2023-2024學年廣西示范性高中高一年級下冊期末考試數(shù)學試卷+答案解析

2023-2024學年廣西示范性高中高一下學期期末考試數(shù)學試卷?

一、單選題：本題共9小題，每小題5分,共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列各對角中終邊相同的是（）

A*和?D.華吟

c?苧呼

2.對于aeR，下列等式恒成立的是（)

A.tan(7r+a)=tan(27r—a)B.cossina

C.cos(—a)=—cosaD.sin(37r—a)=sina

3.在△48。中，角4,月,。對邊為Q,b,c,且2c-=b+c,則△48。的形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

4.已知sin(a=I，貝ijcos(2a—學)=()

AlBTD-4

5.如圖，在△48。中,AD=2DC)右BA—~ct，B(i=b>則Bl5=()

2.

A.才+2號B.下+C.+D.—a+

oo

7T\7T

x+-\,xE--,0的值域是()

(3

-11\/3V3

A.B.字】D.-----.1

5」5萬2，

7.如圖，△406的斜二測畫法的直觀圖是腰長為3直的等腰直角三角形，“軸經(jīng)過AE的中點，則

\AB\=（）

B'

A.6B.3\/6C.12D.6A/6

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8.設(shè)a,b為兩條不同的直線，a,0為兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若。〃。,〃/a,貝!]a〃b

B.若0/a,〃/a,aUU0,則0〃a

C.若a〃0,a(Za,則a〃戶

D.若a〃仇〃/a,貝!j〃/0

9.如圖，在三棱柱71bBic1中，E,F,G,H分別為BBi，CCX,小耳，4G的中點，則下列說

法錯誤的是()

C.EG,FH,441三線共點D.NEGBi=NFHCi

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

10.下列各組向量中，能作為基底的是()

A.瓦=(0,0),屆=(1,-2)B.瓦=(2,—3),否=(51)

C.瓦=(3,5),謖=(6,10)D.e?=(-1,2),謖=(5,7)

7T

11.已知函數(shù)/(/)=-2sin(2a；+s)(—7T<?<0),將函數(shù)/(為圖象向右平移l個單位長度后所得的函數(shù)

圖象過點尸(0,2),則函數(shù)/⑶=—2sin(2x+⑴滿足()

A.信。)是/⑺的一個對稱中心B.在區(qū)間上單調(diào)遞增

C./=-37r是/(2)的一條對稱軸D.在區(qū)間―一57,r一方27r上單調(diào)遞減

OOo

12.已知△ARC的內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為a、6、c,下列說法正確的是()

A.若sinA〉sinB,則4〉_B

B.若川+昭―02〉0,則△ABC一定是銳角三角形

C.若acosB—bcosA=c,則△AB。一定為直角三角形

D.若acos4=bcosB,則△48。一定是等腰三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

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13.已知向量定=(%—2),了=(1,3)，若記上了，則沙=.

14.已知角a的終邊經(jīng)過點(1,272)，則sin(2a+§=

15.在△48。中，內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a,b,c,/為銳角，tanBcos(7=1—sinC,△46。的

面積為2,則△ABC的周長的最小值為.

7T

16.已知函數(shù)/(2)=2。。§2工—2\/9sin/cos;r—a,若不等式/(工))0對任意的①C0,—都成立，則實數(shù)a

的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

4

已知sinO=E，。為第二象限角.

5

⑴求sin2。的值；

⑵求cos0—的值.

18.(本小題12分)

已知1=(1,0),b=(2,1).

(1)當先為何值時，卜方—日與3垂直？

⑵若林=21+33，后苫=1+機3且&B、C三點共線，求加的值.

19.(本小題12分)

△ABC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bcosA=ccosA+acosC

⑴求/;

(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.

20.(本小題12分)

在正方體48。?！?81Goi中，￡為棱場6的中點，/為棱。Qi的中點.

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(2)求異面直線EF與AOi所成角的大小.

21.(本小題12分)

某校開展數(shù)學專題實踐活動，要求就學校新建的體育館進行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分

工調(diào)查測量并繪圖，完成兩個任務(wù)的研究.

(1)小王獲得了以下信息：

⑶教學樓AB和體育館CD之間有一條筆直的步道BD；

b.在步道8。上有一點測得M到教學樓頂/的仰角是45°，到體育館樓頂。的仰角是30°;

C.從體育館樓頂C測教學樓頂/的仰角是15°；

d.教學樓N3的高度是20米.

請幫助小王完成任務(wù)一：求體育館的高度CD.

A

BMDND

(2)小李獲得了以下信息：

a.體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；

6.大屏幕的高度是2米；

C.當觀眾所站的位置N到屏幕上下兩端尸，。所張的角NPNQ最大時，觀看屏幕的效果最佳.

請幫助小李完成任務(wù)二：求步道上觀看屏幕效果最佳地點N的位置.

22.(本小題12分)

如圖，在正方體48co—小耳。1口中，E為DDi的中點.

⑴求證：平面/EC；

(2)CG上是否存在一點凡使得平面平面BROi?若存在，請確定點尸的位置；若不存在，請說明

理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合形式即可判斷各選項.

【詳解】對于ag=47T—其終邊與一J的終邊相同，與J的終邊不相同，/錯；

227r27r27r7T

對于3,早=8TT—等，其終邊與―?的終邊相同，與一可的終邊不相同，B錯;

333J

對于C,T117f=27T—g77r,其終邊與的77r終邊相同，C對；

對于。，迎=67+列，其終邊與列的終邊相同，與5的終邊不相同，D錯.

3336

故選：C

2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)誘導公式化簡即可.

【詳解】對于/，tan(7r+a)=tana,tan(27r-a)=tan(-a)=-tana,故N錯誤；

對于3,cos—a)=cos(2n-=cos(—￡—a)=cos(^+a)=—sina,故B錯誤；

對于C,cos(-a)=cosa,故C錯誤；

對于Z),sin(37T-a)=sin(7r—a)=sina,故Z)正確.

故選：D.

3.【答案】B

【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡COS21,根據(jù)余弦定理化簡得到c2=a2+M即可得到答案.

【詳解】因為2c?0^9=6+C,

所以2c?1"+c,gpc+ccosA=b+c,

所以ccos4=b，

在△46。中，由余弦定理：cos/J+c-2,

2bc

代入得，c?''：----=b，即/+。2—Q2=2〃，

2bc

所以c2=a2+P

所以△ABC直角三角形.

故選：B

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4.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)誘導公式及二倍角的余弦公式求解即可.

故選：D.

5.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)瓦方=點記，前=百4+彳方,前=瑟—瓦?即可求解.

O

【詳解】因為40=2。。，所以4方=點記，

O

所以加=51+起=2+115=/+:（阮—即）=;才+:了.

故選：C.

6.【答案】A

7T

【解析】【分析】由X的范圍，可得x+w的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進而求出函數(shù)的值域.

O

7T7T

【詳解】因為ze--,0,所以C+QC-

/O6'3

7T-IF7T

因為函數(shù)1=cos/在一工,0上遞增，°，3上遞減,

6J[3

▽（TT\_V^門一i7r_1所以cos(c+1-1

cosI——I——-—,cosU—1,cos———,e2J

\67232

即ge11.

故選：A.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查投影與斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題.

先將直角坐標系中的原圖作出，再比對直觀圖與原圖直接求出即可.

【解答】

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由題意得△/o口的原圖如圖所示，其中。為的中點，且|。川=3班，

|。。=空逑義2=6，

所以|AD|=J|04『+=3遍,故|4引=2|AD|=6遍.

故選：D.

8.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定與性質(zhì)，以及面面平行的判定與性質(zhì)，逐項判定，即可

求解.

【詳解】對于/中，若a〃佻〃/a,則a〃伉。與6相交或異面，所以N錯誤

對于3中，若?！╝,6〃a,aU0,6U0,則0〃a或a與。相交，所以3錯誤；

對于C中，若a〃仇aUa,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得a〃0,所以C正確；

對于。中，若于/0,b〃a,則〃/0或6U0,所以。錯誤.

故選：C

9.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查空間中的共面、共點問題及直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)空間中的共面、共點及直線與直線的位置關(guān)系相關(guān)定理判斷即可.

【解答】

解：選項4如圖，

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p

連接￡RGH.

GH是△4歷。1的中位線，，GH//B.C,.

■:B'E"CiF,且BiE=GF,.?.四邊形BiEFG是平行四邊形，

:.EFHB'Ci，：.EF//GH,,-,E,F,G,X四點共面，故/、3正確；

對于選項C,如圖，延長EG,尸〃相交于點P.

■.PeEG,EGu平面ABBA，

Pe平面

:PeFH,FHC^ACCiAi，

e平面4CG4，

?.?平面ABBAn平面4CG4=44，

：.PEAAX,.-.EG，F(xiàn)H,441三線共點，故C正確；

對于選項。，?.?EBi=FCi，當時，NEGB#/FHCi，故。錯誤.

故選D

10.【答案】BD

【解析】【分析】兩個向量若不共線即可作為一組基底，所以找出不共線的向量組即可.

【詳解】只要兩個向量不共線，即可作為基底向量

對于/,因為胃=(0,0),謖=(1,一2),所以O(shè)x(-2)-0義1=0,則瓦，五共線，故/不符合；

對于3,因為瓦=(2,—3),謖=K1),所以2x,—(―3)義：=3壬0,則則瓦，屬不共線，故3符合;

4，42

對于C,因為胃=(3,5),e^=(6,10),所以左=2H，則則瓦，段共線，故C不符合；

對于。，因為百=(—1,2),謖=(5,7),所以一1x7—2x5=-17#0,則則瓦，謖不共線，故。符合;

故選：BD.

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11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得平移后的解析式為沙=-2sin(2;r-g+s),由P(0,2)在其圖象上可求

8=磊故/⑵=-2sin(2一力,由可以判斷4結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷8、D,

7T7T7T

/=一7時，2rc可以判斷。.

662

【解答】

解：將函數(shù)/⑶圖象向右平移:個單位長度得到沙=-2sin2?！?+s=—2sin(2x—g+—的圖象,

又其圖象過點P(0,2),所以2=—2sin(—5+9),得sin(―g+()=—1.

.4TT7T7T

因為一7T<g<0,所以--—<——+,

OOO

7T7T7T

所以_Q+9=_W，解得9=一/，

所以/⑶=—2sin(2c-')

對于小/t)——2疝(2*力力=。，

所以信，°)是/⑶的一個對稱中心，故/正確；

，一7T7T7T7T

對于8,XE—,—時，2x——E,

63J6|_62

7r\pzr7T

2力一又在區(qū)間上單調(diào)遞增，

(6/163J

(7T\7T7T

所以/Q)=—2sin(2c—g)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故8錯誤；

,7T,7T7T

對于C,力=一K時，2a;——=——,

662

7T

所以力=-W是/(/)的一條對稱軸，故C正確;

57r生7T■U7T37r

對于，xe,2x---e

~~6'~~36___

■

117T3%'3/

因為c—2小

不一一萬

所以。=2sin(2力-在區(qū)間——,——上單調(diào)遞增,

\6/63

第9頁，共15頁

所以/⑶=—2sin(2c—在區(qū)間—萼,―,上單調(diào)遞減，故。正確.

\6/163」

故選ACD.

12.【答案】AC

【解析】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合已知可得a〉b，即可得出N;8根據(jù)余弦定理只能得出C為銳角，無

法判斷/、3的情況；根據(jù)余弦定理角化邊，結(jié)合已知整理，即可判斷C、。項.

【詳解】對于/項，由正弦定理，=&可得，'空>1，所以a〉b，所以4〉8,故/項正

smAsmBbsmB

確；

對于3項，由余弦定理可得cosC=>+—一<”〉0,所以。為銳角，但無法判斷4月角，故8項錯誤；

2ab

對于。項，由余弦定理COSB=浸十°2—"以及cos」=?+2—02,代入已知整理可得，a2=c2+62,

2ac2bc

所以△力一定為直角三角形，故C項正確；

對于。項，由余弦定理COSB"以及cos若=：+。2一層,代入已知整理可得，

2ac2bc

(a2-62)(a2+62-c2)=0,所以於—解=0或后+y一,2=0,所以△48。為等腰三角形或直角三角形,

故。項錯誤.

故選：AC.

13.【答案】6

【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得歹的值.

【詳解】因為向量才=("—2),7=(1,3)，W了，

所以才?了=沙一6=0,解得沙=6.

故答案為：6.

14.【答案】—；

【解析】【分析】根據(jù)誘導公式、二倍角的余弦公式及三角函數(shù)定義求解.

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點(1,2班)，

所以c°sa=/4，

27

所以sin(2a+—7r)=cos2a=2cos2a-1=--1=-

299

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故答案為：—（7

15.【答案】4+2^2

【解析】【分析】

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式、三角形面積公式，基本不等式求最值，屬于中檔題.

7T7T

由三角恒等變換公式求得。=5或3+。+3+5=汗，然后分情況討論，結(jié)合面積求得質(zhì)=4,利用基

本不等式即可求解.

【解答】

sin

解：由tanBcosC=1—sinC,得...-cos。=1—sin。，sinBcosC+cosBsinC=cosB,

cosB

71"7F7T"

sin（B+C）=cosB=sin（B+-）,故或j3+C+5+w=7r,

7T"71-7T

若28+。=萬，則8+。<]，A>-,不合題意，

7T1._________

所以。二5,S/\ABC=、ab=2,ab=4,△AB。的周長為a+b++〃,

因為a+b+，Q2+1》2y/ab+V2ab=4+2，萬（當且僅當a=b=2時取等號），

所以△45。的周長的最小值為4+2%/2,

故答案為4+2^2.

16.【答案】（—00,—1]

【解析】【分析】首先逆用兩角和差公式化簡函數(shù)表達式，從而原題條件等價于2cos（2/+,）+12a恒

成立，構(gòu)造函數(shù)求出表達式左邊的最小值即可得解.

【詳解】由題意/（力）=2cos之力—2Vsin力cos1—a=cos2x—\/3sin2x+1—a=2cos+1

7T

—a》0,對任意的ce0,-都成立，

即2cos（2x+—j+12Q對任意的力E7T

0,-都成立,令9（立）=2cos（2/+g+1,

7T7T7T47r

而對任意的①eo,-,有2力+可￡

乙OOO

7T7T/7T\

所以當2c+可=7F,即立=3時，g（c）min=g（可）=—2+1=—1,

OO\O/

所以Q<~1.

綜上，實數(shù)〃的取值范圍為（-00,-1].

故答案為：（-00,-1].

第11頁，共15頁

4

17.【答案】解：(l)?.?sinJ=p,。為第二象限角,

5

3

5

424

則sin2。=2sin0cos0=2x-x

525；

7T7T7T

(2)cos(8----)=cos0cos—+sin0sin—

666

3V3414-373

—x1—X——------,

525210

【解析】本題考查三角函數(shù)的同角公式、二倍角公式以及兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)結(jié)合已知得出cos。，即可根據(jù)二倍角的正弦公式代入數(shù)值得出答案;

(2)根據(jù)兩角和差的余弦公式代入數(shù)值得出答案.

18.【答案】解：⑴

a=(1,0),b=(2,1),

ka—b—(k—2,—1)?

又那一萬與3垂直，得2(k—2)—1=0,即卜=3

⑵

Al^—2a+3b—(8,3)>B6—a+mb=(1+2m,m),

-.-A，B、C三點共線，.?.加〃月H，

則8m—3(1+2加)=0,解得：m=|.

【解析】【分析】(1)先利用向量坐標運算求出卜萬-6與日的坐標，再利用垂直可求公

(2)先利用向量坐標運算求出彳友A5，利用向量平行可求m.

19.【答案】解：(1)根據(jù)正弦定理及2bcos4=ccosZ+QCOS。，

得2sin3cosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.

?/sinB^O,cosA=1.

第12頁，共15頁

,47T

*/0<A<7r,4=可.

o

7T

(2)由(1)知A=w，又Q=4,

o

由余弦定理得16=62+c2-26ccos7T-,

o

即b2+c?—be=16，

'：62+c22bc，

：,2bc—beW16,即beW16,

當且僅當b=c=4時取等號.

二.S/\ABC=-besinA=—x6cWx16=4A/3?

.S^ABC的最大值為4y/3.

【解析】本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，是中檔題.

(1)由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案；

(2)由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得be<16,再利用三角形面積公式求得答案.

20.【答案】⑴連接耳鼻，

?.?E為棱BiCi的中點,尸為棱。1G的中點，」.EF/ABiOi

?.?正方體ABC。-/.BBi=DD\,BBWDD\

二四邊形BBpDiO是平行四邊形，BD//BXDX,

：.BD//EF,BD,EF確定一平面.

二E、F、B、。四點共面；

⑵由⑴得〃為Di

N40181或補角為異面直線M與所成角，

7T

在△40161中，ADI=DjBi=BiA,ZADiBi=-

o

7T

二異面直線即與ADI所成角為示

【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理和平行線的傳遞性，可證EJ7/BO,即可推證結(jié)論；

(2)由直線間的平行關(guān)系，可得異面直線即與所成角就是角乙4。14.

本題考查點共面，關(guān)鍵要對確定平面的條件要熟練掌握;考查空間角，空間角用幾何法求，要體現(xiàn)作、證、

算三步驟.

第13頁，共15頁

21.【答案】解：⑴

由題意知48=3"=20，ABLBM，由勾股定理得4兒f=7二I港=20班，

且可知AAMC=180°-45°-30°=105°.

AACM=15°+30°=45°。Z,CAM=180°-105°-45°=30°,

由正弦定理可得生2=坐二今MC=200CD=20sin30°=10,

sin45°sin30°

則體育館的高度CD為10米.

4