新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平面向量小題全歸類（練習(xí)）（解析版）

專題11平面向量小題全歸類

目錄

01平面向量基本定理及其應(yīng)用........................................................2

02平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用..................................................4

03平面向量的數(shù)量積.................................................................6

04平面向量的模與夾角..............................................................9

題型05等和線問題......................................................................11

06極化恒等式......................................................................15

07矩形大法........................................................................17

08平面向量范圍與最值問題..........................................................19

09等差線、等商線問題.............................................................25

題型10奔馳定理與向量四心.............................................................32

題型11阿波羅尼斯圓問題...............................................................37

12平行四邊形大法.................................................................40

13向量對角線定理.42

■■題型_01平面向量基本定理及其應(yīng)用

1.（2023?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學(xué)?？计谥校┮阎?5是兩個不共線的向量,

m=2a-3bfn=4a-2bp=3〃+石,則)

八一5n-6m―5n+6m-1In-10m—lln+lOm

A.p=------B---.-P二------c.p=-------------D.p=-------------

8888

【答案】C

【解析】因為B是兩個不共線的向量,設(shè)p=xm+yn，

5

X=——

2x+4y=34

即…b解得

11

y二一

8

r-r-K?，5--11-*1In—lOz/z

所以p=——m-\—n=-------------

488

故選：C

2.（2023?安徽?高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖

所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知A8=8C=C。=1,A8JLJBC,AC，8,AC與B。交于點O,若

DO=KAB+iiAC,貝l]2+〃=()

1-V2C.V2+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以c為坐標(biāo)原點，C2G4所在直線分別為無丁軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,

由題意得AC=夜，

貝川0詞,8占當(dāng),C（0,0）,通=[乎,一§,AC=（O,-^）.

I22）\22）

因為CB=CD=1,ZDCB=90°+45°=135°,故ZBDC=22.5°,

因為tan45。=2tan225=],所以tan22.5=0-1（負值舍去），

1-tan-22.5°

所以O(shè)C=Z）C-tan225=拒-1，

故0（0,夜-1）.又。（-1,0）,則加=（1,忘-1）,

f,凡

1=-----Z

因為加=九通+日記，所以、,

V2—1=------4—yfljLl

、2

Z=6—

解得，所以2+〃=0-1,

-1

故選：A.

3.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCQ中，AE=^-AD,BF=】BC,CE與

34

。方交于點。.設(shè)池=￡,AD=S，若=+則2+4=（）

11

D.

17

【答案】B

【解析】連接AF,AC,

AA

E」

???。。/三點共線，「?可設(shè)衣=心詬+'正，貝！J%+y=l,

j_

:.7id=xAD+y{^AB+BF^=xAD+y5+ya；

4

???￡,0,。三點共線，，可設(shè)加=相近+〃正，則機+〃=1,

m二一

布而+M而+而卜——\-n\b+na-

3J

x+y=l

9

m+n=1x——

17.k；8-11廠日廠81119

1m,解得：＜,..A.0=—ci-\----b即X+//=-----1----——.

x+—y=——I-n817179171717

43y=—

17

y=n

故選：B.

一題型02平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用

4.（2023?四川成都?高一成都七中校考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，點。滿足的=2覺，過點。的

直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N.設(shè)A5=mAM,AC=〃AN,則加+"的最小值是（）

A.-B.2C.y/2D.也

55

【答案】A

【解析】因為詼=2歷，所以前［麗+g府=￡而+g麗.

H77Y}

又因為M、O、N三點共線，所以:+?=1.所以機=3-2人

33

2629

所以加2+川=?—2n）+/=5/_12〃+9=5（〃一-）+-

所以當(dāng)〃=6加=：3時，疝+〃2有最小值為9:

故選:A.

->1—.

5.（2023?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中?？计谀鰽BC中，。為AB上一點且滿足AO=彳。8,若「

為線段C。上一點，且滿足而=4而+〃正（2,〃為正實數(shù)），則4的最小值為（）

32//

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

mmuumuum丫uunuum

【解析】因為P為線段CO上一點，則AP=xAD+yAC=]A3+yAC,且x+y=l,

一——,,2=-[%=32

又因為rAP=4A5+〃AC,可得13,即〈，

所以34+4=l,

1

十曰1

可,豆+%-^-+—+2>2+2=4,

32juy32ju

當(dāng)且僅當(dāng)S=2,即〃=32=:時，等號成立,

32〃2

所以2+’的最小值為4.

3Z〃

故選：B.

6.（2023?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）在“LBC中，點。滿足前=29，過點。的直線分別交射線

AB,AC于點M,N,S.AM=mAB^AN=nAC，則加+2〃的最小值為（）

A.一B.—C.3D.4

33

【答案】A

【解析】由題可知,m>0,n>0,

___.—.1.—.1—.

因為訴=根麗，AN=nAC,所以AB=—AM,AC=-AN,

mn

又由=2礪，所以:W-/=2通一2近,

.2.1—.2?1.

所以AO=—A5+—AC=——AM+—AN,

333m3n

21

因為％。，N三點共線’所以藐+71，

匚匚…c/c、/21、4m4〃4c148

所以加+2〃=(加+2〃)(---1------)=—H-------1------->—+2,

3m3〃33n3m393

m4n

當(dāng)且僅當(dāng)彳J；,即機=:4〃=（2時，等號成立.

------1------=1

3m3〃

Q

所以m+2〃的最小值為

故選：A

一題型03平面向量的數(shù)量積

7.(多選題)(2021?新高考I)已知O為坐標(biāo)原點，點4(cosa,sina),7^(cos/?,-sin/?),P3(cos{a+/3),

sin(cr+^)),A(l,0),貝4()

A.訪|=|砥|B.|通|=|詬

C.OAO^=O^O^D.OkOP^OP^OP3

【答案】AC

【解析】法一、:4(cosa,sin。)，《(cos^,-sin#),6(cos(a+力)，sin(a+萬))，A(l,0),

,OPX=(cosa,sina),0P2=(cos4一sinP),

0P3=(cos(cr+J3),sin(a+萬))，OA=(1,0),

APX=(cosa-1,sina),AP2=(cos月-1,一sin尸),

則I函|二Jcoda+s加2a=i,?圾|二小cos?0+(—sin/3丫=1,貝j西|=|砥故A正確；

|AF\|=yf(coscr-1)2+sin2a=vcos2a+sir^a-2cosa+1=j2-2cos十,

IAP1|=^/(cos/7-1)2+(-sin/?)2=^cos1(3+sin2J3-2cos/?+1=j2-2cos/7，

|福同南I，故3錯誤；

OA-OP3=1xcos(<z+￡)+0xsin(cr+/?)=cos(cr+￡),

OP[?OP2=cosacos/?-sinasin(3=cos(cr+0),

/.=故C正確；

國"=1xcosi+0xsina=cosa,

OP2OP3=cospcos(a+6)一sin/3sin(a+(3)=cos[/7+(a+<)]=cos(a+2/3),

WLOP^OPIO^,故。錯誤.

故選：AC.

法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

使角￡的始邊與。4重合，終邊交圓。于點片，角力的始邊為?！?，終邊交圓O于右，

角-力的始邊為。4,交圓。于鳥，

于是《(coscosine),月(cos(a+￡),sin(a+￡)),g(cos￡,-sin￡),

由向量的模與數(shù)量積可知，A、C正確；B、。錯誤.

故選：AC.

8.(2023?安徽安慶?高三安慶市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知在AABC中，AB=3,AC=4,

ZBAC=^,AD=2DB>尸在CD上，AP=1lC+2AD,則Q.阮=.

【答案】4

—.1—,—?

【解析】因為AP=WAC+2A。，尸,CO三點共線，

所以1+4=1,解得

22

—.2—.

因為蒞=29，所以

-.1—.1—.1—.1—.

貝lj4尸=—AC+—AO=—AC+—A3,

2223

BC=AC-AB，

所以阮=呵?（尼-演）

AAC2AAB2AAC，AB

236

=8-3--x4x3x-=4.

62

故答案為：4.

9.（2023?上海靜安?高三?？茧A段練習(xí)）已知向量￡=（1,右），且￡出的夾角為:，Q+和（22-3方）=4,

則3在￡方向上的投影向量等于.

【答案】（；,乎）

【解析】同=2,a-^=|a||z?|cos|-=2-|/j|-^=|Zj|,

由已知@+辦（213扭=21）4-3片=8第-3,=4,解得忖=1（負值舍去），

a-b1laA百、

???B在￡方向上的投影為口=5，石在￡方向上的投影向量為］.口=（丁7）.

故答案為：（J孝）

10.（2023?上海閔行?高三?？计谥校┢矫嫔嫌幸唤M互不相等的單位向量南，區(qū)，…，西，若存在

單位向量厲滿足歷?菊+歷?嗨+…+麗?皈=0,則稱厲是向量組西，區(qū)，…，可的平衡向

量.已知（函,%）=；,向量是向量組兩，砒，竭的平衡向量，當(dāng)中?強取得最大值時，

西?網(wǎng)"的值為

—3±a

【答案】

6-

【解析】當(dāng)存=砥時，方?砥取得最大值,

又（西，砥）=三，如圖所示,

就『=小兩。+2西.斯+砒2=J1+1+1=6

設(shè)西+區(qū)=方，（兩砌=同0,可,

貝U砥.(風(fēng)+網(wǎng)?+砥卜砥?麗'+1=0,

所以O(shè)4-OB=—1,即J^cos9=-1,解得cos0=-^^

故sin0=V1—cos20=,(04,。4)=0_彳或^+不，

OAOA,=cos]G--I=cos^cos—+sin^sin—=旦走+如」V6—3

"?I6j6632326

或CMjOAi=cosf0+-^j=cos0cos-sinsin=

故答案為：一土巫

6

?題型04平面向量的模與夾角

n.(2023?北京)已知向量H,B滿足4+5=(2,3),西—5=(—2,1),則⑷2_歷|2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】???M+5=(2,3),a-5=(-2,1),

.?.5=(0,2),5=(2,1),

.??g12TBi2=4_5=_1.

故選：B.

12.(2023?甲卷)向量|乙|二|B|=1,\c\=y/2,S.a+b+c=0,則cos〈M-1,b-c)={)

224

A.--B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因為向量I利=出1=1,IE|=0,B.a+b+c=0,所以—E=M+5,

所以/=/+后+2無5,

即2=l+l+2xlxlxcos,b>,

解得cos<a,5>=0,

所以五_L5,

又M—1=21+5,b—c=a+2b,

所以(白一亍),(分一3=(24+5>(4+25)=2片+252+5萬?彳=2+2+0=4,

\a-c\=^b-c\="片+4無5+7-,4+0+1=后,

56—?(6-5)=4=4

所以cos〈M-E，

\a-c\\b-c\小義非5

故選：D.

13.（2023?廣東廣州?高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三角形△ABC的邊長為1,設(shè)

AB=a^AC=b.貝12五+B與一3五+2石的夾角=.

27r

【答案】120°/y-

【解析】由題意知，|司=忖=1，且?，,B.=60。，則日石=同忖卜0$60。=；,

貝“2日+行『=4萬2+方2+4拓=,|-3a+2bf=9a2+4b2-12ab=7,

所以忸+,=近，卜3n+2.=小

~_7

設(shè)容+B與-3乙+2B的夾角為凡則cose=(竊+6)?卜31+2.)=6不+無5+2'=12L,

\2a+b\^-3a+2b\忸+5卜3萬+2可2

因為6e[0,兀I，所以22+5與-3萬+2石的夾角為r.

2兀

故答案為：—.

14.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知向量a=(l,l),石=(1,一1),若實數(shù)相，孔滿足加〃=一1,貝!+與Z+怎

的夾角為.

【答案】g/90°

2

【解析】因為向量Z==,所以Z+7怎=。+m,1—m),62+nS=(1+n,1—n),

又mn=-1,所以(。+應(yīng))?(〃+怎)=(1+相—+=(1+m)(1+n)+(1-ni)(1—n)=2+2mn=0,

JT

i^La+mb與a+的夾角為彳.

2

故答案為：￡TT.

15.(2023?四川廣安?高三校考階段練習(xí))已知向量2=(1,退)，b=(3,m),且石在￡方向上的投影數(shù)量

為-3,則向量日與石的夾角為.

■2兀

【答案】y

【解析】"在々方向上的投影數(shù)量為-3,.?.問cos@@=-3,

；W=JF+(用2=2,4力=同卡際他力=2乂(-3)=-6,

又a-/?=3+A/=—6,m=-3-\/3)5=^3,—3A/3),忖=[3。+卜3\/^)=6,

?.?04?,到〈兀，.?.向量￡與石的夾角為年,

2兀

故答案為：y.

一題型05等和線問題

16.(2023?湖北?高一校聯(lián)考期中)給定兩個長度為1的平面向量由和赤，它們的夾角為90。，點C在

以。為圓心的圓弧A8上運動，若阮=其中則3x+5y的最大值為()

A.734B.5C.737D.6

【答案】A

【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.

A(1,O),5(0,1).

OC=xOA+yOB=(x,j),設(shè)C(cosa,sina)(ae0,-^).

53

則3工+5〉=38$(/+5$1111=^/§?$111(?+0)，其中cos0=^j,sinp=^j.

3x+5^<V34,當(dāng)且僅當(dāng)sin(a+e)=l時取等號.

故選A.

17.(2023?全國?高三專題練習(xí))給定兩個長度為1的平面向量函和彷，它們的夾角為90。，如圖所

示，點C在以。為圓心的圓弧A8上運動，若配=x^+y而，其中x,y^R,則x+y的最大值是

()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】由題得|反F^\xOA+yOB\1=/+>2+與次.礪=彳2+)2,

.".x2+y2=l,則2盯3/+產(chǎn)=1.

又（x+y）2=N+y2+2x匯2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時等號成立，

故x+y的最大值為亞.

故選：B

18.（2023?上海黃浦?高二格致中學(xué)?？计谥校┰贏ASC中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為AABC所

在平面內(nèi)的動點，且PC=2,若而=2①+〃麗，則給出下面四個結(jié)論：

4

①4+〃的最小值為-二；②麗.而的最小值為-6；

3

③彳+〃的最大值為了；④麗.而的最大值為10.

4

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

如圖，以C為原點，CAC2所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則C（0,0）,A（3,0）,B（0,4）,因為尸C=2,所以設(shè)尸（2cosO2sin＞）,

則麗=（2cose,2sine）,?=（3,0）,麗=（0,4）

所以萬=ACA+juCB=（3/1,4//）,

,2八

Z=—cost/

2cos6=343

則,即V

2sin6=4〃1.八

〃=—sin"

2

_21543

所以4+〃=—cos6+—sin9=—sin（6+0）,其中sin0=一,cos/=一,

32655

所以（X+〃L=TO+〃:u=|，

所以①③錯誤;

??,PA=(3—2cos4一2sin9),PB=(—2cos8,4—2sin8)

/.PA-PB=-2cos0(3-2cos0)-2sin^(4-2sine)=4—10sin(e+a),

34

其中sina=—,cosa=—,

55

-10<-10sin(0+6Z)<10

/.-6<4-10sin(0+a)<14

.\-6<PAPB<14

所以②正確，④錯誤；

故選：A

19.(2023?吉林?統(tǒng)考一模)在直角三角形A3C中，A=90。，△回(?的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為

G1,G2,G3,G4,若祠=4而+4./(其中1=1,2,3,4),當(dāng)4+從取最大值時，1=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】直角三角形ABC中，A=90°,D為BC中點,從IBC的重心為G-如圖所示，

A

C

AG=^AD=-x-(AB+AC]=-AB+-ACf

1332、)33

12

則4=,4+4=耳；

直角三角形A3C中，A=90°,AABC的外心為G一則G2為BC中點，如圖所示，

A

BG,C

A^=|(AB+AC),則4=4=；,4+〃2=l：

直角三角形ABC中，A=90。，AABC的垂心為G3,則G3與A點重合，蟲=6,

則4=〃3=。，4+〃3=。；

直角三角形A3C中，A=90。，的內(nèi)心為G”，則點G*是三角形內(nèi)角平分線交點,

A

B

直角三角形ABC中，角ABC的對邊分別為瓦。，設(shè)內(nèi)切圓半徑為小

be

則S"得

a+b+c

beAB+beAC_beAB+beAC—^AB+——AC,

a+b+c[AB\a+b+cIACIa+b+cca+b+cba+b+ca+b+c

2=----------,4=-----------,丸+〃=-------1--------------=------------<1.

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

4+〃2=I最大，所以當(dāng)兒+從取最大值時，，=2.

故選：B.

W06極化恒等式

20.(2023?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測)邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，肱V是內(nèi)切圓的一條弦，點尸為

正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，兩.兩的取值范圍是

【答案】。，；

【解析】如下圖所示：

設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓為圓0,當(dāng)弦MN的長度最大時，為圓。的一條直徑,

PM-P/V=(PO+OM)-(PO-OM)=|PO|2-|OM|2=|PO|2--,

當(dāng)P為正方形ABC。的某邊的中點時，|明=-,

IImin2

當(dāng)產(chǎn)與正方形ABCD的頂點重合時，，爪|=—,即，歷歸1

IImax22II2

因此，W.P?V=|PO|2-^e0,；.

故答案為：0，；,

21.（2023?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖直角梯形ABC。中，EF是邊上長為6的可移動的線段,

AD=4,AB=8m,BC=12,則屜.礪的取值范圍為

【答案】[99,148]

【解析】在3c上取一點G,使得BG=4,取E產(chǎn)的中點P,連接DG,BP,

如圖所示：

貝ljDG=8g,GC=8,CD=J82+（8A^）2=16,

tanZBC￡>=—=73,§PZBCD=60°.

8

而.麗=技（而+珂一（而一麗）1T（2研一回=-9,

當(dāng)族，CD時，|麗|取得最小值，止匕時|麗|=12xsin60。=64，

所以（麗?麗=（6廚-9=99.

當(dāng)尸與。重合時，CP=13,BC=12,

貝”研=122+132-2X12X13X：=157,

當(dāng)E與C重合時，CP=3,3c=12,

貝”研=122+32-2X12X3X1=117,

所以（而?麗L=157-9=148,即福阱的取值范圍為[99,148].

故答案為：[99,148]

22.(2023?陜西榆林?三模)四邊形ABCD為菱形，ZBAC^30°,AB=6,尸是菱形ABCD所在平面的任意

一點，則兩.定的最小值為.

【答案】-27

【解析】由題設(shè)，AC=6A/3,取AC的中點0,連接Q4,OC,。尸，

貝1鳳=所+麗，PC=PO+OC=PO-OA,

所以西.定=(而+到.回_網(wǎng)=后—函2=防_27127.

故答案為：-27

一題型07矩形大法

23.設(shè)向量b,5滿足I萬|=出|=1,a-b^,(Z?-c).(^-c)=0,貝。憶|的最小值是()

A.叵B.3二^C.6D.1

22

【答案】B

【解析】建立坐標(biāo)系，以向量萬，B的角平分線所在的直線為x軸，使得5的坐標(biāo)分別為9三

設(shè)才的坐標(biāo)為(x,y),

因為(ay>(5y)=o,

(6)1

表示以一,。為圓心，：為半徑的圓,

\2/乙

則?的最小值表示圓上的點到原點的距離的最小值,

因為圓到原點的距離為立，所以圓上的點到原點的距離的最小值為正-工,

222

故選：B

24.(2023?河北石家莊?高三階段練習(xí))已知向量G,b，1滿足間忖=灑5=3,若

(c-2。).(25-3c)=0,則忸-4的最大值是.

【答案】1+V2.

【解析】分析題意可知，設(shè)AU),8(3,0),貝?。萆?礪,b=OB，設(shè)C(x,y),

,\c=OC=(x,y),又(c-2a).(2b-3c)=0,A(x-2)(6-3x)+(y-2)(0-3y)=0,

而(x-2)2+(y_l)2=l,即點C在以(2,1)為圓心，1為半徑的圓上，

忸_W4J(3-2)2+(0-1)2+1=1+V2,故填：1+5/2-

25.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知向量￡、3滿足W=W=a/=2且(a-c)?-c)=。，則忸-目的

最大值為.

【答案】A/7+1

【解析】求出向量￡、B的夾角為(設(shè)方=。=(2,0),OB=b=(l,y/3),OC=c=(x,y),根據(jù)

(a-)??-y=0可求得點C的軌跡方程，由忸-2|的幾何意義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得忸的最大值.設(shè)

1

向量￡、B的夾角為凡,?,|o|=|5|=a-^=2,

21

TT

:.0=—,

設(shè)OA=a=(2,0),。5=石=(1,6)，OC=c=(x,y),

則a—c=(2—x,—y),日一c二(l一%，百一y),

整理得x?+y2+2=0,即=1,其中點r=1,

則忸的幾何意義為點C(x,y)到定點尸(2,2百)的距離，如下圖所示:

2動一立

2--I++1=77+1.

22

故答案為：V7+i.

?題型08平面向量范圍與最值問題

26.(2022?上海)在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,點M為邊AB的中點，點尸在邊3c上，則初5?屈

的最小值為—.

【答案】2

8

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，

則8(2,0),C(0,2),M(l,0),

直線的方程為2+2=1,即x+y=2,

22

點P在直線上，設(shè)P(x,2-x),

MP={x—1,2-x),CP=(x,—x),

—-―?,3,99

MP-CP=x(x-l)-x(2-x)=2x2-3x=2(x-^)2

__..一Q

CP的最小值為.

8

故答案為：-2.

27.(2023?上海)已知市、OB,反為空間中三組單位向量，且函_L礪、OALOC,訪與反夾角為

60。，點P為空間任意一點，且|而|=1,滿足I存?反倒而?礪I|麗?函|,則|成?前|最大值為.

【答案】—

7

【解析】設(shè)況=(0,0,1),05=(—,-,0),歷=(0,1,0),

22

OP=(x,y,z),不妨設(shè)x,y,z>0,貝”。尸|=爐+/+z2=1,

因為|麗?方|剌麗?麗|\OPOA\,

所以源哼X+gyZ,可得X…弓y,z..y,

所以—得憂q,

故"花=為理.

故答案為：叵.

7

28.(多選題)(2023?安徽?高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知P(2,0),A(cosa,sina),

B(cos/?,sin/?),A,2兩點不重合,則()

A.|麗-麗|的最大值為2

B.|蘇+圖的最大值為2

C.若西=九方，國-網(wǎng)最大值為6

D.若向=幾而，國+畫最大值為4

【答案】AD

【解析】A選項，由已知A,8為單位圓上任意兩點，|Q4|=|O用=1,|⑸-困=|AB|42,A正確;

B選項,設(shè)。為AB的中點，則國+詞=2|即,

由于A,8兩點不重合，所以|叫?1,3),貝“西+網(wǎng)=2|尸￡歸(2,6),故B錯誤；

C選項，當(dāng)P,A,8共線時，|西-麗|=|AB|42,故C錯誤；

D選項，當(dāng)尸，A,2共線時，若AB坐標(biāo)分別為(-1,0)與(1,0)或(L0)與(-1,0)時,

。，。兩點重合，止匕時離+畫=2|叫=4,

若AB坐標(biāo)不同時為(-1,0)與(1,0)時,此時。則陽＜3,

故國+詞=2|P*4,故D正確.

故選：AD

29.(多選題)(2023?福建南平?高一武夷山一中?？计谥?圓幕定理是平面幾何中的一個定理，是相交

弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，(其中相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長

的積相等，例如，如果交點為尸的兩條相交直線與圓。相交于AC與5。，則上4-PC=PaPD),如下圖，

已知圓。的半徑為3,點尸是圓。內(nèi)的定點，且OP=2,弦AC、均過點P,則下列說法正確的是

a

------

A.R4PC=-8B.麗?歷的取值范圍是(-9,-1)

C.當(dāng)ACLBD時，麗?瓦為定值D.ACLBO時，|而|的最大值為28

【答案】CD

【解析】如圖，設(shè)直線P。與圓。于E,F.

則可.定=-圖?|PC|=-|PE|-|PF|=-1國-網(wǎng)用+網(wǎng))=|可T研=2?_32=-5,故A錯誤;

取8D的中點為/,連接OM,

因為M為中點，所以O(shè)MJ_班），即次■?麗豆=0,西?防=0,MD=OD-QM2.

則OB.OO=（OM+Affi）.（OM+MD）=OM-MD=OM-lr2-OM\=2OM-9,

WO<OM2<|OP|2=4,故礪.礪的取值范圍是[-9,-1],故B錯誤；

當(dāng)AC13D時，ABCD=（AP+PB）（CP+PD）=APCP+PBPD

=-|AP|-|CP|-|PB|.|P^=-2|P^.|P^=-2X5=-10,故C正確；

當(dāng)AC13D時，圓。半徑r=3,取AC中點為N,8。中點為M,

則ONLAC,OM,又ACLBD,所以四邊形ONPM為矩形，所以|麗彳+向閆網(wǎng)?=4,

當(dāng)且僅當(dāng)|加『=|網(wǎng)2=2,不等式等號成立，所以|向口前|的最大值為28,故D正確.

故選：CD.

7T

30.(2023?四川攀枝花?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在平面四邊形OACB中，OA±OB,OA=3,ZOBA=ZACB=-,

則反?國的最大值為()

A.6y/3B.9石

C.12D.15

【答案】C

【解析】如圖，以。為原點，OAOB分別為尤,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

因為OA=3,Z.OBA——,所以O(shè)B--\/3,AB—2-73,

即8(0,遂),4(3,0),設(shè)C(x,y),

7T

由ZACB=g可知，點C(x,y)的軌跡為AABC外接圓的一段劣弧AB，

2R一地一亥一4

且.2兀一百，即外接圓半徑尺=2,

sm——

32

設(shè)“3。外接圓的方程為。-°)2+"-6)2=4,

tz2+(<3-Z?)=4

代入點8(0,6),A(3,0)可得，,，

(3-〃)2+/=4

〃=2{a=l

解得76或二n(舍去)，

[b=y/3[b=0

即點C(x,y)的軌跡方程為(x-2>+(y-我2=4,

所以一2?x—2V2,BP0<x<4,

又覺.麗=3x43x4=12，當(dāng)x=4時，y=G

此時點C(4,6)在劣弧上，滿足題意，故祝.次的最大值為12.

故選：C

31.(2023?北京西城?高三北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))平面直角坐標(biāo)系xOy中，定點A的坐標(biāo)為

(cos6?,sin6?),其中04。4兀.若當(dāng)點8在圓(龍-2月+丁=1上運動時，厲.礪的最大值為0,則()

定UUTUIH

A.0=—,OAOB的最小值為-2

冗uuruun3

B.3=—,OAOB的最小值為-7

32

2JTuuruun

C.夕=4~,。4,。3的最小值為—2

2uurUUttq

D.=7r的最小值為-：

32

【答案】C

【解析】設(shè)5(2+cosa,sina),0<a<2TI,

ULILllUL

則OA=(cos3,sin6),OB=(2+cosa,sina),

ULILlUU

可得。405=cos6(2+cosa)+sinOsina=2cos6+cos(6-a),

對任意04。<2兀,可知當(dāng)cos(e—o)=l時，礪.礪的最大值為2cos6+l=0,

12兀

可得cos0——,且048?兀，所以。=—，

23

且當(dāng)cos(6--1時，OAOB的最小值為2cos8-1=-1-1=-2.

故選：C.

32.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，A(l,0),B(0,3),C(3,0),動點P

滿足閉=1,則陽+歷+西的最大值是（）

A.6B.2.72+1C.5D.y/lQ+1

【答案】A

【解析】由|在|=1,得動點P的軌跡是以C（3,0）為圓心，以1為半徑的圓，其方程為（x-3＞+y2=i,設(shè)

P（x,y）,則用+礪+西=J（x+l『+（y+3）2,表示圓C上的點尸到點（T-3）的距離，所以

\pA+OB+Op\=^（3+1）2+32+1=6.

故選：A.

33.（2023?四川宜賓?四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)向量2、b，2滿足同=1,

忖=2,a-b=O,c-（^+b-c）=0,則口的最大值等于（）

A.75B.1+好C.2D.1

2

【答案】A

【解析】向量入b，1滿足同=1,忸卜2,ab=O,

不妨設(shè)Z=（1,O）,石=（0,2）,2=（%,y）,貝!）1+1一0=（1一％,2-?。?，

因為白僅+3-今=武1一元）+?。?-y）=0,整理可得卜一gj+（y_i）2=：,

而原點。也在圓+（，T）2［上，

所以，|O