北京市懷柔區(qū)2023-2024學年高一下學期期末考試 數(shù)學 含解析

懷柔區(qū)2023—2024學年度第二學期高一質(zhì)量檢測數(shù)學注意事項：1.考生要認真填寫姓名和考號.2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿分150分，考試時間120分鐘.3.試題有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應(yīng)位置，在試卷上作答無效.第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.4.考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題：共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)點的坐標是，則（）A. B.C. D.2.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.43.下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度5.在中，角所對的邊分別為，若，則角為（）A. B. C.和 D.和6.（）A. B. C.0 D.17.已知在中，，則判斷的形狀（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則9.設(shè)非零向量，則“”是“或”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件10.已知向量，向量，且，點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)復數(shù)滿足，則__________．12.已知角終邊經(jīng)過點，則____________________.13.已知圓錐的母線長為4，軸截面是一個頂角為的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.14.“塹堵”最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.《九章算術(shù)·商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬；其一為鱉臑.其中“塹堵”是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的三棱柱，如圖，長方體的長為3，寬為4，高為5，若塹堵中裝滿水，當水用掉一半時，水面的高為__________.15.設(shè)函數(shù)，則下列選項中所有正確選項序號__________.①當時，的最小正周期為；②若對任意的實數(shù)都成立，則的最小正數(shù)為；③將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于原點對稱，則；④函數(shù)的圖象與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為2，4.三?解答題：共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知向量（1）若，求及的值；（2）若與平行，求實數(shù)的值；（3）若與的夾角為，求實數(shù)的值.17.如圖，已知正方體邊長為2.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求三棱錐的體積.18.在中，（1）求值；（2）求角和的面積.19.已知函數(shù)從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.條件①：；條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.選__________作條件（1）求值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應(yīng)的的值.20.如圖1，在中，分別為中點.將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面交于過直線，求證；（3）線段上是否存在點，使得平面，若存在，指出點位置并證明；若不存在，說明理由.21.在平面直角坐標系中，定義向量為函數(shù)的有序相伴向量.（1）設(shè)，寫出函數(shù)的相伴向量；（2）若的有序相伴向量為，若函數(shù)，與直線有且僅有2個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若的有序相伴向量為，當函數(shù)在區(qū)間上時值域為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.當時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.懷柔區(qū)2023—2024學年度第二學期高一質(zhì)量檢測數(shù)學注意事項：1.考生要認真填寫姓名和考號.2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿分150分，考試時間120分鐘.3.試題有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應(yīng)位置，在試卷上作答無效.第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.4.考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題：共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)點的坐標是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由復數(shù)的乘法運算，即可求解.【詳解】因為復數(shù)對應(yīng)點的坐標是，則，所以.故選：A2.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得答案.【詳解】若，則，解得.故選：B.3.下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)周期公式和奇函數(shù)定義判斷各個選項；【詳解】對于A.周期是，A錯誤；對于B.周期是，因為是偶函數(shù)，B錯誤；對于C.周期是，因為是偶函數(shù)，C錯誤；對于D.周期是，又是奇函數(shù)，D正確；故選：D.4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【詳解】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.本題選擇D選項.5.在中，角所對的邊分別為，若，則角為（）A. B. C.和 D.和【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，結(jié)合三角形的大邊對大角，即可求解.【詳解】因為，則，由正弦定理可得，則，，所以或，又，所以，即為銳角，所以.故選：A6.（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】逆用正弦的差角公式進行求解.【詳解】故選：A7.已知在中，，則判斷的形狀（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由余弦定理得，所以，可得，所以是直角三角形.故選：C.8.已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】對于ACD，舉例判斷，對于B，利用面面垂直的判定定理結(jié)合已知條件分析判斷.【詳解】對于A，如圖，當時，是異面直線，所以A錯誤，對于B，因為，所以，因為，所以，所以B正確，對于C，如圖，當時，是異面直線，所以C錯誤，對于D，如圖，當時，與，所以D錯誤，故選：B9.設(shè)非零向量，則“”是“或”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合向量的運算，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷【詳解】因為所以，又不能推出或；但若“或”，則一定有，所以“”是“或”的必要不充分條件，故選：B.10.已知向量，向量，且，點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，則或，設(shè)，然后分兩種情況，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算構(gòu)造函數(shù)模型，通過函數(shù)思想求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以為等邊三角形，因為，所以或，設(shè)，當時，則，所以，因為，所以，所以，所以，當時，則，所以，因為，所以，所以，所以綜上，的取值范圍是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積運算，考查向量的坐標運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出的坐標，然后用坐標計算數(shù)量積，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)復數(shù)滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的除法運算求解復數(shù)，即可求得模長.【詳解】解：復數(shù)z滿足，則，所以.故答案為：.12.已知角的終邊經(jīng)過點，則____________________.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義易得正切值和余弦值.【詳解】依題意，，，則故答案為：；.13.已知圓錐母線長為4，軸截面是一個頂角為的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出底面的半徑和圓錐的高，再用圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，圖為圓錐的軸截面示意圖，由題意可得，所以底面半徑為，圓錐的高為，所以圓錐的體積為,故答案為：.14.“塹堵”最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.《九章算術(shù)·商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬；其一為鱉臑.其中“塹堵”是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的三棱柱，如圖，長方體的長為3，寬為4，高為5，若塹堵中裝滿水，當水用掉一半時，水面的高為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱及直四棱柱求出體積，由題意建立方程求解即可.【詳解】由題意，塹堵的體積，當水用掉一半時，由相似可得充滿水的直四棱柱底面梯形的上底長滿足，解得，所以直四棱柱的體積，即，解得或（舍去）.故答案為：15.設(shè)函數(shù)，則下列選項中所有正確選項的序號__________.①當時，的最小正周期為；②若對任意的實數(shù)都成立，則的最小正數(shù)為；③將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于原點對稱，則；④函數(shù)的圖象與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為2，4.【答案】②③④【解析】【分析】先化簡，對于①，用求周期公式即可判斷；對于②，根據(jù)題意可得過圖象的最高點，從而列方程可求解；對于③，圖象變換得到新的解析式，奇函數(shù)性質(zhì)可解；；對于④，結(jié)合圖像和函數(shù)周期性即可得解.【詳解】,對于①，當時，的最小正周期為，故①錯誤；對于②，因為對任意的實數(shù)都成立，即過圖象的最高點，所以滿足方程，即所以的最小正數(shù)為，故②正確；對于③，因為的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，所以因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，所以，解得，故③正確；對于④，因為函數(shù)的圖象與直線相交，所以，設(shè)一對相鄰三個交點對應(yīng)的橫坐標為不妨令解得因為相鄰兩個交點間的距離為，所以，解得；，解得，根據(jù)的周期性可知，滿足題意的的所有可能值為2，4.故④正確；故答案為：②③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于②的關(guān)鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)過圖象的最高點，從而列方程可解；對于③的關(guān)鍵是通過圖像變換得到新的解析式，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到從而得解，對于④的關(guān)鍵是圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，然后取特殊的三個相鄰交點的橫坐標，根據(jù)函數(shù)的周期性發(fā)現(xiàn)相鄰兩個交點間的距離為只有兩種情況，從而得解.三?解答題：共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知向量（1）若，求及的值；（2）若與平行，求實數(shù)的值；（3）若與的夾角為，求實數(shù)的值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用數(shù)量積的坐標運算求解，先求出的坐標，再求其模；（2）先求出的坐標，再由兩向量平行列方程求解；（3）利用向量的夾角公式直接列方程求解即可.【小問1詳解】當時，，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以，因為與平行，所以，解得；【小問3詳解】因為與的夾角為，，所以，所以，解得.17.如圖，已知正方體邊長為2.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理，即可證明；（2）根據(jù)題意，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（3）根據(jù)題意，由等體積法代入計算，即可求解.【小問1詳解】在正方體中，連接交于，連接，交于，連接，則，且平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為為正方體，則平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.【小問3詳解】.18.在中，（1）求值；（2）求角和的面積.【答案】（1）（2），的面積為【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角和二倍角公式可得，再利用余弦定理計算得出結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理推論計算得出角；再根據(jù)三角形面積公式計算的結(jié)果；【小問1詳解】在中，由正弦定理得因為，所以，由余弦定理得，代入，解得或（舍）【小問2詳解】由余弦定理推論得，因為，所以角；因此的面積為.19.已知函數(shù)從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.條件①：；條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.選__________作為條件（1）求值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）當時，；當時，【解析】【分析】先化簡，（1）若選條件，分別求解，舍掉不滿足存在且唯一，逐一檢驗即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范圍即可求解.【小問1詳解】，若選條件①，,，即，無解，不合題意；若選條件②，因為，所以且所以過圖象的最高點，過圖象的最低點，又因為在區(qū)間單調(diào)，所以解得，當時，，當時，，所以在區(qū)間不單調(diào)，不符合題意，所以；若選條件③，因為相鄰兩個零點間的距離為，所以，即，又，解得，不合題意；綜上，；【小問2詳解】由（1）知，當時，，所以，當時，；當時，.20.如圖1，在中，分別為的中點.將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面交于過的直線，求證；（3）線段上否存在點，使得平面，若存在，指出點位置并證明；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3）在線段上存在點，即為的中點,使得平面.【解析】【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直的判斷定理得平面，再由面面垂直的判斷定理即可證明；（2）先證明平面，再由平面，且平面平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)得.（3）線段上存在點，即為的中點，取中點，連接，證明平面，再由四點在同一個平面得到平面.【小問1詳解】因為在中，分別為中點，所以，將翻折到的位置后，即，因為平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為在中，分別為中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，且平面平面，所以.【小問3詳解】在線段上存在點，即為中點，使得平面.證明如下：取中點，連接，由（1）可知，平面，因為平面，所以，因為為中點，所以，即為等腰三角形，所