2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拓展之泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（學(xué)生版+解析）

第13講：拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)

用

目錄

高頻考點(diǎn)類型..............................................2

類型一：泰勒展開式.......................................2

類型二：利用超越不等式比較大小............................5

類型三：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式.....................6

類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式.....................7

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是將一個在%0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于(X-5)的n次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)

的方法.

若函數(shù)/(%)在包含%的某個閉區(qū)間［“，切上具有〃階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(。，力上具有

(〃+1)階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間［a,切上任意一點(diǎn)x,成立下式：

,0)2

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^(x-x0)+...++/??(x)

2!n\

其中：表示在x=5處的〃階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)/(X)在/處

的泰勒展開式，剩余的R⑺(幻是泰勒公式的余項(xiàng)，是(X-%)"的高階無窮小量.

2、麥克勞林(Maclaurin)公式

/(X)=/(0)+/'(0)x+且M+...+J―笠*”十與(X)

2!n\

雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取%=0的特殊結(jié)果，由于麥克勞林

公式使用方便，在高考中經(jīng)常會涉及到.

3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：

r2ne6x

(1)^=l+x+—+x——xn+1

2!n\(n+1)!

(2)sinx=x-—+--------+(-1)"—-------+o(x2,!+2)

3!5!(2〃+l)!

246

(3)cosx=l-—+—-—+---+(-l)n+o(x2,!)

2!4!6!(2〃)!

2

r婷n+1

(4)ln(l+x)^x-—+--------+(-l)n--+o(x',+l)

23n+1

1”

(5)-----=1+X+X29H-----\-x+。(%)

1—X

(6)(1+〉)〃=1+我+'彳!1)/+o(12)

4、兩個超越不等式：(注意解答題需先證明后使用)

4.1對數(shù)型超越放縮：^<lnx<x-l(x>0)

x

ln(X+x)=x-----x2Hx3_???+(―1—xn~^~R(x)???(1)

23nn

上式(1)中等號右邊只取第一項(xiàng)得：ln(l+x)<x(x>-l)?結(jié)論①

用x—1替換上式結(jié)論①中的x得：lnx<x-l(x>0)?…??結(jié)論②

對于結(jié)論②左右兩邊同乘“一1”得—InxNl—xnln^Nl—1,用工替換“九”得:

XX

1--<lnx(x>0).......結(jié)論③

x

4.2指數(shù)型超越放縮：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+R“(x)…(2)

2!n\n

上式（2）中等號右邊只取前2項(xiàng)得：ex>1+x（x&R）……結(jié)論①

用一x替換上式結(jié)論①中的x得：>1-x（xR）……結(jié)論②

當(dāng)尤<1時，對于上式結(jié)論②e~x>1—x=>:一>1—x=>--—>ex....結(jié)

論③

當(dāng)x>l時，對于上式結(jié)論②e~x>1—x=二―>1—x=--—<ex....結(jié)

ex1-x

論④

高頻考點(diǎn)類型

類型一：泰勒展開式

典型例題

例題L（2024?陜西漢中?一模）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（Col出MaclauriQ研究出了著

名的譏級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

，3v4一

其中一個公式：ln（l+x）=尤-二+工r-二+…+（-1尸二+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式2招+唯+...+（-1尸逑匕+...（wZ5）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

例題2.（23-24高三上?湖南永州?階段練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（Co/MMaclaurin）

研究出了著名的級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克

勞林建立的其中一個公式：ln（l+x）=x_1+]-q+…+（-1廣9+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面

代數(shù)式&+攣+孥-2+…+㈠廣四+的近似值為（）（可能用到數(shù)值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

例題3.（多選）（2023?遼寧?二模）泰勒公式通俗的講就是用一個多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個

給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式

e'=l+x+—+—+—+L+—+L

2!3!4!n\

%2〃T

.XXX/\n+1

smx=x------1------------i-L+-1A+L

3!5!7!v7（21）!

由此可以判斷下列各式正確的是（）.

A.=cosx+isinx（i是虛數(shù)單位）B.T（i是虛數(shù)單位）

C.2*21+xln2+（?；2）（x20）

D.cosx<l-—+—（XG（O,1））

224

例題4.（2023?遼寧丹東?一模）計(jì)算器計(jì)算e.Inx,sin無，cos尤等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/（X）在含有％的某個

開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)尤e（a,6）,且XW%時，有

+....

/（x）=0!1!（》-

其中?、耸?（力的導(dǎo)數(shù),其⑺是。⑺的導(dǎo)數(shù),尸"⑺是。"⑺的導(dǎo)數(shù).

取毛=0,則sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為—，sinl精確到0.01的近似值為.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023,寧夏銀川?模擬預(yù)測）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclaurin）研究出了著

名的加“狽/7?〃級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

，3x4"

其中一個公式：ln(l+x)=x-二+'T-二+...+(-1)MLx+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式&+述+拽L±+…+C空+...(?>5)的近似值為()(可能用到數(shù)值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23)

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)科林?麥克勞林(ColinMaclaurin)是18世紀(jì)英國最具有影響的

數(shù)學(xué)家之一.他研究出數(shù)學(xué)中著名的Maclaurin級數(shù)展開式，下面是麥克勞林建立的其中一

個公式：(1+『"+'"1)231)("2)"一。(……

v72!3!n!

其中xe(—1,1),“eN*,〃!=1X2X3X4X…x〃，例如：1\—1,21—2,3!=6.貝'的

近似值為(參考數(shù)據(jù)：迂=1.414,結(jié)果精確到0.01)()

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

3.(23-24高二下?四川成都?階段練習(xí))英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級

數(shù)和泰勒展開式而聞名于世.計(jì)算器在計(jì)算e3Inx,sin%,cosx等函數(shù)的函數(shù)值時，是

通過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/(尤)在含有％的某

個開區(qū)間(a,6)內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe(a,6),且xW七時，有

〃“=腎(彳*°+如(左一%)+粵(工一%)2+^1(?*3+….其中((x)

是〃元)的導(dǎo)數(shù)，/(x)是尸(%)的導(dǎo)數(shù)，是(力是r(x)的導(dǎo)數(shù),階乘0!=1,

加="(〃-1*(〃-2)*..*2*1.取毛=0,則411方的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為,

sinl精確到0.01的近似值為.

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))計(jì)算器計(jì)算e3In尤，sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過寫入“泰勒展開式〃程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/（x）在含有％的某個

開區(qū)間（區(qū)切內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe（a,A）,且時，有

Xf)°+牛(Xf)+勺(X-/+粵(X-九0)+?,,.

其中廣⑺是〃尤）的導(dǎo)數(shù)，尸⑺是廣（X）的導(dǎo)數(shù)，尸（X）是尸（X）的導(dǎo)數(shù)

取X。=。，則SinX的"泰勒展開式"中第三個非零項(xiàng)為—，sinl精確到0.01的近似值為

類型二：利用超越不等式比較大小

典型例題

例題1.（23-24高二下?北京豐臺階段練習(xí)）已知a=；,b=&-1,。=哼則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

4i「

例題2.（23-24高三下?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試）若。=ln：,6=T，c=&-l,則a,b,c

34

的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2022I

例題3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃=e一痂，Z?=ln2024-ln2023,c二sin?不，則（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高三下?全國?階段練習(xí)）已知。=J》=ln*c=（log67-l）ln5,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2024?甘肅隴南?一模）若。=2,6=7°」,c=e°-2,則（）

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

3.（23-24高二下?浙江?開學(xué)考試）已知〃力=ln?^,c=e2024—1,貝lj（

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

類型三：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題1.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=?x-lnx-1的最小值為0.

⑴求。.

(2)證明：(z)ex-e2lnx>0;

5）對于任意〃eN*[l+j[l+5）

例題2.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)己知函數(shù)八同二，-9e-a.

(1)若〃x)..O,求。的取值范圍;

(2)證明：若f(無)有兩個零點(diǎn)占,弓，則無I+%2>2.

1—%

例題3.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知函數(shù)/(力=。111%+^],〃￡區(qū).

⑴當(dāng)〃=2時，求曲線>=/(%)在點(diǎn)(I"⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)％之0時，證明：exln(x+1)+e-x-cosx>0.

類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題L(23-24高三下?江西?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=2ae>"-Inx-l?

⑴若.==0,求的極值；

(2)若a,be(O,l),設(shè)玉=1,當(dāng)+1=/(%).證明：

xX

(i)?<n+l;

4e1)

XX

(ii)?-n+2<

例題2.(2024?吉林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=無一lnx,g(x)=ex—x-1.

44尤

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;

(2)若證明：

例題3.(2024?福建福州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=xlnx—V—1.

(1)討論的單調(diào)性；

19

⑵求證：f(x)<e-v+—----1；

xx

(3)若,〉0應(yīng)>0且夕4>1，求證：/(^)+/(^)<-4?

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)=-x.

⑴若/(X)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)a=l時，證明：VXG(-2,+OO),f(x)>sinx.

2.(2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)設(shè)函數(shù)/(九)=匕，+2儂111%-2辦2一(1+24)%.

⑴當(dāng)aWO時,討論了(x)的單調(diào)性，并證明了(無)21；

⑵證明：①當(dāng)xeR時，e*2x+l；

②當(dāng)x20時，x>sinx,當(dāng)x<0時，x<sinx；

③當(dāng)。=:時，函數(shù)y=/(x)存在唯一的零點(diǎn).

3.（23-24高二上?福建南平?期末）已知函數(shù)/（X）=1口（1+冗）+萬送（冗）=cosx+

⑴當(dāng)％w[O,+x））時，比較“X）與x的大??；

（a\

⑵若/”+1=g（&）（?>0,6>0）,比較/僅2）+1與g（a+i）的大小.

I7

第13講：拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)

用

目錄

高頻考點(diǎn)類型..............................................2

類型一：泰勒展開式.......................................2

類型二：利用超越不等式比較大小............................5

類型三：利用對數(shù)型超越放縮證明不等式.....................6

類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式.....................7

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是將一個在公處具有〃階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于(x-5)的〃次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)

的方法.

若函數(shù)/(X)在包含x0的某個閉區(qū)間小句上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(a力)上具有

5+1)階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間［a,切上任意一點(diǎn)》,成立下式：

,2H

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)+---+^—^^(x-x0)+l??(x)

2!n\

其中：/⑺(%)表示/(X)在X=%處的〃階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)/(X)在/處

的泰勒展開式，剩余的R(*(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(X-%)"的高階無窮小量.

2、麥克勞林(Maclaurin)公式

/(x)=/(0)+/'(0)X+%2+…+1x"+R(X)

2!n\

雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取%=0的特殊結(jié)果，由于麥克勞林

公式使用方便，在高考中經(jīng)常會涉及到.

3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：

ex=l+x+—+--■+—+-^-^xn+i

(1)

2!n\(n+1)!

r3r52n+l

(2)sinx=x-—+-------+(—l)〃--------+o(x2n+2)

3!5!(2〃+l)!

r2r462n

cosx=l-—+--——+...+(-1)"——+o(x2n)

2!4!6!(2〃)！

無2元3n+l

(4)ln(l+x)=x-—+-------+(-l)n--+o(xn+1)

23n+l

1”

(5)-----=1+X+X29H-----\-x+。(%)

1—X

(6)(1+〉)〃=1+我+'彳!1)/+o(12)

4、兩個超越不等式：(注意解答題需先證明后使用)

4.1對數(shù)型超越放縮：^<lnx<x-l(x>0)

x

ln(X+x)=x-----x2Hx3_???+(―1—xn~^~R(x)???(1)

23nn

上式(1)中等號右邊只取第一項(xiàng)得：ln(l+x)<x(x>-l)?結(jié)論①

用x—1替換上式結(jié)論①中的x得：lnx<x-l(x>0)?…??結(jié)論②

對于結(jié)論②左右兩邊同乘“一1”得—InxNl—xnln^Nl—1,用工替換“九”得:

XX

1--<lnx(x>0).......結(jié)論③

x

4.2指數(shù)型超越放縮：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+R“(x)…(2)

2!n\n

上式（2）中等號右邊只取前2項(xiàng)得：ex>1+x（x&R）……結(jié)論①

用一x替換上式結(jié)論①中的x得：>1-x（xR）……結(jié)論②

當(dāng)尤<1時，對于上式結(jié)論②e~x>1—x=>:一>1—x=>--—>ex....結(jié)

論③

當(dāng)x>l時，對于上式結(jié)論②e~x>1—x=二―>1—x=--—<ex....結(jié)

ex1-x

論④

高頻考點(diǎn)類型

類型一：泰勒展開式

典型例題

例題L（2024?陜西漢中?一模）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（Col出MaclauriQ研究出了著

名的譏級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

f?V4/

其中一個公式：ln（l+x）=x-二+'-二+…+（-1）a工+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式2招+唯+...+（-1產(chǎn)逑匕+...（〃25）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

【答案】c

【分析】由題目觀察可知X=7L代入ln（l+x）即可發(fā)現(xiàn)解法.

【詳解】ln（l+揚(yáng)=6-亙+包-包+包…+㈠嚴(yán)巫+…

2345n

63述9

-+++(_1產(chǎn)包+…

-2-34-

n

=一二+2肉地…+（一1尸^^+…=ln2.7321=1.005

45n

所以2』+拽+…+（-1尸^+…”ln（l+道）+”=4.755

5n4

故選：C

例題2.（23-24高三上?湖南永州?階段練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（C。//力Maclaurin）

研究出了著名的Mac/?！?力級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克

勞林建立的其中一個公式：ln（l+x）=x-1+!-；+...+（-1廣或+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面

234n

代數(shù)式及+逑+逑/+...+（-!廣亙+...（〃“）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

【答案】B

【解析】由麥克勞林公式得1n（1+逝）=夜二+述/+逑且+…+（-1廣回+…，進(jìn)而可

得答案.

【詳解】解：根據(jù)麥克勞林公式得：籍1+五）=0二+速/+逑/+…+（-1廣回+…，

\）23453v7n

所以ln（l+夜）+2=后+手+苧

由于ln（l+@+2?ln2.414+2=2.881.

故M+這+逑廣?+...（?>5）的近似值為2.881.

353n

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)知識遷移與應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是將所求近似代替，是中檔題.

例題3.（多選）（2023,遼寧?二模）泰勒公式通俗的講就是用一個多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個

給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式

x2x3x4xn

ex=1+xH-----1------1------FLH------FL

2!3!4!n\

r3572〃-1

.AAA../.\n+1A

sinx=x------1------------FL+（-1）----------FTL

3!5!7!v7（21）!

由此可以判斷下列各式正確的是（）.

A.ek=cosx+isinx（i是虛數(shù)單位）B.ea=—i（i是虛數(shù)單位）

C.2X>l+xln2+^'rln2^（%>o）D.cosx<l-^-+|-（xe（0,l））

【答案】ACD

【分析】對于A、B,將關(guān)于sinx的泰勒展開式兩邊求導(dǎo)得cosx的泰勒展開式，再驗(yàn)證結(jié)論

是否正確；

對于C,由2，=eMn2（xN0）,再代入關(guān)于e*的泰勒展開式驗(yàn)證是否成立；

4T4J尤2尤,尤6元8臚尤2“尤2〃+2

對于D,由cosx=|l-------1-----------+------------I-L--~—+--------—+L,證明

（2!4!）6!8!10!（2〃）?。?〃+2）!

r68102n2n+2

——+---------+L----+----------+L<0即可.

6!8!10!(2〃)！(2?+2)!

r35721

【詳角星】對于A、B,由sin%=%一刀+工一右+1+(-l)n+y-----TVT+L,

3!J!/!(277—11!

爐"一2

兩邊求導(dǎo)得COSN=1-K+"■-石+?.?+(-1)-----------------1—

2!41o!(2〃-2)!，

...x3ix5ix7i/八」n+lX2n~ll

ismx=xi-------1-------------FTL+-I+L,

3!5!7!v7(2/7-1)!

..1.x2x3ix4x5ix6x7i/n+lX2W-li一〃一2

cosx+isinx=l+xi-------------1------1-------------------FL+—1v)+(-1戶+L,

2!3!4!5!6!7!v7(2n-l)!(2〃-2)!

(xi)2+(工xi)3+立(xi),+L+苴+L，

又/=i+T+a

2!3!4!n\

=l+xi--—-—-—+L+(-l)"+1+(-1戶+L,

2!3!4!5!6!7!''(2〃-1)!(2n-2)!

=cosx+isinx,故A正確，B錯誤;

2

v4〃2

對于C,已知e"=l+x+—+—+—+L+-+L,貝Ije"21+x+—.

2!3!4!n\2!

因?yàn)?工=”2（記0）,則e，">i+x2+小］，即2al+xln2+回］

1n(xNO)成立,

2!2

故C正確;

故C正確;

丫246丫8丫1.10爐〃一2

Y人人人人九

對于D,cosx=1-------1----------------1-----------------FL+(-1)同+L,，

2!4!6!8!10!(2n-2)!

x.10x2n12〃+2

cosx=1--+—------+LT------------1-----------------+L,

2!4!6!8!10!(2〃)！(2?+2)!

.10

當(dāng)xe(O,l),一區(qū)+《<0；x八

------<0；,

6!8!8!10!

12"X2"?x2n[X2-(2M+1)(2H+2)]

-----------1-----------------<0,xe(O,l),

(2n)!(2n+2)!(2/7+2)!

-----------1-----------------+L<0,所以

（2〃）！（2”+2）!

x2x424

cos%<1-------1----=1一與+或（xe（。」））成立，故D正確.

2!4!

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】利用泰勒公式證明不等式方法點(diǎn)睛：

應(yīng)用泰勒公式時要選好無，有時可能需要結(jié)合題目給出信息進(jìn)行相關(guān)變形，再代入驗(yàn)證，利

用展開項(xiàng)的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，證明不等式成立.

例題4.（2023?遼寧丹東?一模）計(jì)算器計(jì)算e",Inx,sin%,cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過寫入〃泰勒展開式〃程序的芯片完成的.〃泰勒展開式〃是：如果函數(shù)/（%）在含有4的某個

開區(qū)間（〃力）內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)無￡（々力），且XW%時，有

小）/丫+....

“上得…）°+為

4P2!3!

其中尸（X）是“尤）的導(dǎo)數(shù)，尸是尸（X）的導(dǎo)數(shù)，尸”⑺是尸（尤）的導(dǎo)數(shù)

取X。=0,則sinx的"泰勒展開式"中第三個非零項(xiàng)為—，sinl精確到0.01的近似值為.

【答案】0.84

【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到〃x）=sinx=x-Jx3+±x5+~,求得$也彳的"泰勒

o120

展開式”中第三個非零項(xiàng)，令尤=1,代入上式，進(jìn)而求得sinl的近似值.

【詳解】取毛=。時，可得了（m=必》°+2包彳+/^/+212）彳3+-

v70!1!2!3!

貝!]/(x)=sinx=Oxx°+lx尤+0x》2+Qxj;4+lx-^x5■■.

=.x-—x3+^—x5+???,

6120

所以sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為工尤$,

120

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l—1+六+...=黑+..-0.84.

故答案為：萬6尤5；0.84.

練透核心考點(diǎn)

1.(2023?寧夏銀川?模擬預(yù)測)蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林(ColinMaclaurin)研究出了著

名的〃譏級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

fr4n

其中一個公式：ln(l+x)=x-^+工-工+…+(-1)片土+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式a+2叵+…+(-1)”TS"+…(〃25)的近似值為()(可能用到數(shù)值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23)

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

【答案】B

【分析】利用賦值法求得所求表達(dá)式的值.

尸3v4一

【詳解】依題意ln(l+x)=x—二+三r一二+…+(—1)1土+…，

234n

令x=&,則1扉1+0)=0二+速/+迪+㈠產(chǎn).EEL+…，

1)23456v7n

ln(l+后)+2=應(yīng)+半+殍一9…+㈠尸”+…，

ln(l+亞)+2“In2.414+2=2.881.

故選：B

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)科林?麥克勞林(ColinMaclaurin)是18世紀(jì)英國最具有影響的

數(shù)學(xué)家之一.他研究出數(shù)學(xué)中著名的Maclaurin級數(shù)展開式，下面是麥克勞林建立的其中一

個公式：(1+4=1+磔+皿一1)八皿一此一嘰3+…+々(-1)…(―)—…,

''2!3!n!

其中weN*,加=1X2X3X4X…x"，例如：1!=1,21=2,3!=6,貝山。丁的

近似值為(參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,結(jié)果精確到0.01)()

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

【答案】B

【解析】在Maclaurin級數(shù)展開式中令苫=:,a=0進(jìn)行計(jì)算.取展開式的前幾項(xiàng)（4項(xiàng)）

計(jì)算即可.

【詳解】由題意，知［：］5=［1+；］尤（忘T（后-力

=Id—X^2+10

47

V22-72272-3

H--=1+11+…=1.37

4---32------192

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題方法理解新定義，把所求式與新定義比較，確定

在新定義中直接取x==0計(jì)算即得.考查學(xué)生的創(chuàng)新意識,

3.（23-24高二下?四川成都?階段練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級

數(shù)和泰勒展開式而聞名于世.計(jì)算器在計(jì)算elInx,sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值時，是

通過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/（尤）在含有％的某

個開區(qū)間（。力）內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe（a,b）,且時，有

/3=腎（工一%）。+%（工7。）+粵（-%）2+^1（》一*3+....其中尸（力

是〃x）的導(dǎo)數(shù)，是⑺是尸（左）的導(dǎo)數(shù),尸（力是尸⑺的導(dǎo)數(shù),階乘0!=1,

〃!=MX（"-1）X（M-2）X…x2xl.取%=0,則sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為,

sin1精確到0.01的近似值為.

【答案】084

【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到/（x）=sinx=x-：x3+上丁+…，求得的“泰勒展開式，，

o120

中第三個非零項(xiàng)，令x=l,代入上式，進(jìn)而求得的近似值.

【詳解】根據(jù)題意，

f（x）=sinx,f\x）=cosx,f"（x）=-sin%,=-cosx,L,

取為=。時，可得〃上到h3um-rai…，

v70!1!2!3!

貝！J/(x)=sinx=0xx°+lx%+0x%2+(-l)x^x3+0xx4+lxj^^5H—

-X----d-1------%5+…，

6120

所以sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為工尤5,

120

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l+工+…=鑒+…。0.84.

o120120

故答案為：萬°元5;0.84

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))計(jì)算器計(jì)算e*,In元，sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/(x)在含有與的某個

開區(qū)間(。,9內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe(a,6),且XR%時，有

f)。+牛(f)+^(f『+野(

其中/(X)是“尤)的導(dǎo)數(shù)，尸⑺是廣(X)的導(dǎo)數(shù)，尸(乃是尸(X)的導(dǎo)數(shù)

取毛=0,則Sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項(xiàng)為—,sinl精確到0.01的近似值為.

【答案】上丁0.84

120

【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到/(x)=sinx=x-!d+±x5+…，求得$也%的"泰勒

展開式”中第三個非零項(xiàng)，令X=l,代入上式，進(jìn)而求得sinl的近似值.

【詳解】取毛=。時，可得/(X)=~~~尤°+'(~~-X+~~~~~~-尤2+—~---苫3+…

v70!1!2!3!

貝lj/(x)=sinx=0xx°+lxx+0xx2+(-l)x^x3+0xx4+lx-^x5???

=X——JC，+^—X5+-??,

6120

「?sinX的〃泰勒展開式〃中第三個非零項(xiàng)為總爐，

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l—：+=+…=黑+…六0.84.

故答案為：----^5,0.84.

類型二：利用超越不等式比較大小

典型例題

例題1.(23-24高二下?北京豐臺?階段練習(xí))已知。=%匕=&-l,c=lng,則()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,xe(0,+8),和g(x)=e*-x-1,,xe(0,+co),求

導(dǎo)得到函數(shù)人元)，g(x)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可比較出“，b,c的大小.

【詳解】設(shè)/(x)=ln(l+x)-x,X6(0,-H?),

—Y

貝1小)=；——11=#<0,

l+x1+X

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(x)v/(0)=0,

所以=,即貝[]c<a；

設(shè)g(x)=e*-x-l,(x>0),貝l|g<x)=e*-l>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

貝必]￡|=”一:一l>g(0)=0,即/一l>g,則有，綜上c<a<6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)值大小比較，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決問題.

例題2.(23-24高三下?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試)若。=ln^,0=；,c=&-l,則。,6,c

34

的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(x+l)-Ap求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到/]]>/(0),求出

ln|>1,構(gòu)造g(x)=e「l-ln(x+l),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到g[j>g(。)，故

L4

^-l>ln-,得到答案.

【詳解】設(shè)〃無