三棱柱4BC-A4c的體積為3^，：.BB,=3.

法一：取4G的中點為E,連接Eq,ED,過E作于點b，連接C7,

?/AC，平面BDB“；.EC,1平面BDEBi,

又?：EFLBR,由三垂線定理可得GF，瓦。，

二NEFQ為二面角E-B,D-￡的平面角，

其中￡E=1,EF=：,C、F=號,貝！Jsin/Epq

由于二面角B-B.D-C,的平面角與二面角E-B.D-C,的平面角互補，

故二面角5-耳。-G的正弦值為馬叵.

13

法二：過B作過C1作G尸，瑪。，過尸作/G〃3E交24于點G,連接C￡,

.?.NC/G為二面角8-瓦。一G的平面角，其中￡F=半，F(xiàn)G=|BE=|x|=|,CXG=45,

...cosNQFG=-土叵，故二面角B-BXD-CX的正弦值為獨1.

1313

法三：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

_(3出、

設(shè)平面B。片的一個法向量為%=(x,y,z),且函=(3,0,0),麗=|。,-5，1

3x=0

in?BBX=0

則n<373,令y=l,則％=。,z=指,故加=倒,1,6),

m?BD=0「”丁二

設(shè)平面小的一個法向量為3=(3z)，且帚=(020),印=-3；

2y=0

nCxBx=0_

則016c，

元.印二0—3x+—yd-----z=0

22

令％=-1,則y=0,z=-2百，故〃=(-1,0,-20)，

/-----\m-n3\/13以后

cos伊，n/=扁扁"一下一，故二面角'一片0—G的正弦值為義”.

方案二：選擇①②；

解析：過點A作AO13C于點O'.?平面ABC1平面BCC4，AO1BC,

：.AO1平面BCC國,故直線ABX與平面BCCtBt所成角為ZABQ,且sinZAB.O=叵,

匕BC-ABC=孫=3-

Y=A/3

設(shè)AO=x,BBl=y,貝小,即AO=VLBB、=3.

余下解法參考方案一.

方案三：選擇②③；

,/BB,1平面ABC,:.BBt±AB,BB,1BC,

：./A5c為二面角A-BBX-C的平面角，即NABC=60。=>AC=2nAO=6,

過點A作A01BC于點。，

?.?平