2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章三角形2.4線段的垂直平分線1線段的垂直平分線上課課件新版湘教版

2.4線段的垂直平分線（1）湘教版八年級(jí)上1.認(rèn)識(shí)線段的垂直平分線，理解其概念；2.能推導(dǎo)出線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；

4.通過(guò)活動(dòng)，學(xué)會(huì)交流思維過(guò)程和結(jié)果，增強(qiáng)合作意識(shí).等腰三角形是以

所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的頂角平分線與底邊上的

、

重合(簡(jiǎn)稱“

”).高線中線頂角平分線三線合一如右圖，如果直線l是等腰△ABC的對(duì)稱軸，那么直線l與線段BC有什么關(guān)系呢？對(duì)于線段來(lái)說(shuō)，直線l這樣的直線有什么性質(zhì)呢？

如右圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l對(duì)稱，問(wèn)線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？AD=A′D，l⊥AA′.AA′Dl12

我們可以把人字形屋頂進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下面右邊的圖.已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線既平分線段AA′，又垂直線段AA′.我們把：垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.AA′Dl12

如右圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接PA,PB，線段PA,PB之間有什么關(guān)系？PABlPABl

作關(guān)于直線l的軸反射(即沿直線l對(duì)折),由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)P到線段AB的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？

因?yàn)辄c(diǎn)P可能在線段AB上，也可能在線段AB外，所以探討上述問(wèn)題，要分兩種情況討論當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P是否都在線段AB的垂直平分線上。ABP(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB時(shí)，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB是垂直平分線上。PABC(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)(如圖)：因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.過(guò)頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊上的中線.即PC⊥AB，且AC=CB。因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.思路：要證點(diǎn)O在AC的垂直平分線上，只需證明

，而由AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，

可證

，從而得

，于是點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.OA=OCOA=OB，OB=OCOA=OCABCOABCO證明：∵點(diǎn)O在AC的垂直平分線上，∴

.OA=OB同理

.OB=OC∴

.OA=OC∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.（三角形三邊的垂直垂直平分線相交于一點(diǎn)）1.如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)E，連接CE，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ED⊥BC

B.∠B=∠ECB

C.AE+EC=AB

D.∠AEC=∠DEC

D解析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)定理可知A，B，C正確。故選D。ABCED2.如圖，CA=CB，DA=DB，AB、DC相交于點(diǎn)O.下列結(jié)論:①AB垂直平分CD；②CD垂直平分AB；③CD平分∠ACB；④∠DAC=∠DBC中正確的有（）A.①②③

B.②③④C.①②④D.①③④解析：根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理和等腰三角形的性質(zhì)，可知①②④正確.故選C.CDCAOB1.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理是什么？

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理是什么？

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.1.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°,∠BAC=80°,求∠CAE的度數(shù).思路：先由DE是AB的垂直平分線得

，從而得∠BAE=∠B=30°。又∠BAC=80°,所以∠CAE=∠BAC－∠BAE=50°ABCDEEA=EB解：∵

DE是AB的垂直平分線，∴

.∴∠BAE=

=

.又∵∠BAC=80°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=80°-30°=50°.ABCDE∠B30°EA=EB2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外兩點(diǎn)，且AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO.思路