中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混集訓(xùn)：一元二次方程（五大易錯(cuò)類(lèi)型）

專(zhuān)題06易錯(cuò)易混集訓(xùn)：一元二次方程之五大易錯(cuò)類(lèi)型

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祎【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................

【易錯(cuò)類(lèi)型一利用方程的定義求待定系數(shù)時(shí)忽略“aWO”】.....................................1

【易錯(cuò)類(lèi)型二利用方程的解求待定系數(shù)時(shí)忽略ZW0”1.............................................................................3

【易錯(cuò)類(lèi)型三利用判別式求字母的值或取值范圍時(shí)忽略..............................8

【易錯(cuò)類(lèi)型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時(shí)忽略“△=()”].......................................12

【易錯(cuò)類(lèi)型五與幾何圖形結(jié)合時(shí)取舍不當(dāng)或考慮不全】.......................................15

【典型例題】

【易錯(cuò)類(lèi)型一利用方程的定義求待定系數(shù)時(shí)忽略

例題：(2023春?山東泰安?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))關(guān)于X的方程加*-3=0是一元二次方程，則

加的值是()

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】B

【分析】理解一元二次方程的定義，需要抓住兩個(gè)條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為0;②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；

結(jié)合一元二次方程的定義，可以得到關(guān)于別的方程和不等式，求解即可得到加的值.

【詳解】解：?.?原方程是關(guān)于x的一元二次方程，

J加-1w0

+1=2，

解得加=一1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?海南省直轄縣級(jí)單位?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))方程(加-2)/1+3加x-4=0是關(guān)于x的一元二次方

程，貝1]()

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.冽w±2

【答案】c

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次

方程，可得方程，解方程即可求解.

【詳解】解：?.?方程（加-2）/1+3加》-4=0是關(guān)于云的一元二次方程，

Jm-2w0

一||m|=2

..in——2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的定義是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?四川達(dá)州?九年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程（加+2）/-+6彳-9=0是一元二次方程.則加的值

為（）

A.m手—2B.m=+2C.m=—2D.m=2

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的概念得出關(guān)于m的方程，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：二?關(guān)于x的方程（冽+2）--+6無(wú)-9=0是一元二次方程

???加2-2=2,且加+2。0,

m=2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級(jí)校考期末）若標(biāo)萬(wàn)x""i+2x-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則加的值

是.

【答案】2

【分析】利用二次方程的定義列方程及不等式解題即可.

【詳解】解：由題意得：同=2,m-l>0,

解得：m=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次方程的定義及二次根式的非負(fù)性，能夠根據(jù)定義及性質(zhì)列式是解題關(guān)鍵.

4.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級(jí)烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谀┮阎匠蹋ㄌK-2加卜同-x-9=0,當(dāng)加=

時(shí)，是關(guān)于x的一元二次方程.

【答案】-2

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可進(jìn)行求解.

【詳解】解：?.?"-2以卜同一無(wú)一9=0是一元二次方程，

|m|=2,m2-2mw0,

m=-2.

故答案為-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋糊南湘西?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：（加-1）”叫+6x-l=0是關(guān)于x的一元二次方程，貝！I

m=.

【答案】3

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即得出何+1|=2且加_1片0,解出加即可.

[m-1^0

【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義可得：jlm+1l=2,

解得：m=—3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義.掌握一元二次方程必須滿足的兩個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

二次項(xiàng)系數(shù)不為0是解題關(guān)鍵.

【易錯(cuò)類(lèi)型二利用方程的解求待定系數(shù)時(shí)忽略“W0”】

例題：（2023?全國(guó)?九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程（加-1）/+2》+|加|T=0,常數(shù)項(xiàng)為0,則冽的

值等于（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求得加的值.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程（刃-1）/+2尤+同-1=0,常數(shù)項(xiàng)為0,

M-1=o,

???加=1或-1,

:關(guān)于X的方程（〃L1）尤2+2X+網(wǎng)-1=0是一元二次方程，

加一1w0,

???加W1,

m=-\?

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于x的一元二次方程-x+/_i=o的一個(gè)根為0,

則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.1B.-1C.0D.+1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到/一1=0,再解關(guān)于。的方程，然后根據(jù)一元二次方程定義確定a

的值.

【詳解】解：把x=0代入一元二次方程（"l）x2-x+/_l=o

得/_i=o,

解得%=l,a2=-1,

而a—1N0,

，。的值為T(mén),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意1W0.

2.（2023春?浙江?八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（。-1）/+工-/+1=（）有一個(gè)根為0,則。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，將x=0代入方程可得_02+1=0,根據(jù)二次

項(xiàng)系數(shù)不為0,可得awl,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程（。-1）/+苫-/+1=0有一個(gè)根為0,

—a2+1=0>a—1/0,

??a=-1,

故選

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意二次項(xiàng)系數(shù)不能

等于0.

3.（2023春?北京東城?八年級(jí)北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程

（機(jī)+2）/+4工+（/2-4）=0有一個(gè)根為0,則實(shí)數(shù)冽的值為（）

A.2B.-2C.-2或2D-1或0

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，即可求解.

【詳解】解：:一元二次方程（冽+2）/+4x+（療-4）=0的一個(gè)根為0,

將x=0代入（冽+2）/+4、+（冽2—4）=0,可得m2—4=0且加+2w0,

解得：m=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的

解是解題的關(guān)鍵.

1.（2023秋?遼寧丹東?九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程（加-2）/+3x+療-4=0有一個(gè)根為0,

貝!Jm=.

【答案】-2

【分析】把x=0代入方程（〃-2）/+3》+切2-4=0,解方程即可求得加的值，且機(jī)-2片0,從而即可得到

答案.

【詳解】解：把x=0代入方程（加一2）/+3%+m2—4=0得，

加2-4=0,

解得：町=2,m2=-l,

7-2/0,

"7N2,

..171——2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解題時(shí)，注意關(guān)于x的一元二次方程

（m-2）x2+3x+m2—4=0二次項(xiàng)系數(shù)不為零，即加—2W0.

4.（2023?全國(guó),九年級(jí)假期作業(yè)）若x=0是一元二次方程/+加=1》+62-4=0的一個(gè)根，則6的值

是.

【答案】2

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入尤2+后衛(wèi)+62-4=0得/一4=0,然后解關(guān)于6的

方程即可.

【詳解】解：把x=0代入》2+7^1尤+62-4=0得〃一4=0,

解得6=±2,

：.b>l,

b=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解，還考查了二次根式有意義的條件.

22

5.（2023春?北京西城?九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程（a+l）x-ax-a=0

有一個(gè)根是x=1,則a=.

【答案】1

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得aW-1，根據(jù)一元二次方程的解的定義將x=l代入原方程，得到關(guān)

于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程（。+1）%2—/x—q=0有一個(gè)根是X=1,

??Q+1—Q2—a=0QW—1,

解得：4=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于1的一元二次方程（左-2）1+6、-左2—左二。有一個(gè)根為1,則

左的值為.

【答案】-2

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將1代入關(guān)于x的一元二次方程（?2）Y+6x-左2—左=。得到關(guān)于左

的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定左值即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：

才巴X=1代入方程（左一2）工2+6x—左2—左=0,得：

左一2+6—左2—左二。，

解得：k=±2,

?..左一2w0,

:.k豐2

k——2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程（加+l）/+5x+加2+加=o有一個(gè)根

為0,則切=.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意可知將x=0代入方程所得式子仍然成立，可得加的值為0或1，利用一元二次方程成立

的條件可知加/I,從而可得答案機(jī)=0.

【詳解】解：把x=0代入方程可得加2+加=0

.,.加=0或1

???方程是一元二次方程

機(jī)+1/0,即加H-1

:.m=0

故答案為：m=0

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的解的定義，需要注意一元二次方程成立的條件，將解代入方程并保證二

次項(xiàng)系數(shù)不等于0是解題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)類(lèi)型三利用判別式求字母的值或取值范圍時(shí)忽略““WO”】

例題：（2023春?浙江金華?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程區(qū)2一2入+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

則k的值為（）

40或43.4或8C.8D.4

【答案】D

【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式A=〃-4ac=0,建立方程，求出值即可.

【詳解】解：二?關(guān)于x的一元二次方程for,-2^+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=Z>2-4?C=（-2*）2-4*X4=0,

解得左=4,心=0（舍去）.

...人的值為4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式.一元二次方程辦2+云+c=0（a/0）的根與A=〃-有如

下關(guān)系：（1）A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）A=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）A<0=方

程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江大慶?九年級(jí)校考期末）已知方程（斤-3）f+2x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是

（）

A.左<4B.k<4C.左<4且左w3D.左W4且左w3

【答案】D

【分析】根據(jù)根的判別式和己知得出A20且左-3/0,求出解集即可.

【詳解】方程（"3）/+2x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ANO,且"3W0,

即22,4（后-3）20,k豐3

解得：上44且左W3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，能根據(jù)根的判別式得出關(guān)于k的不等式是解此題

的關(guān)鍵.

2.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程%工2+2式+1=0有實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m>-1B.m￡1C.m>-IJLm0D.以￡1且TMNO

【答案】D

【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知A>0,

且小片0,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，4-4m>0,且加/0,

解得，m￡1,且機(jī)W0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程"2+法+0=0（"0）的根的判別式公=62_4切與根的關(guān)系，熟練掌握根

的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，一

元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

3.（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程（1-左），-5尤+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則先

的值可以是（）

,1「1

A.—B.1C.—1D.—

43

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式A>0,可得出關(guān)于左的一元一次不等式，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不等于

0,可得出左的取值范圍，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；關(guān)于x的一元二次方程（1-左）x2-5x+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=（-5）2-4x（1-A:）x5=5+20A;>0,

解得：人〉—J，

4

〈I—左w0,

k>—且kw1,

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是牢記"當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

4.（2023春?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程（。+1）X2-4X+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則。的取值范圍是（）

A.a<3J!La*-1B.a<3C.a<3且aw-1D.a<3

【答案】C

【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系及一元二次方程定義列式求解即可得到答案；

【詳解】解：二?一元二次方程（a+l）/-4x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

w0

K--4x（6Z+l）xl>0'

解得：4<3且4。一1,

故選C；

【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)

△—廿一4ac>0?

5.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程依2_（2左+4卜+"6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根.

⑴求上的取值范圍；

（2）當(dāng)后=1時(shí),用配方法解方程.

2

【答案】（1）左>一弓且左wo

（2）X1=3+JiW,x2-3-V14

【分析】（1）根據(jù)題意，可得（2人+4『-4左（后-6）>0,注意一元二次方程的系數(shù)問(wèn)題，即可解答，

（2）將4=1代入履2一（2上+4）龍+左一6=0,利用配方法解方程即可.

【詳解】（1）解：依題意得：，、2,、，

△=（2左+4）—4左（左一6）=40左+16>0

2

角牟得k>一1且左。0;

（2）解：當(dāng)左=1時(shí)，原方程變?yōu)椋酣D―6工一5=0,

貝府-_6X+9=5+9,

.?.（X-3）2=14,

x-3=，

，方程的根為*=3+VF?,x2=3-V14.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程

是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程蛆2.4》+3=0有實(shí)數(shù)根.

⑴求〃？的取值范圍；

⑵若加為正整數(shù)，求出此時(shí)方程的根.

4

【答案】⑴〃且機(jī)片0

（2）X]=1,x[=3

【分析】（1）由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式A20,可得出關(guān)于加的一元一次不等式組，解之即可得出加

的取值范圍；

（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合僅為正整數(shù)，可得出機(jī)的值，再其代入原方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：：關(guān)于x的一元二次方程加/-4》+3=0有實(shí)數(shù)根，

加H0

A=（-4）2-4xmx3>0>

4

解得：冽且加w0,

4

：.m的取值范圍為冽且加w0；

4

（2）?.?冽W]且加。0,且冽為正整數(shù)，

m=1,

?,?原方程為4X+3=0,

即（％—3）（x—1）=0,

解得：玉=1,工2=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義以及因式分解法解一元二次方程，解

題的關(guān)鍵是：（1）利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式A20,找出關(guān)于冽的一元一次不等式組；（2）代入冽

的值，求出方程的解.

7.（2023?全國(guó)?九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于工的一元二次方程（加-4）/-（2加-1）%+冽=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

⑴求機(jī)的取值范圍；

⑵當(dāng)機(jī)取滿足要求的最小正整數(shù)時(shí)，求方程的解.

【答案】(1)加>-｝且加片4

e-1-V13-1+V13

⑵為=-^,x2=-^

【分析】(1)根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=〃-4℃=[-(2"[-1)丁-4%何-4)>0,

且加-4/0,求出冽的取值范圍即可；

(2)得到加的最小整數(shù)，利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)丁一元二次方程(加-4)X2-(2"L1)X+"Z=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

\=b2—4ac=[-(2m-1)]2-4m同-4)=>0,且〃z—4W0,

4m2-4m+l-4m2+16m>0>且/n—4/0,

解得：m>--L且加片4；

12

(2)用滿足條件的最小正整數(shù)是m=l,

止匕時(shí)方程為一3/—x+l=0，

1±J(-l)2-4x(-3)x11+713

x-2x(-3)--6

解得：玉=士叵，x2=匚手.

66

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程

加+6X+C=0("0)的根與判別式A="_4ac的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)類(lèi)型四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時(shí)忽略“△中()”】

例題：(2023春?安徽馬鞍山?八年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谀?若加、”是關(guān)于x的方程

/+(2左+3)x+/=o的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且工+1=-1,則左的值為.

mn

【答案】3

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到機(jī)+〃=一2左一3,mn=k2,再根據(jù)工+1=-1得至一2左-3=0,解方程

mn

求出后的值，最后用根的判別式驗(yàn)證是否符合題意即可.

【詳解】解：??,加、"是關(guān)于X的方程，+(2左+3卜+左2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

??m+n=-2k-3,mn=k2,

mn

.m+n1,

..----=-1,n即n〃？+〃=-mn,

mn

：._（-2k-3）=k：

/.左2-2左一3=0,

解得太=3或左=—1,

又???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=（2左+3『一4左2>0,

k>--,

4

:?k=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方

程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程/+2s+/-機(jī)+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，且X1+%+匹=2,則實(shí)數(shù)加=.

【答案】3

【分析】利用一元二次方程尤2+2加x+/-加+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求出加的取值范圍，由根與系數(shù)

關(guān)系得到西+x?=-2刃,再了2=病-"z+2,代入%+xZ+占?％=2,解得加的值，根據(jù)求得的根的取值范圍，

確定m的值即可.

【詳解】解：.??關(guān)于》的一元二次方程/+2妙+蘇-機(jī)+2=0有西個(gè)不根等的實(shí)數(shù)根，

A=（2加）'一4（加2-加+2）=4加一8>0,

解得m>2,

xl+x2=-2m,xlx2=nf-m+2,龍［+9+無(wú)］=2,

—2m+m2—m+2=2

解得見(jiàn)=3,牡=0（不合題意，舍去），

???加=3

故答案為：3

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系

數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?黑龍江大慶?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程/+2》+%=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求機(jī)的取值范圍.

⑵若兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是A,x2,且（再2-I）?+2（再+三）=0,求加的值.

【答案】⑴加〈1

⑵m=—\

【分析】（1）根據(jù)題意可得A>0,繼而求得實(shí)數(shù)用的取值范圍；

（2）由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為小巧，且》；+君+（痞）2=7,可得方程/+2加-3=0,解關(guān)于加的方程求得

答案.

【詳解】⑴解：?.?關(guān)于x的一元二次方程/+2》+%=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

A=b2-4ac=22-4xlxm>0,

即以<1；

（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x,+x2=-2,Xl-x2=m,

'''—1）~+2（X]+x?）=0,

.-.（m-1）2-4=0

m-\=+2,

解得加=3或"2=-1,

而用<1,

二優(yōu)的值為T(mén).

【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系.注意A>00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若二次項(xiàng)

系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：A，王2是方程f+px+quO的兩根時(shí)，Xj+x2^-p,x/=q.

3.（2023春■安徽六安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于工的一元二次方程2工2+41+〃7=0.

⑴若x=l是方程的一個(gè)根，求加的值和方程的另一根；

⑵若占、%是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足x；+X；+5%％=0,求冽的值.

【答案】⑴加的值為-6,另一個(gè)根為-3

⑵機(jī)的值為-2

【分析】(1)直接把x=l代入方程2/+4》+加=0中，求出加的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根

即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到西+超=-2,匹?/=￡,再利用判別式求出用42,結(jié)合已知條件推出

22

(X1+X2)+3X1X2-(X1XJ=0,即L2)2+31-(m：0,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：將x=l代入方程得，2xf+4x1+加=0,

解得m=-6

設(shè)另一個(gè)根為々，貝□+%=-：4，

解得％2=-3

工加的值為-6,另一個(gè)根為-3；

4YYI

(2)解：由題意得：占+工2=—5=-2百?%=5，

同時(shí)滿足△20即42—4x2加20,

m<2,

x；+x；+5再入2—=0,

（占+工2）2+3再入2-（%工2）2=0

m

，（-2）2+3號(hào)-=0

解得加=-2或加=8,

'/m<2

m=—2,

.,.加的值為-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，解一元二

次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)類(lèi)型五與幾何圖形結(jié)合時(shí)取舍不當(dāng)或考慮不全】

例題：（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）已知等腰三角形/BC的一邊長(zhǎng)。=6,另外兩邊的長(zhǎng)瓦c恰好是關(guān)于x的

一元二次方程無(wú)2-（3左+3）x+9左=0的兩個(gè)根，則“BC的周長(zhǎng)為

【答案】15

【分析】分情況討論：若。作為腰，則方程的一個(gè)根為6,將6代入求出左的值，然后求出方程的解，得出

三角形的周長(zhǎng)；將。作為底，則說(shuō)明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)△=（）求出發(fā)的值，然后將左的值代

入方程求出解，得出周長(zhǎng).

【詳解】若。=6為腰，則氏c中還有一腰，即6是方程/-（3左+3）x+9左=0的一個(gè)根.

/.6?-（3匯+3）x6+94=0

解得：k=2

2

將左=2代入x2-（3左+3）x+9左=0得：X-9X+18=0

解得：.再=3,無(wú)2=6,

此時(shí)能構(gòu)成三角形，A4BC的周長(zhǎng)為：6+3+6=15

若。=6為底，則6=c,即方程/-（3上+3）尤+9左=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.

A=[—（3左+3）丁一4x9左=0

解得：/=&=1

將左=1代入x?—（3左+3）x+9左=0得：%2-6x+9=0

解得：.占=%=3,

V3+3=6

???此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不能計(jì)算周長(zhǎng)

綜上可得：”3C的周長(zhǎng)為15.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識(shí)，按

若。是否為底邊分類(lèi)討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵.特別注意驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江大慶?八年級(jí)校聯(lián)考期中）方程/-9x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)，則

這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.12B.15C.12或15D.18或9

【答案】B

【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的兩個(gè)根，然后分別討論兩個(gè)根為底邊時(shí)能否構(gòu)成三角

形，最后求解即可.

【詳解】解：-9x+18=0,

6）=0,

解得：網(wǎng)=6,x2-3,

:當(dāng)?shù)诪?,腰為3時(shí)，由于3+3=6,不符合三角形三邊關(guān)系，

...等腰三角形的腰為6,底為3,

，周長(zhǎng)為6+6+3=15,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程和構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)

行求解.

2.（2023春?重慶?九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等腰的底邊為4,腰是方程一一5》+6=0的一個(gè)根.則

這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)可能是（）

A.8B.10C.8或10