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認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-11-10 格式：DOCX 頁(yè)數(shù)：49 大小：756.86KB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

PAGE1第14講函數(shù)的零點(diǎn)、隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題由導(dǎo)數(shù)求求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)函數(shù)的最值(含參)2023年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零2021年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2020年天津卷，第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為16分【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系2.能掌握函數(shù)零點(diǎn)的求解方法3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像的交點(diǎn)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題4.會(huì)解隱零點(diǎn)與極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式解決函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷;另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決，對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍，從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、分析函數(shù)的最值、極值;從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性;從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等。但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說(shuō)明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二.零點(diǎn)存在性賦值理論1.確定零點(diǎn)是否存在或函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，作為客觀題常轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，作為解答題一般不提倡利用圖象求解，而是利用函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，賦值之所以“熱”，是因?yàn)樗婕暗胶瘮?shù)領(lǐng)域的方方面面:討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(包括零點(diǎn)的存在性，唯一性);求含參函數(shù)的極值或最值;證明一類(lèi)超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等，零點(diǎn)賦值基本模式是已知f(a)的符號(hào)，探求賦值點(diǎn)m(假定m<a)使得f(m)與f(a)異號(hào)，則在(m，a)上存在零點(diǎn)2.賦值點(diǎn)遴選要領(lǐng):講選賦值點(diǎn)須做到三個(gè)確保:確保參數(shù)能取到它的一切值;確保賦值點(diǎn)x0落在規(guī)定區(qū)間內(nèi);確保運(yùn)算可行三個(gè)優(yōu)先:(1)優(yōu)先常數(shù)賦值點(diǎn);(2)優(yōu)先借助已有極值求賦值點(diǎn);(3)優(yōu)先簡(jiǎn)單運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)三.隱零點(diǎn)問(wèn)題1.函數(shù)零點(diǎn)按是否可求精確解可以分為兩類(lèi):一類(lèi)是數(shù)值上能精確求解的，稱(chēng)之為“顯零點(diǎn)”;另一類(lèi)是能夠判斷其存在但無(wú)法直接表示的，稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間，常常會(huì)把品值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、若導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在，但無(wú)法求出，我們可以設(shè)其為x0，再利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性確定x0所在區(qū)間，最后根據(jù)f’(x0)=0，研究f(x0)，我們把這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為隱零點(diǎn)問(wèn)題.注意若f(x)中含有參數(shù)a，關(guān)系式f(x0考點(diǎn)一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題1.（2024·四川涼山·二模）若fx=xsinx+cosA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫(huà)圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】f'當(dāng)x∈?π2,0時(shí)，當(dāng)x∈0,π2時(shí)，f當(dāng)x∈π2,π時(shí)，又f?π2=π2?1>0則fx由圖象可得函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為22.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝x－sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】1【詳解】解析：由題得f′（x）＝1－cosx≥0，所以f（x）在R上是增函數(shù)．又f（0）＝0，故f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．1.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x3－x－1.(1)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)將（1）中的零點(diǎn)記為a，且a∈n4【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)5【詳解】（1）證明：∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(x)在[1，2]上的圖象是連續(xù)不間斷的，∴f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點(diǎn).∵f′(x)＝3x2－1，∴x∈(1，2)時(shí)，f′(x)＞0，∴f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn).（2）解：由（1）知f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，∵f(32)＝278－32－1＝78＞0，∴a又f(54)＝12564－54－1＝－1964＜0，∴a∈(因此n＝5.2.（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間1,(2)判斷函數(shù)fx【答案】(1)sin(2)函數(shù)f(x)在0,+∞【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令gx=f'(x)=1x（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論0<x≤1，1<x≤π和x>π時(shí)，【詳解】（1）因?yàn)閒x所以f'(x)=1x+當(dāng)x∈1,e時(shí)，所以gx在1,e上單調(diào)遞減，且ge所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間[1,e]存在唯一的α又當(dāng)x∈1,α?xí)r，gx=f'所以fx在x∈1,α上單調(diào)遞增，在又因?yàn)閒1fe所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為（2）函數(shù)fx在0,+函數(shù)fx=lnx+sin若0<x≤1，f'所以f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，又f1f1結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，f(x)在區(qū)間0,1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若1<x≤π，則lnx>0,sinx≥0，若x>π，因?yàn)閘nx>ln綜上，函數(shù)f(x)在0,+∞考點(diǎn)二、數(shù)形結(jié)合法研究零點(diǎn)問(wèn)題1.（2023·四川甘孜·一模）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx是偶函數(shù)，且fx+π=fx?π，f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈0,π時(shí)，0<fA．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)fx的單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化y=sinx與y=f(x)【詳解】當(dāng)x∈0,π且x≠πx∈(0,π2)時(shí)，f'x由fx+π=fx?π，得f又在R上函數(shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,π在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx與y=f(x)在由圖可知，兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以y=f(x)?sinx在故選：B.2.（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】當(dāng)x>0時(shí)，令fx=0，得ex3=3lnx，即x3ex3=xlnx，構(gòu)造函數(shù)?x=xe【詳解】解法一：∵函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，∴f當(dāng)x>0時(shí)，令fx=0，得ex構(gòu)造函數(shù)?x=xex,x>0，則?則當(dāng)?x3=?lnx又mx=lnxx,x>0，則m'x=且me=1e；由于lnxx≤1由于fx是定義在R上的奇函數(shù)，故當(dāng)x<0時(shí)，f綜上，當(dāng)x∈R時(shí)，f解法二：當(dāng)x>0時(shí)，令fx=0，得ex令x3=t，則令?t=et?3t，?'t=e又?0=1，又?1=e?3<0，?2fx是定義在R上的奇函數(shù)，故f0=0，當(dāng)x<0綜上，當(dāng)x∈R時(shí)，f故選：D．1.（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)f(x)=sinx?cosx+ax+1(a>0)，x∈[0,2π]的圖象與直線x=0,(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間及最值；(3)求函數(shù)g(x)=f(x)?m在區(qū)間x∈[0,2π【答案】(1)a=1；(2)遞增區(qū)間是[0,π)，(3π2,2π(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用定積分列式求出a值.（2）由（1）求出f(x)及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間及最值.（3）作出函數(shù)f(x)的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)g(x)=f(x)?m在區(qū)間x∈[0,2【詳解】（1）依題意，當(dāng)f(x)≥0時(shí)，0=12a當(dāng)f(x)≤0時(shí)，0=?12a所以a=1.（2）由（1）知，f(x)=sinx?cos當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，x+π4∈[π4當(dāng)x+π4∈(5π4,7π4)，即x∈(則函數(shù)f(x)在[0,π)，(3在x=π處取得極大值f(π)=π+2，在x=所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是[0,π)，(3π2,2π（3）由g(x)=0，得f(x)=m，函數(shù)g(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線y=m與函數(shù)結(jié)合（2）在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象，觀察圖象知，當(dāng)0≤m<3π2或π+2<m≤2π當(dāng)m=3π2或m=π+2當(dāng)3π2<m<π+2時(shí)，直線所以當(dāng)0≤m<3π2或π當(dāng)m=3π2或m=當(dāng)3π2<m<π2.（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=12時(shí)，求(2)當(dāng)a=1時(shí)，判斷fx【答案】(1)減區(qū)間為?∞,0，增區(qū)間為(2)2個(gè).【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)x<0時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，當(dāng)x>0時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號(hào)；（2）當(dāng)x>0時(shí)，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷fx的單調(diào)性，當(dāng)x≤?π時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號(hào)，當(dāng)?π<x<0時(shí)，記nx【詳解】（1）當(dāng)a=12時(shí)，fx當(dāng)x<0時(shí)，ex<1,cosx≤1，所以所以，fx在?當(dāng)x>0時(shí)，記gx=1因?yàn)閑x>1≥sinx，所以g'所以gx>g0=0，即f'綜上，fx的減區(qū)間為?∞,0（2）當(dāng)a=1時(shí)，fx=e記?x=e當(dāng)x>0時(shí)，ex>1≥sinx，所以?'所以?x>?0=1>0，所以fx>f0=0，當(dāng)x≤?π時(shí)，因?yàn)閑所以fx=e當(dāng)?π<x<0時(shí)，記nx因?yàn)楫?dāng)x趨近于0時(shí)，n'x趨近于0，所以當(dāng)x=?π時(shí)，ex?x?1>?sinx作出函數(shù)nx和y=?由圖可知，當(dāng)?π<x<0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即易知x=0是fx綜上，函數(shù)fx3.（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=13x(1)若fx的極小值為?286，求f(2)討論fx【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性得到極小值，即可求解；（2）由（1）知，fx在區(qū)間?∞,0有1個(gè)零點(diǎn)，再討論f【詳解】（1）由題f(x)=13x3?2m當(dāng)m=0時(shí)，f'x≥0，f當(dāng)m>0時(shí)，令f'x>0，解得x<0令f'x<0所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,4m，單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0所以當(dāng)x=4m時(shí)，fx取得極小值f所以2?323mfx單調(diào)增區(qū)間?∞,0（2）由（1）知當(dāng)m>0時(shí)，fx的極小值為ffx的極大值為f0=2>0所以fx在區(qū)間?當(dāng)2?323m3<0，即m>所以fx在區(qū)間0,4m,4m,+∞各有1個(gè)零點(diǎn)，因此當(dāng)2?323m3=0，即當(dāng)2?323m3>0，即m<當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=13x綜上，當(dāng)0≤m<3124當(dāng)m=3124當(dāng)m>3124【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于第二問(wèn)，先給出fx在區(qū)間?∞,0有1個(gè)零點(diǎn)，再對(duì)f考點(diǎn)三、含參分類(lèi)討論確定零點(diǎn)問(wèn)題1.（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)fx=xex?1(1)求fx(2)求φx(3)設(shè)?x=fx【答案】(1)?1,+(2)1(3)當(dāng)m=?1時(shí)，函數(shù)?x有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m<?1時(shí)，函數(shù)?x有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m>?1時(shí)，函數(shù)【分析】（1）求導(dǎo)后令f'（2）求導(dǎo)后，令μx=x2ex+lnxx>0，再次求導(dǎo)后可得μx的單調(diào)性，無(wú)法直接求出使μx=0（3）變形后可得函數(shù)?x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為φx=?m【詳解】（1）f'x=x+1e故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,+（2）φ'令μx則μ'由x>0，故μ'故μx在0,+又μ1e=故存在x0∈1e,1即φx在0,x0故φx由x02e令ωx=fxω'x=f'故ωx在0,+∞上單調(diào)遞增，故x0則φx即φx的最小值為1（3）令?x即有?m=e即函數(shù)?x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為φ由（2）知，φx在0,x0上單調(diào)遞減，在x又當(dāng)x→0時(shí)，φx→+∞，當(dāng)x→+故當(dāng)?m=1，即m=?1時(shí)，φx當(dāng)?m>1，即m<?1時(shí)，φx當(dāng)?m<1，即m>?1時(shí)，φx即當(dāng)m=?1時(shí)，函數(shù)?x當(dāng)m<?1時(shí)，函數(shù)?x當(dāng)m>?1時(shí)，函數(shù)?x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)中，令φ'x=0無(wú)法直接解出，因此需要虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)的存在性定理，得到x0∈1e,1，使x02.（2024·湖南·二模）已函數(shù)f(x)=x3+a(1)求a?b?c的值；(2)判斷函數(shù)fx【答案】(1)?3(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由fx的圖象關(guān)于(1,?2)對(duì)稱(chēng)，得到f（2）由（1）得到函數(shù)fx的解析式，求出f'x，利用Δ【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,?2中心對(duì)稱(chēng)，故y=f從而有fx+1+2+f?x+1fx+1f1?x所以2a+6=02a+2b+2c+2=?4，解得a=?3所以a?b?c=?3；（2）由（1）可知，fx=x3?3①當(dāng)c≤?3時(shí)，Δ=36+12c≤0，f'x≥0，所以∵f1=?2<0，∴函數(shù)fx②當(dāng)?3<c<0時(shí)，x1+x∴f'x=0有兩個(gè)正根，不妨設(shè)x∴函數(shù)fx在?∞,x1∵fx1=∴函數(shù)fx③當(dāng)c=0時(shí)，fx令fx=x3?3∴fx④當(dāng)c>0時(shí)，x1+x∴f'x=0∴函數(shù)fx在?∞,x1∵fx1>f∴函數(shù)fx綜上，當(dāng)c>0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)c<0時(shí)，函數(shù)fx1.（2024·河南鄭州·三模）已知函數(shù)fx(1)若a=2，求fx在1,f(2)討論fx【答案】(1)y=(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求含參函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值關(guān)系和函數(shù)零點(diǎn)存在定理對(duì)a的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）若a=2，則fx又f1=e曲線y=fx在1,f1處的斜率故所求切線方程為y?e2?1（2）由題f'1°當(dāng)a≤0時(shí)，f'x<0,fx在故fx存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)f2°當(dāng)a>0時(shí)，令f'x<0得x<?lna所以fx在?∞,?故fx的最小值為f當(dāng)a=1e時(shí)，fx當(dāng)a>1e時(shí)，fx當(dāng)0<a<1e時(shí)，fxf?lnaa=綜上，當(dāng)a≤0或a=1e時(shí)，當(dāng)0<a<1e時(shí)，當(dāng)a>1e時(shí)，2.（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=ae(1)當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)≥0；(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)可得f'(x)=ex?1，當(dāng)x∈(?∞,0)（2）由已知可得a=x+1ex=g(【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x?1，所以f'(當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f'當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f'從而f(x)≥f(0)=0，不等式得證．（2）令f(x)=0，則a=x+1ex當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，g'當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g'又g(0)=1，當(dāng)x→?∞時(shí)，g(x)→?∞；當(dāng)x→+∞從而當(dāng)a>1時(shí)，f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a≤0或a=1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．3.（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)討論函數(shù)gx【答案】(1)fx極大值(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求解.（2）gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=fx的圖象與直線【詳解】（1）f(x)定義域?yàn)椋??∞由題意可得f'由f'x>0，得x<?1或x>2，由f則fx在?∞,?1和2,+故fx極大值=f（2）由（1）可知fx在?∞,?1和2,+f?1=12，f2=?15，且當(dāng)x→?∞時(shí)，ff(x)的圖象如下圖所示：

令gx=fx當(dāng)m>12或m<?15時(shí)，方程fx=m有且僅有1個(gè)實(shí)根，即當(dāng)m=12或m=?15時(shí)，方程fx=m有2個(gè)實(shí)根，即當(dāng)?15<m<12時(shí)，方程fx=m有3個(gè)實(shí)根，即【點(diǎn)睛】本題只要考查了函數(shù)的極值與零點(diǎn)，考查了靈活利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，綜合考查了邏輯推理與運(yùn)算能力，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想.4.（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx的圖象在x=2(2)討論函數(shù)gx【答案】(1)x+2y?6(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定義分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意可得f'則f'因?yàn)閒2所以所求切線方程為y?3即x+2y?6ln（2）由題意可得g'由g'x>0，得0<x<1或x>3，由g則gx在0,1和3,+∞上單調(diào)遞增，在當(dāng)x→0時(shí)，gx→?∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，gx當(dāng)?m?52<0，即m>?當(dāng)?m?52=0，即m=?當(dāng)?m?52>0?m?13當(dāng)?m?132+3ln3=0當(dāng)?m?132+3ln3>0綜上，當(dāng)m>?52或m<3ln當(dāng)m=?52或m=3ln當(dāng)3ln3?13【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的正負(fù)分類(lèi)討論.考點(diǎn)四、已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題1.（2024·山西·三模）已知函數(shù)f(x)=2x+1x,x>0ex,x≤0【答案】?2<m≤?1【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可作出函數(shù)的圖象，根據(jù)f(x)?x=?m只有一個(gè)交點(diǎn)，即可結(jié)合圖象求解.【詳解】f(x)?x=x+由于y=x+1xx>0為對(duì)勾函數(shù)，最小值為2，而y=ex故ex?x≤1，作出故要使g(x)=f(x)?x+m(m∈R)恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需要f(x)?x=?m只有一個(gè)交點(diǎn)，故1≤?m<2，即?2<m≤?1，故答案為：?2<m≤?12.（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)fx（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，（2）若fx在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）a=【分析】（1）方法一：構(gòu)造函數(shù)gx（2）方法一：研究fx零點(diǎn)，等價(jià)研究?x=1-ax2e-x的零點(diǎn)，先求?x導(dǎo)數(shù)：?'【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友當(dāng)a=1時(shí)，fx≥1設(shè)函數(shù)gx=xg'x≤0，所以g而g0=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g［方法二］：【通性通法】直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值當(dāng)a=1時(shí)，f令g(x)=ex-2x,g'(x)=ex-2，令g'［方法三］：【最優(yōu)解】指對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化當(dāng)x≥0時(shí)，f令g(x)=x-lnx2+1,g'(x（2）［方法一］：指數(shù)找朋友設(shè)函數(shù)?xfx在0,+∞只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)?x（i）當(dāng)a≤0時(shí)，?x>0（ii）當(dāng)a>0時(shí)，?當(dāng)x∈0,2時(shí)，?'x<0所以?x在0,2單調(diào)遞減，在2,+∞故?2=1-4ae①若?2>0，即a<e2②若?2=0，即a=e2③若?2<0，即a>e24，由于由（1）知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>故?x在2,4a有一個(gè)零點(diǎn)，因此?x綜上，fx在0,+∞只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，［方法二］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)令f(x)=0令?(x)=exx2(x>0),?'(x)=ex(x-2)x3．則函數(shù)［方法三］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由［方法四］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=0?ax=exx，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線y=ax與曲線?(x)=exx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由?'(x)=(［方法五］：【通性通法】含參討論因?yàn)閒'(x當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，又當(dāng)a>0時(shí)，f①當(dāng)0<a≤12時(shí)，f″(x)=ex-2②當(dāng)12<a≤e2時(shí)，令f″(x)=0，得x=ln2a，故函數(shù)y=③當(dāng)a>e2時(shí)，f'(x)min<0，又f'(0)=1，所以存在x1∈(0,ln2a),x2∈(ln2a,+∞)，使得f'(x［方法六］：【最優(yōu)解】等價(jià)變形＋含參討論當(dāng)a≤0時(shí)，f當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=0?當(dāng)0<a≤14時(shí)，φ'(x)≥0，函數(shù)當(dāng)a>14時(shí)，當(dāng)x<2ln2a時(shí)，φ'(x)<0,φ(x)故[φ(x【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2方法二：常規(guī)的直接求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，是該題的通性通法；方法三：利用指對(duì)互化，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為x-ln（2）方法一：根據(jù)指數(shù)找朋友，原函數(shù)fx在0,+∞只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于?x方法二：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可解出；方法三：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可解出；方法四：同方法二；方法五：直接含參討論函數(shù)的單調(diào)性確定最值，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可解出，是該類(lèi)型題的通性通法；方法六：易知當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，只需考慮a>0時(shí)的情況，f(1.（2017·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f（1）討論fx（2）若fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求a【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）(0,1).【詳解】試題分析：（1）討論f(x)單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)a按a≤0，a>0進(jìn)行討論，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)，若a≤0，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).若a>0，當(dāng)x=?lna時(shí)，f(x)取得最小值，求出最小值f(?lna)=1?1a+lna，根據(jù)a=1，a∈(1,+∞)，a∈(0,1)進(jìn)行討論，可知當(dāng)a∈(0,1)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知f(x)在(?∞,?lna)有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)n0滿(mǎn)足n0試題解析：（1）f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞)，f'(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(ae（ⅱ）若a>0，則由f'(x)=0得當(dāng)x∈(?∞,?lna)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(?lna,+∞)時(shí)，f'（2）（?。┤鬭≤0，由（1）知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若a>0，由（1）知，當(dāng)x=?lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為①當(dāng)a=1時(shí)，由于f(?lna)=0，故②當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí)，由于1?1a+lna>0③當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，1?1又f(?2)=ae?4+(a?2)e?2設(shè)正整數(shù)n0滿(mǎn)足n0>由于ln(3a?1)>?ln綜上，a的取值范圍為(0,1點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷y=a與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).2.（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)若fx【答案】(1)0(2)0,1【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求最值即可；（2）求出函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)f'x【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=ln當(dāng)x∈0,1時(shí)f'x<0；當(dāng)所以，函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以fx≥f1（2）由fx=ln（?。┊?dāng)a≤0時(shí)，f'x>0，函數(shù)fx在0,+∞（ⅱ）當(dāng)a>0時(shí)，①若a=1，由（1）可知f1=0為最小值，函數(shù)②若a>1，當(dāng)x∈0,a時(shí)，f'x<0，函數(shù)fx當(dāng)x∈a,+∞時(shí)，f'x>0，函數(shù)f根據(jù)零點(diǎn)存在定理，所以函數(shù)fx在區(qū)間a,ea此時(shí)函數(shù)fx③若0<a<1，因?yàn)楹瘮?shù)fx在a,+∞單調(diào)遞增，所以根據(jù)（1）由fx≥0，得由0<a<1，得0<a2?a<a<1所以f2又因?yàn)閒x在0,a所以函數(shù)fx在區(qū)間22?a2此時(shí)函數(shù)fx綜上，a的取值范圍是0,1∪【點(diǎn)睛】一般的根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行求解.考點(diǎn)五、隱零點(diǎn)問(wèn)題1.22-23高三上·河南洛陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）（1）證明不等式：ex?2（2）已知函數(shù)f(x)=(x?2)e【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）(0,+∞【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e（2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性、零點(diǎn)情況作答.【詳解】（1）令函數(shù)g(x)=ex?2?lnx，x>0，求導(dǎo)得：g而g'(1)=e?1?1<0，g'(2)=12當(dāng)0<x<x0時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x>x0時(shí)，g'g(x)所以ex?（2）函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a當(dāng)a>0時(shí)，由f'(x)<0得，x<1，由f'(x)>0得，x>1，即函數(shù)f(x)在f(x)min=f(1)=?e<0，而f(2)=a>0，即存在x1∈(1,2)，使得取b<0且b<lna2即存在x2∈(b,1)，使得f(x2)=0因此當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x?2)e當(dāng)a<0時(shí)，若?e2<a<0，當(dāng)x<ln(?2a)或x>1時(shí)，f即有f(x)在(?∞,ln(?2a)),(1,+∞)上單調(diào)遞增，在因此函數(shù)f(x)在(?∞,1)上沒(méi)有零點(diǎn)，在(1,+∞若a=?e2，恒有f'(x)≥0，即函數(shù)若a<?e2，當(dāng)x<1或x>ln(?2a)時(shí)，f'即有f(x)在(?∞,1),(ln(?2a),+∞)上單調(diào)遞增，在(1,ln(?2a))上單調(diào)遞減，又因此函數(shù)f(x)在(?∞,ln(?2a))上沒(méi)有零點(diǎn)，在綜上得，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)最多一個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍是(0,+∞2.（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx(2)設(shè)gx=f2x【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得f'x，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得（2）先求得fx的范圍，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理證得a=2時(shí)，函數(shù)g【詳解】（1）根據(jù)題意得，f'x=2x?當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0，f當(dāng)a>0時(shí)，f'x<0令f'x>0故fx在0,2a2（2）當(dāng)a=2時(shí)，fx則f'所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'x>0，f又x→0，fx→+∞；x→+故fxgx設(shè)m=x2?2則?m=m則?'由2m2?m?2=0因此，當(dāng)m∈1,1+174時(shí)，當(dāng)m∈1+174,+∞由于?1=0，故?1+由零點(diǎn)存在定理，存在m0∈1+所以?m有兩個(gè)零點(diǎn)m0和m1=1，即方程fxfx

當(dāng)fx=1時(shí)，因?yàn)楣史匠蘤x=1有一個(gè)根當(dāng)fx=m因?yàn)?+17故由fx圖角可知，fx=m0有兩個(gè)不同的根x綜上，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)gx【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的過(guò)程中，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論要做到不重不漏.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)可通過(guò)判別式、開(kāi)口方向、根的大小等等來(lái)制定.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，往往要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來(lái)進(jìn)行.1.（22-23高三上·河北·期中）已知函數(shù)fx(1)若a=?2e?1，求(2)記函數(shù)gx=?x2?a【答案】(1)fx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+(2)?2,+【分析】（1）由題意得f'x=2ex（2）fx+1≥gx恒成立，轉(zhuǎn)化為2ex+1【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞若a=?2e?1，則令f'x=0而f'所以fx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+（2）解：若fx+1則2e整理得2ex+1+a設(shè)?x=2e令?'x=0整理得ex+1設(shè)y1=ex+1，y若?a+1=yy2=x+1+1為①當(dāng)?a+1=1，即a=?2時(shí)，?'②當(dāng)?a+1<1，即在區(qū)間?1,+∞，恒有y1>所以?x在?1,+∞單調(diào)遞增，則?x③當(dāng)?a+1>1，即設(shè)零點(diǎn)為x0，則所以?x在?1,x0?x因?yàn)?e則?2ax又因?yàn)閤0>?1，所以a>?2且a≠?1，與綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2,+【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2.（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)討論函數(shù)gx=fx?sinx在【答案】(1)極小值是2?2ln2(2)2【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解極值點(diǎn)，（2）分類(lèi)討論x>0和x<0上的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1）∵函數(shù)fx∴f令f'x=0，即e當(dāng)x>ln2時(shí)，當(dāng)x<ln2時(shí)，故當(dāng)x=ln2時(shí)，∴函數(shù)f(x)的極小值是f(ln（2）gx=fx令mx=e由于x>0時(shí)，m'x=ex由于g'因此存在唯一的x0∈0,1故當(dāng)x∈0,x0x<0時(shí)，g'(x)=e綜上可知gx在x∈?∞又g1=e?2?sin1<0，因此gx與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故gx=f【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)y=fx零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法：令fx=0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b3.（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線l在(2)探究fx【答案】(1)?(2)fx【分析】（1）求得f'x=14ex（2）得到f'x=14ex?12x【詳解】（1）解析：由函數(shù)fx=14e又f1=e4?1，所以l令x=0，可得y=?12，所以直線l在y軸上的截距為（2）解：因?yàn)閥=14ex和所以f'x=又因?yàn)閒'14=1所以，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f'x當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，f'又因?yàn)閒1所以fx結(jié)論拓展：與ex和ln①aea≤blnb?②eaa<bln③ea±a>b±lnb?e4.（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx在0,f(2)求證：當(dāng)x∈?π,+∞時(shí)，函數(shù)【答案】(1)y=1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題求出f'0，（2）令gx=f'x【詳解】（1）∵f∴∵f0∴y=fx在0,f0處的切線方程為（2）由（1）令gx則g'∴①當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'②當(dāng)x=0時(shí)，f'③當(dāng)x∈?π2,0時(shí)，∵g∴存在唯一x0∈?∴當(dāng)x∈?π2,x0時(shí)，∴當(dāng)x∈?π2,x0時(shí)，又∵f∴存在唯一x1∈?即當(dāng)x∈?π2,x1時(shí)，∴當(dāng)x∈?π2,0時(shí)，④當(dāng)x∈?π,?綜上，當(dāng)x∈?π,+∞時(shí)，考點(diǎn)六、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=e(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若x1≠x2，且【答案】(1)在[0,+∞(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由題意得f'(x)=ex1?ex+(x?1)2ex（2）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(2?x)+f(x)?6e，其中x∈[0,1)，則F'(x)=?f'(2?x)+f'(x)【詳解】（1）∵f(x)=ex?∴f'令g(x)=ex+(x?1)令g'(x)=0，得x=1或當(dāng)x∈[0,3?e)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x∈(3?e,1)時(shí)，∴g(x)在[0,3?e)上單調(diào)遞減，在(3?e又g(0)=1，g(1)=1，故ex+(x?1)2∴1?ex+(x?1)2ex≥0（2）不妨設(shè)0≤x構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(2?x)+f(x)?6e，其中x∈[0,1)則F'由f'(x)=e令mx∵m'∴F'(x)在[0,1)單調(diào)遞增，則∴F(x)在[0,1)上單調(diào)遞減，∴F(x)>F(1)=0，即f(2?x)+f(x)>6e對(duì)x∈[0,1)∵x1∈[0,1)，∴∴f2?由（1）知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，∴2?x1>2.（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)fx=ax(1)若對(duì)于任意x∈0,+∞，都有fx(2)若函數(shù)y=gx?m有兩個(gè)零點(diǎn)x1【答案】(1)a<?(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)Fx（2）通過(guò)利用極值點(diǎn)偏移的知識(shí)，令a=1x1，b=【詳解】（1）結(jié)合題意：對(duì)于任意x∈0,+∞，都有fx因?yàn)閤∈0,+∞，所以只需F'當(dāng)x∈0,e2時(shí)，F(xiàn)'x當(dāng)x∈e2,+∞時(shí)，F(xiàn)'所以只需a<Fx（2）x11?ln設(shè)函數(shù)?x=1+lnxx，?'由?a=?b知0<a<1<b且a=設(shè)函數(shù)gx=2?x知G'知Gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，即x∈0,1時(shí)即x∈0,1時(shí)，1+即?a又由已知由?a=?b有?b<?2?a且2?a∈1,2，由所以b>2?a，即1x1.（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=fx(2)若關(guān)于x的方程fx=12ax2【答案】(1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(2)?1<a<1【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點(diǎn)的存在性定理求解；（2）根據(jù)題意可得lnx?a+1x=0有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2，進(jìn)而可得lnx1=a+1x1構(gòu)造函數(shù)Ft【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx所以函數(shù)y=fx在0,+又因?yàn)閒1所以函數(shù)y=fx（2）方程fx=12ax2得a+1=lnxx，令φ令φ'x>0，解得0<x<e；令所以φx=lnxx所以當(dāng)x=e時(shí)，φx=由φ1=0，得當(dāng)x∈0,1當(dāng)x∈1,+

所以當(dāng)a+1∈0,1e，即?1<a<1e證明：不妨設(shè)0<x1兩式相加得lnx1x所以lnx要證x1?x即證lnx設(shè)t=x2x則F'所以函數(shù)Ft在1,+∞上單調(diào)遞增，且所以Ft>0，即所以x1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，常用解決策略是根據(jù)lnx1=a+1x1lnx2=a+12.（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)y=f'x(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)【答案】(1)(2,+(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）fx該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由f'所以直線y=a與函數(shù)gx由gx當(dāng)x∈0,1時(shí)，g當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，g'當(dāng)x→0時(shí)，gx→+∞，當(dāng)x→+如下圖所示：所以要想有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需a>2，即a的取值范圍為(2,+∞（2）因?yàn)閤1,x所以f'x1=f要證明x1+x2>2由（2）可知：當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，gx而gx1=g即證明函數(shù)?x=gx由?x顯然當(dāng)x∈0,1時(shí)，?'x所以當(dāng)0<x<1時(shí)，有?x>?1=0，所以當(dāng)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：常變量分離構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解證明是解題的關(guān)鍵.3.（21-22高三上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知函數(shù)f(x)=e(1)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分類(lèi)討論即可求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性后再求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閒(1)=1≠0，所以1不是f(x)的零點(diǎn)．當(dāng)f(x)=ex?1?a(x?1)=0令g(x)=ex?1x?1，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線y=a因?yàn)間'(x)=ex?1(x?2)(x?1)2所以g(x)在(?∞,1),(1,2)上單調(diào)遞減，在因?yàn)間(2)=e，且當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，所以當(dāng)a∈[0,e)時(shí)，f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a∈(?∞,0)∪{e}時(shí)，當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí)，（2）證明：由（1）知，當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí)，設(shè)x1<x由ex1?1所以x1?x令?(x)=x?ln(x?1),x∈(1,+∞易得?(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞要證x1+x因?yàn)閤2>2,4?x1>2，且?(x)因?yàn)?x1=?令F(x)=?(x)??(4?x)=x?ln則F'所以F(x)在(1,2)上單調(diào)遞減．因?yàn)镕(x)>F(2)=0，所以?(x)??(x?4)>0．因?yàn)閤1∈(1,2)，所以?x4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函數(shù)f(x)=1（1）若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x【答案】（1）a≤3；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為f'(x)≥0在（2）由極值點(diǎn)的概念結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得0<x1<2<【詳解】解：（1）易知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，由題意知f'(x)=x22令g(x)=x24當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)>0，當(dāng)0<x<2時(shí)，g'(x)<0，所以當(dāng)x=2時(shí)，g(x)有最小值g(2)=3，所以a≤3；（2）因?yàn)閒'(x)=x22設(shè)g(x)=則g(x1)=g(x2)，且所以可令，0<x令?(x)=g(2+x)?g(2?x)，x∈(?2,0)．則?因?yàn)?x∈(?2,0)，所以?'(x)<0，所以?(x)上在(?2,0)所以x∈(?2,0)時(shí)，?(x)=g(2+x)?g(2?x)>?(0)=0．又x1∈(0,2)所以?(x所以g(x因?yàn)閤1<2，4?x1>2，x所以x2>4?x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)說(shuō)明單調(diào)性，進(jìn)而可得g(x2)>g(4?x11．（22-23高三上·天津和平·期末）設(shè)函數(shù)f(x)=xex?eA．0,2 B．0,2 C．2,+∞ D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先得x=0是函數(shù)gx=fx?ax的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)gx=fx?ax=0時(shí)，a=f【詳解】由題知，f(x)=xex因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，g(0)=f(0)?0=0，所以x=0是函數(shù)gx又當(dāng)gx=fx所以當(dāng)x≠0時(shí)，y=a與y=f由于y=f當(dāng)x>0時(shí)，y=e所以函數(shù)y=fxx當(dāng)x<0時(shí)，y=?x?4當(dāng)y'=4?當(dāng)y'=4?所以當(dāng)x∈(?∞,?2)時(shí)，y=fxx所以當(dāng)x<0時(shí)，y有最小值為?2，所以y=f由圖可知，若y=a與y=fxx故選：B2．（2020·重慶·一模）已知fx為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f'x+fA．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)gx=xfx+1，討論x≠0、x<0或x>0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)gx【詳解】構(gòu)造函數(shù)gx=xfx+1，其中當(dāng)x≠0時(shí)，f'當(dāng)x<0時(shí)，g'此時(shí)，函數(shù)gx單調(diào)遞減，則g當(dāng)x>0時(shí)，g'此時(shí)，函數(shù)gx單調(diào)遞增，則g所以，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)x當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)x綜上所述，函數(shù)Fx故選：A.3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函數(shù)fx=xlnA．0,1 B．1,2C．2,3 D．3,4【答案】B【分析】由題可得函數(shù)在(1,+∞)上為增函數(shù)，又f1【詳解】∵fx=xln由f'x=1+lnx=0得，x=1當(dāng)0<x<1時(shí)，fx=xln故fx的零點(diǎn)所在的區(qū)間是1,2故選：B4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝2x＋x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【詳解】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.5．（20-21高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）函數(shù)fx=e【答案】2【分析】結(jié)合y=e【詳解】fx畫(huà)出y=ex與當(dāng)x>?1時(shí)，y=x+1ex'=ex，所以在曲線y=ex由圖可知y=ex與y=x+1故答案為：2

6．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+mx+nex【答案】2【分析】由函數(shù)fx有兩個(gè)不同零點(diǎn)可得m2?4n>0【詳解】令fx=0，則x2+mx+n=0，由題意知f'x=x2即Δ2=m所以函數(shù)fx故答案為：2.7．（23-24高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)求函數(shù)fx在?2,2(3)設(shè)gx=fx?a在【答案】(1)x+y?4(2)單調(diào)增區(qū)間為?2,0，單調(diào)減區(qū)間為0,2；最大值為1，最小值為?17(3)?1【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由f'x>0（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求出a的范圍.【詳解】（1）由題意知f1=13?1+1=13，f'x=x（2）由f'x=x2?2x=x(x?2)得，當(dāng)x∈(?2,0)時(shí)，f'x>0，所以函數(shù)fx在所以函數(shù)fx在?2,2上的單調(diào)增區(qū)間為?2,0，單調(diào)減區(qū)間為0,2所以fxmax=f(0)=1，又f(?2)=?所以fx（3）gx=fx?a在由（2）知?11．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=ax+A．?1,3 B．?3,1 C．3,+∞ D．【答案】A【分析】令gx=ax+x2所以方程gx=m±2有2個(gè)根，而m+2>m?2，所以m+2>1且m?2<1，即可得到【詳解】令gxg'①當(dāng)a>1,x∈0,+∞時(shí)，lna>0,則函數(shù)gx在x∈x∈?∞,0時(shí)，ln則函數(shù)gx在x∈②當(dāng)0<a<1時(shí)，x∈0,+∞,lna<0,則函數(shù)gx在x∈當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，ln則函數(shù)gx在x∈故當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，gx在x<0時(shí)遞減；gx在則x=0為gx的極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，且最小值g又函數(shù)fx=g而m+2>m?2，所以m+2>1且m?2<1，解得m∈?1,3故選：A.2．（20-21高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=lnxA．(–1e2，0) B．(–C．(–1e2，0]∪(1，+∞) D．(–【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，fx=e當(dāng)x∈?∞,?2時(shí)，f'x<0，fx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈畫(huà)出fx函數(shù)g(x)=f(x)?b有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于y=fx與y=b由圖可知?1e2故選：C.3．（2023·吉林·一模）已知函數(shù)fx=exx?1,x>0且【答案】1?【分析】利用導(dǎo)數(shù)求fx單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)圖像，由gx零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為【詳解】當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f'x=當(dāng)0<x<2且x≠1時(shí)，f'x<0；當(dāng)x>2故fx在0,1，1,2上單調(diào)遞減，在2,+當(dāng)x=2時(shí)，fx取得極小值f0<x<1時(shí)，fx<0；x>1由fx解析式可知，fx為奇函數(shù)．畫(huà)出令gx=0得f2得關(guān)于t的方程t2Δ=m2+4e當(dāng)t1=?e2，當(dāng)?e2<方法一：令?t=t2?mt?故0<m<e4?1綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1?e方法二：（*）式化為m=t?e4t易知y=?t在?∞,0且?1=1?e4，其圖象大致如圖：當(dāng)0<m<e4?1或1?e4綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1?e【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.通過(guò)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.4．（2023·天津河北·一模）設(shè)k∈R，函數(shù)fx=kx2?x+1,x<0【答案】e【分析】分析可知f0≠0，令gx=1x?1x【詳解】因?yàn)閒x=k當(dāng)x<0時(shí)，由fx=0可得kx當(dāng)x>0時(shí)，由fx=0可得ex令gx=1x?當(dāng)x<0時(shí)，g'x=?當(dāng)x>0時(shí)，g'x=exx?1x2，由所以，函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以，函數(shù)gx的極小值為g且當(dāng)x<0時(shí)，gx=1x?由圖可知，當(dāng)k>e時(shí)，直線y=k與函數(shù)gx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是e,+故答案為：e,+5．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)求函數(shù)y=fx(3)若函數(shù)gx=fx?b在區(qū)間【答案】(1)2x?y?1=0(2)單調(diào)遞增為?∞,0，23,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)?3,【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；（3）結(jié)合（2）的單調(diào)性結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）f'(x)=6x故曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程y?1=2(x?1)，即（2）由（1）可知，f'所以當(dāng)x>23或x<0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)所以函數(shù)的單調(diào)遞增為?∞,0，23當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得極大值f(0)=1，當(dāng)x=2（3）令函數(shù)gx=fx所以函數(shù)gx=fx等價(jià)于圖象fx與直線y=b在區(qū)間?1,1由（2）可知，函數(shù)y=fx在?1,0，23,1且f(?1)=?3,f(1)=1，畫(huà)出圖象y=fx由圖可知，當(dāng)?3≤b<1927時(shí)，圖象fx與直線y=b故實(shí)數(shù)b的取值范圍為?3,196．（22-23高三上·天津·期中）已知函數(shù)fx=x3+a(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)gx【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)m=?1或m【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得fx=x（2）由題意得到gx=x【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)f(x)=x3+a因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+a且在x=可得f(1)=2f'(1)=4解得a=1,b=?1,c=1，

所以fx可得f'令f'x=0，解得x解f'x>0，得x<?1或x>1解f'x<0，得?1<x<1所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是?1,13；單調(diào)遞增區(qū)間是?（2）解：由（1）得，gx則g'當(dāng)x=?1或當(dāng)x<?1或x>13當(dāng)?1<x<13時(shí)，f所以，函數(shù)gx在x=?要使得gx有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿(mǎn)足g?1=即m+1=0或m?527=所以m的取值范圍為m=?1或m=7．（21-22高三上·天津東麗·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax3?6（1）若a=2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若a=?4，求函數(shù)在區(qū)間[?2,3]的最值；（3）若f(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）f(x)的增區(qū)間是(?∞,0)和(2,+∞)，減區(qū)間是(0,2)；（2）最大值是9，最小值是?161；（3）(?42【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，由f'（2）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在[?2,3]上單調(diào)性得極值，并計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)