中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：相似（原卷版）

清單07相似（11個考點梳理+題型解讀+核心素

養(yǎng)提升+中考聚焦）

【知識導(dǎo)圖】

兩個邊數(shù)相間的多邊形.三個角分別相等,三條邊成比例的兩個

如果它們的角分別相等，定義三角形叫做相似三角形______

邊成比例.那么這兩個基本網(wǎng)條直線裱二組平行線所裁:

相

多邊形叫做相似多邊形定義手坪事實所得的對應(yīng)線段成比例

似

多成例平行于三角形一邊的直級假其

、1

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例邊他兩邊（或兩邊的延長線）.

形推論.所得的對應(yīng)線段展鵬

周長比等于相似比.面積比空J(rèn)

等于相似比的平方對應(yīng)角相等,對磔I雙比例

>相對應(yīng)線段（高、中線、角平分線等）的比

性質(zhì)」I等于相似記____________________

似

三

建盛朝、春器鑫器=I7周長的比等于相似比.面積的比等于相

一比的平方

交于一點

南行各形二邊的直線和其他兩邊相

確定位似中心，找關(guān)鍵交.所構(gòu)成的三多曼與原三角形相似

位

點,作關(guān)健點的對應(yīng)點作圖兩角分別相等的兩個三

似判定形相似n―"fS應(yīng)S關(guān)S系T；

坐標(biāo)系中的q-----------------.......

位似變化兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

9-

M成比例的M個三角外相似

（b以原點為位假中心一

'Jt為新圖形與原圖形而相似比.利用視靚測量物高

應(yīng)用利用部長囂■物高

（ka,砌或（-S-kb）

’利用其他方法構(gòu)成相似三角形測最足寓

【知識清單】

知識點一、圖形的相似的概念

形狀相同的圖形叫做相似圖形。

1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；

2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；

3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)。

【例1】（2022?遼寧鐵嶺?九年級期末）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個正方形B.兩個矩形C.兩個菱形D.兩個平行四邊形

知識點二、成比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。

nC

1）若四條線段a、b、c、d成比例，則記作巴=上或a:6=c:d。注意四條線段的位置不能隨意顛倒。

bd

2）四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)一致（有時為了計算方便，a、6的單位一致，c、d的單位一致也

可以）

3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?；②分別計算第一和第

二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。

4）比例的重要性質(zhì)：

基本性質(zhì)：若@=二，則ad=bc；反之，也成立。和比性質(zhì)：若3，,則*=￡±《；

bdbdbd

更比性質(zhì)：若q=則@=2；反比性質(zhì)：若@=則2=4；

bdcdbdac

等比性質(zhì)：右一=—=…=一他+dn------F〃wO）,貝U-------------------=一。

bdnb+d\-nb

5）拓展：①比例式中，2二9或（a：b=c：d）中，a、d叫外項，b、c叫內(nèi)項，a>c叫前項，b、d

bd

叫后項，如果b=c,那么6叫做a、d的比例中項。

②把線段分成兩條線段4c和64使4G叫做把線段46黃金分割，C叫做線段的黃金分割

點。

【例2】（2022?黑龍江?肇源縣第二中學(xué)九年級期末）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（）

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm,5cm,8cm

C.5cm,15cm,3cm,9cmD.8cm,4cm,lcm,3cm

知識點三、平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例。

AT1

【例3】（2022?河北保定師范附屬學(xué)校九年級期末）如圖，AB//CD//EF,若/=彳，50=5,則。尸=

CE2

A.5B.10C.15D.2.5

【變式】（2022?黑龍江?肇源縣第二中學(xué)九年級期末）如圖，是“3C的中線，點E在上,

AD=4DE,連接3E并延長交NC于點尸，則詼：尸C的值是（）

A

知識點四、相似多邊形的性質(zhì)與判定

（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。

（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。

（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等。

【例4】（2022?四川宜賓?九年級期末）如圖，四邊形48cos四邊形4=80。，ZC=90°,

/尸=70。，則的度數(shù)為（）

【變式】（2022?福建三明?九年級期末）兩個相似多邊形的周長比是2：3,其中較小多邊形的面積為

12cm2,則較大多邊形的面積為cm2

【變式2】（2022?陜西?西安輔輪中學(xué)九年級期末）寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形.古希臘很

多矩形建筑中寬與長的比都等于黃金比，如圖，矩形/BCD為黃金矩形，AB<AD,以為邊在矩形

ABCD內(nèi)部作正方形ABEF,若40=1,則DF=.

--------fQ

【變式3】（2022?江西吉安?九年級期末）如圖，矩形。5CD的一個頂點與原點重合，兩邊分別在坐標(biāo)軸

上，反比例函數(shù)了=勺的圖象與該矩形相交于E,尸兩點，以這兩點為頂點作矩形CE/R我們約定這個矩

形CE/斤為反比例函數(shù)＞=勺的"相伴矩形已知點C的坐標(biāo)為（8,6）,BE=2.

⑴求點F的坐標(biāo);

（2）求證："相伴矩形"CE4尸與原矩形OBCD相似.

知識點五、相似三角形的相關(guān)概念

1）、相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。

三角形相似具有傳遞性。

2）、相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。

3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。

若兩個相似三角形的相似比是1,則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一

種特例。

【例5】下列說法一定正確的是（）

（A）有兩邊對應(yīng)成比例且一角相等的兩個三角形相似

（B）對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似

（C）有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似

（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似

知識點六、相似三角形的判定

判定1:如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。

判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）。

【例6】（2022?河南?測試?編輯教研五九年級期末）如圖，若PA=PB,ZAPB=2ZACB,/C與尸8交于點

D,且網(wǎng)=4,PD=3,則/DOC等于（）

P

【變式】如圖，四邊形48CD中，CE//AD,ZADC=ZACB=90°,E為N5的中點.

(1)求證：A4DCsA4cB.

EF

（2）若/。=4,AC=2有,連結(jié)交NC于點尸，求寸的值.

DF

知識點七、相似三角形的性質(zhì)

1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；

2、拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似

多邊形的面積比等于相似比的平方。）

【例7】（2022?廣西百色,九年級期末）如下圖所示，在A48C中，點。在線段/C上，且

則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB2=AC-ADB.AB2=AC-BD

C.ABAD=BC-BDD.ABAD=AD-CD

【變式1】（2022?黑龍江,肇源縣第二中學(xué)九年級期末）如圖，在矩形/8CD中，點E、尸分別在邊

0c上，AABEsQEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的長.

【變式2】如圖，在6x6的方格紙中，每個小正方形邊長都是1,“BC是格點三角形（頂點在方格頂點

處）.

⑴在圖i中畫格點△44G，使△44G與448c相似，相似比為2:1.

（2）在圖2中畫格點△a^G，使△N/zG與AABC相似，面積比為2:1.（注：圖1、圖2在答題紙上.）

知識點八、利用相似三角形測高

1）、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。

2）、利用三角形的性質(zhì)來解決實際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必須

是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則。

【例8】如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m,直立在F處的觀測者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同一

條直線上（點F,B,D也在同一條直線上）.己知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求樹高CD.

知識點九、位似的概念及性質(zhì)

1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似

圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。

相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似

圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；

②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。

聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。

4）、位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離比等于相似比。

【例9】（2022?浙江?諸暨市浣紗初級中學(xué)九年級期末）如圖，AABC與尸位似，點。為位似中心.已

知則。3c與△￡＞斯的面積比為（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

知識點十、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）

利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1,則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于

1,則通過位似變換把原圖形縮小。

畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點并延

長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。

【例10］如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為4（1,2）,8（3,1）,C（2,3）,以原點。為位似中心，將“3C放

⑴在圖中第一象限內(nèi)畫出符合要求的A48'C'（不要求寫畫法）

⑵計算AHB'C'的面積.

【變式1］（2022?山西朔州?九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與A48'C'是位似圖形，則位

似中心是（）.

C.(6,1)D.(7,1)

【變式2】（2022?山西晉中?九年級期末）如圖所示，小華在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時，利用幾何畫板軟件,

在平面直角坐標(biāo)系中畫出了ZU3C的位似圖形ZU//G.

⑴在圖中標(biāo)出ZU3C與W///G的位似中心M點的位置，并寫出/點的坐標(biāo)：

（2）若以點。為位似中心，請你幫小華在圖中給定的網(wǎng)格內(nèi)畫出ZU/BG的位似圖形ZU42c2，且ZU//G

與ZU232c2的位似比為2：1（只畫一種類型）.

知識點十一、圖形的變換與坐標(biāo)

1）、平移：（1）圖形沿X軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移A個單位時，橫坐

標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加〃個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點的橫坐標(biāo)不變，縱坐

標(biāo)上加、下減。

2）、軸對稱：（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形

沿y軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。

3）、以原點為位似中心的位似變換

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等

于A（對應(yīng)點在位似中心同側(cè)）或者一A（對應(yīng)點在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點的坐標(biāo)為（根,〃）,

則其位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為（6%如）或（-后鞏-左〃）=

【例已知點40,3）,5（-4,8）,以原點。為位似中心，把線段縮短為原來的點。與點2對

4

應(yīng).則點。的坐標(biāo)為（）

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(一1,2)或(1,一2)D.(2,-1)或(一2,1)

【變式】已知：△4BC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為/(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正

方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).

(1)畫出△48C向下平移4個單位長度得到的△4BG，點G的坐標(biāo)是；

⑵以點8為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出使△/282C2與△/8C位似，且位似比為2：1；

⑶四邊形442c2c的面積是平方單位.

【核心素養(yǎng)提升】

1.數(shù)學(xué)建模-構(gòu)建相似三角形模型解決實際問題

1.(2022?江西吉安?九年級期末)在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿/8=2m,它

的影子2C=1.5m,木竿尸。的影子有一部分落在了墻上，它的影子0N=1.8m,MN=0.8m,木竿尸。的

長度為

Q

2.邏輯推理-利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理

2.(2022?福建三明?九年級期末)如圖，正方形ABCD中，點尸是2C邊上一點，連接/尸，以/尸為對角

線作正方形/EFG,邊尸G與NC相交于點〃，連接。G.以下四個結(jié)論：

①ZEAB=NBFE=/DAG；

②△/CFS/UDG；

③AH-AC=6AE2；

@DG±AC.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

3.分類討論思想

3.（2022?河南南陽?九年級期末）在RM4BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=S,過點3作射線

BM//AC.動點。從點/出發(fā)沿射線NC方向以每秒3個單位的速度運動，同時動點￡從點C沿射線

/C方向以每秒2個單位的速度運動.過點E作所交射線于尸，G是E尸中點，連接。G.設(shè)點

。運動的時間為f,當(dāng)△DEG與相似且點。位于點E左側(cè)時，/的值為.

4.方程的思想

4.（2022?廣西梧州?九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知04=12厘米，08=6厘米.點P從

點O開始沿CM向點/以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿B0向點。以1厘米/秒的速度移

動.當(dāng)一點運動到終點時，另一點也隨之停止.如果P、0同時出發(fā)，用/（秒）表示移動的時間（0<t<6）,

求當(dāng)△尸與A/05相似時f的值.

5.（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知在RtZ\48C中，N4CB=9Q°,AC=BC=5,點。為射線上一

動點，且點8關(guān)于直線CD的對稱點為點￡,射線/￡與射線交于點尸.

（1）當(dāng)點。在邊N2上時，

①求證：ZAFC=45°；

②延長/尸與邊C5的延長線相交于點G,如果△班G與△ADC相似，求線段AD的長;

（2）聯(lián)結(jié)C￡、BE,如果S0CE=12,求S-BE的值?

備川圖

噌

U【中考熱點聚焦】

熱點1.相似三角形的性質(zhì)

1.（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4,則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

2.（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點/的坐標(biāo)為（1,0）.把△/OB按如圖所

示的方式放置，并將△NO8進(jìn)行變換：第一次變換將繞著原點。順時針旋轉(zhuǎn)60。,同時邊長擴

大為邊長的2倍，得到△4。約；第二次旋轉(zhuǎn)將△小繞著原點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,同時邊長

擴大為△4081邊長的2倍，得到△/2。&，…?依次類推，得至!J△/2023O82023，則△/2023。為023的邊

長為，點42023的坐標(biāo)為?

熱點2.相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用

3.（2023?雅安）如圖，在口N8CD中，尸是/。上一點，CF交BD于點、E,C廣的延長線交3/的延長線于

點G,EF=1,EC=3,則G尸的長為（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2023?哈爾濱）如圖，AC,AD相交于點。，AB//DC,〃是N5的中點，MN//AC,交2。于點N,若

5.（2023?東營）如圖，△/BC為等邊三角形，點。，￡分別在邊8C,AB±,ZADE=60°.若BD=

4DC,DE=2.4,則4D的長為（）

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

6.（2023?東營）如圖，正方形48c。的邊長為4,點E,廠分別在邊DC,3c上，S.BF^CE,4E平分/

CAD,連接。R分別交/E,NC于點G,M.尸是線段/G上的一個動點，過點尸作PNL4C,垂足為

N,連接PM.有下列四個結(jié)論:

①NE垂直平分DM；

（2）PM+PN的最小值為3&；

③CF2=GE，AE；

④S/\L=6^/2-

其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

7.（2023?恩施州）如圖，在△4BC中，DE〃BC分別交AC,48于點。，E,EF〃4c交BC于點、F,

嫗=2,BF=8,則DE的長為（）

BE5

57

8.（2023?內(nèi)江）如圖，在中，點。、￡為邊的三等分點，點RG在邊3c上，AC//DG//EF,

點X為4F與。G的交點.若NC=12,則?！ǖ拈L為（）

A.1B.—C.2D.3

2

9.（2023?邵陽）如圖，CALAD,點8是線段川9上的一點，MCBLBE.已知/3=8,AC=6,

DE=4.

（1）證明：AABCs^DEB.

（2）求線段AD的長.

c

10.(2023?云南)如圖，3c是。。的直徑，/是O。上異于2、c的點.O。外的點E在射線C2上，直

線E4與CD垂直，垂足為。，S.DA-AC=DC-AB.設(shè)△48E的面積為△NCD的面積為

(1)判斷直線瓦1與O。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若BC=BE,S2=mSv求常數(shù)加的值.

11.(2023?蘇州)如圖，△A8C是。。的內(nèi)接三角形，48是O。的直徑，/。=遍，BC=2遙,點尸在

AB上，連接C尸并延長，交O。于點。，連接2D,作2ELCD,垂足為￡

(1)求證：△DBES￡\4BC；

(2)若/尸=2,求磯)的長.

E

D

熱點3.應(yīng)用相似三角形知識解決實際問題

12.（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后

向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲的眼睛

離地面高度為1.6〃?，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2加，鏡子與旗桿的水平距離為10%,則旗桿高

度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

13.（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（AD=BC,匹=亞=工）測量某個零件的內(nèi)孔直徑量得CD長

OB0A3

度為6cm,則AB等于cm.

Cr--,D

14.（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高