2024-2025學年山西省大同某中學九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

2024-2025學年山西省大同一中南校九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

一、選擇題（每題3分共30分.在每個小題的四個選項中，只有一個最符合題意，請將正確的答案選項

填入答題卡相應(yīng)的位置.）

1.（3分）方程（x-3）（2x-4）=0的根是（）

A.xi=-3,X2=2B.xi=3,X2=2

C.xi=3,X2~~~2D.xi=-3,X2=2

2.（3分）拋物線y=（x-3）2+5的開口方向、頂點坐標分別是（）

A.開口向上；（-3,5）B.開口向下；（-3,-5）

C.開口向上；（3,5）D.開口向下；（3,-5）

3.（3分）解方程2x（5x-I）-3（5x-1）=0最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ?/p>

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

4.（3分）拋物線y=-X2+4X+3的對稱軸是（）

A.x=2B.x~~~2C.x=4D.x=-4

5.（3分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某

校積極開展全民閱讀活動，在各班建立圖書角.據(jù)統(tǒng)計，九（10）班第一周參與閱讀128人次，到第三

周累計參與閱讀608人次.若閱讀人次的周平均增長率為x,則可得方程（）

A.128（1+x）=608

B.128（1+x）2=608

C.128（1+x）+128（1+x）2=608

D.128+128（1+x）+128（1+x）2=608

6.（3分）關(guān)于x的一元二次方程，+2分+02-i=o的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根

D.實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)。的取值有關(guān)

7.（3分）如表給出了二次函數(shù)y=ax2+6x+c（cWO）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值，那么方程a^+bx+c

=0的一個根的近似值可能是（）

X…11.11.21.31.4???

第1頁（共19頁）

y.??10.49-0.04-0.59-1.16???

A.1.09B.1.19C.1.29D.1.39

8.（3分）若點/（-4,yi）,5（-1,二），C（1,井）在拋物線^=-A（x+2）2-1上，則（）

2

A.yi<y3<y2B.y2<yi<y3C.ys<y2<yiD.y3<yi<y2

9.（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如表：

?????

X.-5-4-3-2-10

y???40-2-204???

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.二次函數(shù)的最小值是-2

C.當x>-3時，了隨x的增大而增大

D.拋物線的對稱軸是直線x=

2

10.（3分）如圖，拋物線h：y=ax2+bx+c（aWO）與x軸只有一個公共點/（1,0）,與夕軸交于點8（0,

2）,若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線心，則圖中兩個陰影部分的面積和為（）

二、填空題（本大題共5小題，每題3分共15分）

II.（3分）方程3（x+2）=x（x+2）的解為.

12.（3分）二次函數(shù)-2x-3的頂點坐標是,與y軸的交點坐標是.

13.（3分）汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）關(guān)于行駛的時間x（單位：s）的函數(shù)解析式是：s=15x

-6/,汽車剎車后前進了米才能停下來.

14.（3分）三角形的兩邊長分別是3和4,第三邊長是方程x2-13x+40=0的根，則該三角形的周長

為.

第2頁（共19頁）

15.(3分)如圖，拋物線y=-^x2號X+2與X軸交于/、3兩點,尸為拋物線對稱軸上動點，則E4+PC

三、解答題(本大題共8小題，共75分)

16.解下列方程：

(1)2f+4x-8=0；

(2)X2-4V2X+6=-2;

(3)2/+5x-3=0.

17.已知關(guān)于x的一元二次方程/+2加什"--4=0.

(1)求證：無論加為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)若該方程的兩個根為p和q,且滿足兇-〃-q=0,求〃?的值.

18.如圖，直線力=-x-2交x軸于點/,交＞軸于點2,拋物線》=a/+6x+c頂點為/,且經(jīng)過點反

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求當時，x的取值范圍.

19.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，進價為每頂40元，售價為每頂68元，每頂

售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周的銷售量為y頂.

(1)每頂頭盔降價x元后，每頂頭盔的利潤是元(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)平均每周的銷售量y(頂)與降價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式是；

(3)若該商店希望平均每周獲得4000元的銷售利潤，則每頂頭盔應(yīng)降價多少？

第3頁(共19頁)

20.如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45加），用79加長的籬笆圍成一個矩形場地（用其他材料）.設(shè)

AB=xm,矩形N5CZ）的面積為y

（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?

（3）當x為何值時，矩形場地的面積最大？最大值為多少平方米？

下面是小宇同學的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù):用函數(shù)觀點認識一元二次方程根的情況,

我們知道2+6X+C=0（a=0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)yuad+bx+c（aWO）的圖象與x軸交點的橫坐

標.拋物線與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、無交點.與此相對應(yīng)，一元二次方程

的根也有三種情況：有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、無實數(shù)根.因此可用拋物線與x軸

的交點個數(shù)確定一元二次方程根的情況.

下面根據(jù)拋物線的頂點坐標（上，超土）和一元二次方程根的判別式A=戶-4四分別分。>0

2a4a

和兩種情況進行分析：

（z）a>0時，拋物線開口向上：

①當△=廬_4ac>0時，<4ac-b2<0.

"：a>0,

...頂點縱坐標數(shù)也

4a

???頂點在X軸的下方，猶物線與X軸有兩個交點（如圖①）.

，一元二次方程辦2+6%+。=0（QWO）有兩個不相等的實數(shù)根.

②當A=b2-4。。=0時，有4ac-b2=0.

...頂點縱坐標丘￡=0.

4a

頂點在X軸上，拋物線與X軸有一個交點（如圖②）.

，一元二次方程辦2+6%+。=0（QWO）有兩個相等的實數(shù)根.

③當A=b2-4ac<0時，…

第4頁（共19頁）

(z7)a<0時，拋物線開口向下：…

任務(wù)：

(1)請參照小論文中當。>0時①②的分析過程，寫出(萬)中當一元二次方程根的情況的分

析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；

(2)實際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)觀點來認識，請你再舉出一

例?

22.如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12n7,拋物線可以用y=-12+6x+c表示,

6

且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時，到地面OA的距離為工L

2

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂。到地面的距離；

(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6小，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道

(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8〃?

23.如圖，已知二次函數(shù)yuad+fcr+S的圖象交x軸于點/(1,0),B(3,0),交y軸于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式：

(2)點尸是直線3c下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值，并求出此時點尸的坐標.

第5頁(共19頁)

第6頁（共19頁）

2024-2025學年山西省大同一中南校九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分共30分.在每個小題的四個選項中，只有一個最符合題意，請將正確的答案選項

填入答題卡相應(yīng)的位置.）

1.（3分）方程（%-3）（2x-4）=0的根是（）

A.xi--3,X2~~一2B.=3,%2=2

C.xi—3fX2~~一2D.xi-—3,12=2

【解答】解：（X-3）（2x-8）=0,

x-3=6或2x-4=6,

xi=3,xj=2,

故選：B.

2.（3分）拋物線》=（x-3）2+5的開口方向、頂點坐標分別是（）

A.開口向上；（-3,5）B.開口向下；（-3,-5）

C.開口向上；（3,5）D.開口向下；（3,-5）

【解答】解：拋物線y=（x-3）2+4的開口向上，頂點坐標是（3.

故選：C.

3.（3分）解方程2x（5x7）-3（5x7）=0最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ?/p>

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

【解答】解：方程可化為（5x7）（8x-3）=0,

因此因式分解法最為合適.

故選：D.

4.（3分）拋物線y=-，+4x+3的對稱軸是（）

A.x=2B.-2C.x=4D.x—~4

【解答】解：根據(jù)題意可得拋物線夕=-X2+4X+6中的。=-1,6=4,

?b4

3a2X（-6）”

，拋物線了=-f+4x+3的對稱軸是直線x=2,

故選：A.

5.（3分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某

第7頁（共19頁）

校積極開展全民閱讀活動，在各班建立圖書角.據(jù)統(tǒng)計，九(10)班第一周參與閱讀128人次，到第三

周累計參與閱讀608人次.若閱讀人次的周平均增長率為x,則可得方程()

A.128(1+x)=608

B.128(1+x)2=608

C.128(1+x)+128(1+x)2=608

D.128+128(1+x)+128(1+x)2=608

【解答】解：根據(jù)題意得：128+128(1+x)+128(1+x)3=608.

故選：D.

6.(3分)關(guān)于x的一元二次方程一+2辦+02-1=0的根的情況是()

A.沒有實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根

D.實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)。的取值有關(guān)

【解答】解：：A=(2a)2-6X1X(a2-3)

=4/-2a2+4

=2>0.

關(guān)于x的一元二次方程/+8ax+02-1=5有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：C.

7.(3分)如表給出了二次函數(shù)y=a/+bx+c(cW0)的自變量x與函數(shù)值j的部分對應(yīng)值，那么方程ax2+bx+c

=0的一個根的近似值可能是()

X???ii.i1.21.31.4???

y.??i0.49-0.04-0.59-1.16???

A.1.09B.1.19C.1.29D.1.39

【解答】解:Vx=l.ly=ax6+bx+c=0.49；x=1.72+bx+c=-0.04；

拋物線y=ax5+bx+c與x軸的一個交點在(1.1,5)和點(1.2,

，方程axs+bx+c=0有一個根在1.3-1.2之間.

故選：B.

8.(3分)若點4(-4,yi),B(-1,/)，C(1,y3)在拋物線>=-A(x+2)2-1上，則()

2

A.yi<y3<y2B.y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.y3<yi<y2

第8頁(共19頁)

【解答】解：j；i=-1(-4+2)2-1=-3,

7

歹8=-—(-4+2)2-7=-—,

22

y6=~—(3+2)2-7=-AL,

22

則y3<y6<y2^

故選：D.

9.（3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)/的對應(yīng)值如表:

X.??-5-4-3-2-10???

.??.??

y40-2-204

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.二次函數(shù)的最小值是-2

C.當x>-3時，y隨x的增大而增大

D.拋物線的對稱軸是直線x=-9

2

【解答】解：

*.*當x=-4或x=-1時，y=8,y=4,

"16a-4b+c=2fa=7

:b+c=O，解得<b=5,

,c=4c=4

.*.y=x6+5x+4=（x+2）2--,

24

拋物線開口向上，對稱軸為直線X=-反9,當X>-當時，

242

故選：D.

10.（3分）如圖，拋物線z：y=a/+bx+c（°#0）與x軸只有一個公共點/（1,0）,與了軸交于點2（0,

2）,若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線七，則圖中兩個陰影部分的面積和為（）

第9頁（共19頁）

【解答】解：如圖所示,

過拋物線上2的頂點。作CQ〃x軸，與歹軸交于點C,

則四邊形OCD4是矩形，

.?,拋物線￡1：y=ax5+bx+c(qWO)與％軸只有一個公共點4(1,6),2),

：?OB=2,04=2,

將拋物線Lx向下平移兩個單位長度得拋物線上，則AD=OC=6,

根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對稱性得到陰影部分的面積等于矩形OCD4的面積,

S陰影部分=S矩形OCDA~OA*AD—1X2=2.

故選：B.

二、填空題(本大題共5小題，每題3分共15分)

11.(3分)方程3(x+2)=x(x+2)的解為.=-2,刀=3.

【解答】解：原方程可化為：x(x+2)-3(x+2)=0；

?*.(x+2)(x-8)=0；

.*.x+2=3或x-3=0；

解得:X4=-2,X2=2.

第10頁(共T9頁)

故答案為：xi--2,X2—3.

12.（3分）二次函數(shù)夕=x2-2x-3的頂點坐標是（1,-4）,與夕軸的交點坐標是（0,-3）.

【解答】解：由題意，把y=--2x-4進行配方得到拋物線的頂點式了=（x-1）2-6,

頂點坐標為（1,-4）.

令x=8,

；.尸-3.

，與y軸的交點坐標是（0,-7）.

故答案為：（1,-4）,-5）.

13.（3分）汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）關(guān)于行駛的時間x（單位：s）的函數(shù)解析式是：6=15X

-6x2,汽車剎車后前進了一正—米才能停下來.

8

【解答】I?：V6<0,

...函數(shù)有最大值.

6

??.S的最大值=2.-斐=正,即汽車剎車后前進了店.

4X（-6）28

故答案為：Z5.

8

14.（3分）三角形的兩邊長分別是3和4,第三邊長是方程x2-13X+40=0的根，則該三角形的周長為

12.

【解答】解：x2-13x+40=0,

（x-2）（x-5）=0,

x-2=0或％-5=2,

所以xi=8,X8=5,

當?shù)谌叺拈L為8時，7+4<8；

當?shù)谌叺拈L為5時，3+4>5；

所以三角形的周長為3+4+8=12.

故答案為：12.

15.（3分）如圖，拋物線y=-lx24^x+*x軸交于48兩點，P為拋物線對稱軸上動點，則為+PC

取最小值時_1旦一%_.

—2~7—

第11頁（共19頁）

【解答】解：連接3C,交拋物線的對稱軸于一點，該點即為所求的點尸,

???拋拋物線y=-1x6號X+盧7軸交于點C，

...點C的坐標為（5,2）,

令y=0,貝!]--^X2+^JC+2—0,

,78

'：A（-且0）A,0）,

22

設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為夕=依+6,

把8(A,0)和C(4,

2

，7

得:5k+b=3,

,b=2

fk=_A

解得：/3，

,b=2

...直線3C的函數(shù)表達式為夕=-芻+2.

6

24

:拋物線的對稱軸為直線X=-----=1,

5X(爭2

.,.當x=3時，y=-Ax_2_2_,

4727

...點p的坐標為(3,$),

27

第12頁（共19頁）

即當E4+PC的值最小時，點尸的坐標為(3,旦)，

67

故答案為：(2,1).

28

三、解答題(本大題共8小題，共75分)

16.解下列方程：

(1)27+4%-8=0；

(2)X2-4V2X+6=-2;

(3)2/+5X-3=0.

【解答】解：(1)2f+7x-8=0,

A=22-4X8X(-8)=80>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

..-2±/泥,

x2X2JVQ

;

Xj=-V4-Vx2=V7-1

(2)X2-4V2X+6=-5,

xJ-4V4x+8=0,

(X-8A/2)2=6>

XJ=X2=SV2;

(3)2x8+5x-3=8,

(2x-1)(x+8)=0,

2x-6=0或x+3=5,

.—Q1

??X1-3,Y——

2

17.已知關(guān)于x的一元二次方程;？+2始:+混-4=0.

(1)求證：無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)若該方程的兩個根為p和g,且滿足0q-p-g=O,求加的值.

【解答】(1)證明：VA=b2-4ac=2m2-4(w2-4)=16>0,

...無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得0+“=-5混-4.

第13頁(共19頁)

■:pq-p-g=8,

m2-4+6冽=0,

即m2+7m-4=0,

解得m5=V5-1,m6=-V5-1,

18.如圖，直線yi=-x-2交x軸于點/,交y軸于點5,拋物線歹2=〃f+bx+c頂點為4,且經(jīng)過點反

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求當/三州時，x的取值范圍.

令％=0,貝＞Jy=-6,

：.A(-2,0),-6),

;拋物線y2=aj^+bx+c頂點為4,

??夕8=。(]+2)2,

-5=a(0+2)2,

2

該拋物線的解析式：”=-.1(x+8)2=-_2x-7

27

(2)當時，xW-5或尤20.

19.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，進價為每頂40元，售價為每頂68元，每頂

售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周的銷售量為y頂.

(1)每頂頭盔降價x元后，每頂頭盔的利潤是(28-x)元(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)平均每周的銷售量y(頂)與降價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式是”=100+20x；

(3)若該商店希望平均每周獲得4000元的銷售利潤，則每頂頭盔應(yīng)降價多少？

【解答】解：(1),?進價為每頂40元，原售價為每頂68元，

每頂頭盔降價x元后，每頂頭盔的利潤是(28-x)元；

第14頁(共19頁)

故答案為：(28-x)；

(2)根據(jù)題意得：y=100+40Xy=100+20x,

故答案為：y—100+20%；

(3)根據(jù)題意得:(28-x)(100+20x)=4000,

解得：xi=8,X2=2O,

當x=3時，68-x=68-7=65>58,舍去；

當x=20時，68-x=68-20=48<58.

答：每頂頭盔應(yīng)降價20元.

20.如圖，利用一面墻(墻的長度不超過45機)，用79機長的籬笆圍成一個矩形場地(用其他材料).設(shè)

AB^xm,矩形48CD的面積為了加2.

(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為750加2?

(3)當x為何值時，矩形場地的面積最大？最大值為多少平方米？

【解答】解：(1)由題意得，AD=BC—^-^-x}m,

22

貝ljy=x(40-L)=--Xr5+40x(0<xW45),

’62

即>=-Xr2+40x(0<XW45)；

2

(2)令>=-2?+40X=75(),

2

解得：x=50(舍去)或30,

即當48=30加時，矩形場地的面積為750冽6；

(3)'.)=-XC3+40X=-A(x-40)7+800W800,

22

...當x=40米時，矩形場地的面積最大.

21.閱讀與思考

下面是小宇同學的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù):用函數(shù)觀點認識一元二次方程根的情況,

我們知道2+6X+C=0(aWO)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)yuad+foc+c(aWO)的圖象與x軸交點的橫坐

第15頁(共19頁)

標.拋物線與X軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、無交點.與此相對應(yīng)，一元二次方程

的根也有三種情況：有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、無實數(shù)根.因此可用拋物線與X軸

的交點個數(shù)確定一元二次方程根的情況.

2

下面根據(jù)拋物線的頂點坐標（上，超土）和一元二次方程根的判別式4=廬-4就分別分

2a4a

和兩種情況進行分析：

（z）a>0時，拋物線開口向上：

①當A=62-4ac>0時，有4ac-62Vo.

...頂點縱坐標史也

4a

???頂點在X軸的下方，猶物線與X軸有兩個交點（如圖①）.

，一元二次方程中2+6%+。=0（QWO）有兩個不相等的實數(shù)根.

②當△=b2-4。。=0時，有4ac-b2=0.

...頂點縱坐標四￡=0.

4a

，頂點在X軸上，拋物線與X軸有一個交點（如圖②）.

...一元二次方程。f+6x+c=0（aWO）有兩個相等的實數(shù)根.

③當△=廬-4ac<0時，-

（z'z）a<0時，拋物線開口向下：…

任務(wù)：

（1）請參照小論文中當。>0時①②的分析過程，寫出5）中當。<0,一元二次方程根的情況的分

析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；

（2）實際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)觀點來認識，請你再舉出一例

可用函數(shù)觀點認識二元一次方程組的解.

【解答】解：（1）時，拋物線開口向下,

第16頁（共19頁）

當A=b2-5ac>0時，有4ac-b3Vo.

V6Z<0,

2

頂點縱坐標近上〉6，

4a

，頂點在X軸的上方，拋物線與X軸有兩個交點，

，一元二次方程ax2+6x+c=0(aW7)有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)可用函數(shù)觀點認識二元一次方程組的解，即兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是對應(yīng)二元一次方程

組的解(答案不唯一).

22.如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12根，拋物線可以用y=-L2+&+C表示,

6

且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時，到地面OA的距離為