2024-2025學(xué)年湖南省株洲市世紀(jì)星高級中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省株洲市世紀(jì)星高級中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x?3>0}，B={x|x2?5x+4>0}，則A∩B=A.(?∞,1) B.(?∞,3) C.(3,+∞) D.(4,+∞)2.已知復(fù)數(shù)z=21+i，則|zA.22 B.1 C.23.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，記CA=m,CB=A.12m?12n B.24.已知函數(shù)f(x)=3?x?2x，則當(dāng)x<0時，f(x)有(

)A.最大值3+22 B.最小值3+22 C.最大值3?25.已知兩直線l1：3x?4y+4=0和l2：6x+my?2=0，若l1//lA.?8 B.8 C.92 D.6.函數(shù)f(x)=cos(x+π4A.1+22 B.2 C.7.某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是(

)A.19 B.29 C.138.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O為PB的中點(diǎn)，則直線CO與平面PAC所成角的余弦值為(

)A.62

B.63

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：(a2+a+1)x?y+2=0，其中a∈R，則A.直線l過定點(diǎn)(0,2)

B.當(dāng)a=?1時，直線l與直線x+y=0垂直

C.當(dāng)a=0時，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

D.若直線l與直線x?y=0平行，則這兩條平行直線之間的距離為10.如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱DC上兩點(diǎn)，且A.三棱錐D1?B1EF的體積為定值

B.異面直線D1B1與EF所成的角為60°

C.D1B11.已知函數(shù)f(x)=ln(?x),x<0e?x,x≥0，若關(guān)于x的方程m?f(x)=0有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)A.1 B.2 C.12 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分別是直線l1、l2的方向向量，若l113.直線kx?y+3?2k=0過一個定點(diǎn)，則該點(diǎn)坐標(biāo)為______．14.“a=2”是“直線ax+2y+1=0和直線3x+(a+1)y?2=0平行”的______條件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，求滿足下列條件的直線方程(要求把直線的方程化為一般式)：

(1)直線l與直線x2?y3=1平行；

(2)直線l與兩個坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為4；

16.(本小題15分)

長沙市某中學(xué)近幾年加大了對學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對象，2023年5月該中學(xué)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競賽，從參加競賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(百分制，均為整數(shù))分成六組：第1組[40,50)，第2組[50,60)，第3組[60,70)，第4組[70,80)，第5組[80,90)，第6組[90,100]，得到頻率分布直方圖(如圖)，觀察圖中信息，回答下列問題：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級，若從成績在第5組和第6組的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績優(yōu)秀的概率．17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向右平移π4個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)18.(本小題17分)

已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且a=7,c=1,A=2π3．

(1)求b及△ABC的面積S；

(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，且AD=119.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面ABCD所成角為45°，四邊形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC/?/AD，AD=2，PA=BC=1．

(1)證明：平面PAC⊥平面PCD．

(2)若點(diǎn)T是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PT的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面ABM的距離．

(3)若點(diǎn)T是CD的動點(diǎn)，PT上是否存在一點(diǎn)M，使得PT⊥平面ABM，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

參考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.18

13.(2,3)

14.充分不必要

15.解：(1)設(shè)直線l的方程為x2?y3=C為常數(shù)，代入點(diǎn)A(1,2)得C=?16，

所以直線l的方程為x2?y3+16=0，即3x?2y+1=0；

(2)設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0)，則1a+2b=1①，12ab=4②，

由①②解得，a=2，b=4，故直線l的方程為x2+y4=1，即2x+y?4=0；

(3)①若直線的截距為0，設(shè)直線的方程為y=kx，將點(diǎn)16.解：(1)x?=45×0.1+55×0.26+65×0.2+75×0.3+85×0.08+95×0.06=66.8，

所以本次考試成績的平均分約為66.8；

因為成績在[40,70)的頻率為(0.01+0.026+0.02)×10=0.56，

成績在[40,80)的頻率為0.56+0.03×10=0.86，

所以第71百分位數(shù)位于[70,80)，

設(shè)其為x，則0.56+(x?70)×0.03=0.71，

解得x=75，所以第71百分位數(shù)為75．

(2)第5組的人數(shù)為：50×0.008×10=4人，第6組的人數(shù)為：50×0.006×10=3人，

所以至少有1人成績優(yōu)秀的概率17.解：(1)由函數(shù)f(x)的部分圖象可知A=2，34T=1112π?16π=34π，

所以T=π，所以ω=2πT=2，所以函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)，

又f(π6)=2，所以2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=π6+2kπ,k∈Z，由|φ|<π2可得φ=π6，

所以f(x)=2sin(2x+π6)；

(2)將f(x)向右平移π4個單位，得到y(tǒng)=2sin(2(x?π4)+π6)=2sin(2x?π3)，

18.解：(1)由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，

整理得7=b2+1+b，即b2+b?6=(b+3)(b?2)=0，

因為b>0，解得b=2，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2×1×3219.(1)證明：由PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，

得PA⊥AB，PA⊥CD，PB

與底面ABCD所成角為∠PBA=45°，

所以三角形PAB為等腰直角三角形，AB=AP=1，

又由四邊形ABCD是直角梯形，BC/?/AD，可知AB⊥BC，

所以△ABC為等腰直角三角形，而BC=1，故AC=2，

在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AD，垂足為E，

則四邊形ABCE為正方形，可得AE=BC=CE=1，

所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD=2，

則有AC2+CD2=2+2=4=AD2，所以DC⊥AC，

又因為PA⊥DC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以DC⊥平面PAC，因為DC?平面PCD，

所以平面PAC⊥平面PCD；

解：(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z

軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，

因為T是CD中點(diǎn)，M是PT中點(diǎn)，所以T