人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 空間向量的數(shù)量積運算 同步訓(xùn)練

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算精講精練同步訓(xùn)練

【考點梳理】

考點一空間向量的夾角

1.定義：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點0,作G=a,OB=b,則NA02叫做

向量a,》的夾角，記作〈a,b).

2.范圍：OW〈a,b)W%.,當(dāng)〈a,b)=鄂寸，a-LZ>.

考點二空間向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量〃，b,則|a||5|cos〈a,b)叫做a,8的數(shù)量積，記作。山.

定義即a山=|〃||例cos〈a,b〉.

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

①仍=0

性質(zhì)

②0〃=/=|0|2

①(腦)仍=2(〃6),2￡R.

運算律②。仍(交換律).

③a?S+c)=a?5+a?c(分配律).

考點三向量a的投影

1.如圖(1),在空間，向量a向向量，投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移

到同一個平面a內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量B共線的向量c,c=|a|cos〈a,

b)由，向量c稱為向量a在向量》上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線/投影(如

圖⑵).

2.如圖(3),向量“向平面夕投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面乃的垂線，

垂足分別為A',B',得到彳―，向量NF稱為向量a在平面￡上的投影向量.這時,

向量a,A'B'的夾角就是向量。所在直線與平面//所成的角.

(1)⑵(3)

【題型歸納】

題型一：空間向量的數(shù)量積的運算

1.已知空間中非零向量Z，b，且同=2,M=3,＜癡＞=60°,貝U忸-3勾的值為（）.

A.9B.97C.屈D.61

2.平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）43。-A⑸G，中，

ZAiAB=AD=ABAD=60°,AB=AD=1,AQ=711,則A4=（）

A.1B.夜C.2D.4

-TT

3.在底面是正方形的四棱柱ABCO-AAG。中，AB=l,BB,=2,ZAiAD=ZAlAB=-,

?UUIT|

則Rc卜（）

A.72B.710C.y/3D.2

題型二：空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用（夾角和模）

TT

4.如圖所示，空間四邊形Q4BC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=-,貝hosvC?，BC＞

的值是（）

A.0B.JC.BD.正

222

5.已知同=4,空間向量々為單位向量，（a,e）=^~,則空間向量4在向量Z方向上的投影

的數(shù)量為（）

A.2B.—2C.—D.—

22

6.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，S.AB=AP=6,AD=2,

ZBAD^ZBAP^ZDAP^60°,E,F分別為PB,PC上的點，且苑=2麗，PF=FC

C.2D.瓜

【雙基達標(biāo)】

一、單選題

7.已知非零向量Z,另不平行，并且其模相等，貝工+B與日一加之間的關(guān)系是()

A.垂直B.共線C.不垂直D.以上都可以

8.己知均為單位向量，它們的夾角為60。，那么，+34=()

A.幣B.VW

C.V13D.4

9.如圖，在平行六面體ABCD-A耳GR中，AB=AD=1,

IUULTI

胡=?/a14,=/DU,=45。,440=60。，則產(chǎn)|=()

A.1B.6C.9D.3

10.已知空間向量Z，b，2滿足2+■+"="同=1,忖=2,口=萬，則￡與B的夾角為

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.已知四面體ABCD中，AB>AC,AO兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中不成立的是().

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-AE^

B.\AB+AC+AD[=\AB[+\AC[+\AD[

c.(AB+AC+AD)BC=0

D.ABCD^ACBD=ADBC

12.空間四邊形ABCD各邊及對角線長均為E,F,G分別是AB,AD,QC的中

點,則至.GF=（）

A.1B.1C.72D.變

22

13.已知￡段是夾角為60。的兩個單位向量，則日與》=『24的夾角是（）

A.60°B.120°C.30°D.90°

14.已知四棱柱48a）-A瓦G。的底面ABCD是矩形，

萬|UULr

AB=l,AD=AA}=2,ZAiAD=ZAlAB=-,貝!］產(chǎn)|=（）

A.2A/3B.4C.372D.岳

15.已知平行六面體ABCD—中，AB=4,A￡>=3,A4'=5,BAD=90°,

Za44=ZD44'=6O。.則AC'的長為（）

A.785B.797C.12D.2屈

16.如圖在長方體ABCDA4GA中，設(shè)AO=A4,=1,AB=2,則函?正等于（）

A.1B.2C.3D.亞

3

【高分突破】

一：單選題

17.已知空間向量4=(3,0,4),&=(-3,2,5),則向量5在向量4上的投影向量是()

A.—(—3,2,5)B.—(—3,2,5)C.—(3,0,4)D.—(3,0,4)

25382538

18.平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)A3C。-AqGR所有棱長都為1,且

44D=NAA8=60°,ND42=45o頰WJ=()

A.73-1B.V2-1C.73-A/2D.V3-V2

19.如圖，空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,點尸，G分別是AD,的

中點，則不存.題=()

1

B.-c

4-1

20.設(shè)2、B為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式:

③（引H；=a-2a-b+b.

其中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

21.已知在平行六面體ABCD-AEC'。'中，AB=3,AD=4,AA!=5,ZBA￡>=120°,

/A4A=60°,ZDAA=90°,則AC'的長為（）.

A.572B.5A/3C.病D.后

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱R4的長為2,且

R4與AB,的夾角都等于60°.若“是PC的中點，則|嬴|=()

23.如圖在平行六面體ABC。-A與G2中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱44,=2

且NAA￡?=/AAB=60。，貝I]AQ=（）

Di

Ci

AB

A.2A/2B.曬C.2A/3D.714

24.在棱長為2的正四面體ABCD中，點〃滿足Z而=x^+y蔗-（x+y-l）而，點N滿

足的=2麗+（1-;I）患，當(dāng)3N最短時，AM-MN=（）

A.--B.-C.--D.-

3333

二、多選題

25.已知ABC。-是正方體，以下正確命題有（）

A.（AA+42+4耳）=SAjjBj；B._AA）=0；

UUU

C.向量而與向量AB的夾角為60。；D.正方體ABCD-A4GR的體積為

\ABA\AD\.

26.正方體ABCZ）-ABGR的棱長為。，則下列結(jié)論正確的是（）

22

A.AB-=—aB.BD-BDX=2a

C.ACBA,=-crD.ABAC[=2a2

27.已知ABCD-AISCLDI為正方體，下列說法中正確的是（）

A.（帚+而+而『=3（硒）2

B.京.（麗_刎=0

C.向量AR與向量平的夾角是60°

D.正方體ABCZJ-AiBiC。的體積為回.福.西

28.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCO-A4G2,其中，以頂點A為端點的三

條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說法中正確的是（）

A.西+通+珂=2㈤2B,菊?(荏_碼=0

D即與前所成角的余弦值為g

C.向量鴕與眼的夾角是60。

三、填空題

29.設(shè)%b,不是單位向量，且展片O,貝陽一m)@-3的最小值為.

30.已知2,B是空間兩個向量，若W=2，W=2,卜一坂卜近，則cos(a,B)=.

31.如圖所示，已知空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是

AB,AD,8的中點，則方.麗=.

32.如圖，在平行六面體ABC。-44GA中，底面是邊長為2的正方形，若

NAAB=/4AD=60。，且4A=3,則AC的長為.

AB

四、解答題

33.如圖，在正方體ABCD—AxBxCxDi中，CDi和DCi相交于點0,連接A0.求證:AO±CDi.

34.如圖，已知空間四邊形A8CD的每條邊和對角線長都等于m點、E、F,G分別是AB、

AD,。。的中點.求下列向量的數(shù)量積：

uimuum__.__.__kkuimuuu

（1）AB-AC-,（2）AD.BD；⑶GFAC-,（4）EFBC-

35.如圖，在平行六面體ABC。一AB'C'。'中，AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=90°,

NS4A'=ND4A'=60°.求：

（1）AA'ABi(2)AB，的長;（3）AC'的長.

36.在空間四邊形Q4BC中，E是線段8C的中點，G在線段AE上，且AG=2GE.

(1)試用加，詼，宓表示向量礪；

(2)若。4=2,03=3,OC=4,ZAOC=ZBOC=60°,ZAOB=90°,求江通的值

及西

【答案詳解】

1.c

【詳解】

=47+獷-127B=4X4+9X9-12目Wcos60°

=97-12x2x3x^=61,

2

.,.目_34=屈，

故選：C.

2.C

【詳解】

平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）A3C。-a旦G2中，

ZAiAB=Z^AD=ABAD=60°,AB=AD=1,AC；=而，作圖如下:

令通=4，AD=BC=b，A^=CC[=c,

貝!J<a,5>=<a,}>=<5,f>=60。，|?|=|&|=1,|AC||=VIT,設(shè)4A=t,即同=t,

由離=通+而+M=a+5+^=a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c>

r,111

即11=1+1+?+2x1x1x—F2x1x?x—F2x1xx—t?+2,一8=0,

222

解得：t=2^t=-4（舍去），即AA=2.

故選：C.

3.A

-rr

因為四棱柱A5CD—A4G2中，底面是正方形，AB=\,BB\=2,A\AD=A\AB=~,

ULUlUUL1UUUUULILUUUUUUUUU

則40=4。1+￡0=42+4耳+4人，

IUUITIIuuumuumuuiii/zuuum

所以AC

||=|AQ1+A4+AA=AM+

uuumUUUHuuumuunummuuir

ARA4yAjA+24。].A]B[+2AA，AA+244?AA

Iuuuin11uuun?uuuintoriuuim|iuuii|

用,同n

12+12+22+2,cos-+2|A1D1||A1A|cosZA41D1+2|A1B1||A1A|COS/AA4

2

6+4cos|九一?+4cosn--=J6—4=V2.

I3

故選：A.

4.A

?：OB=OC,

OABC=OA-(OC-OB)=OADC-OAOB=網(wǎng)|元cos(一兩|僻cos0A|?(|OC\-\OB)=0

cos<OA,BC>=0,

故選：A

5.B

【詳解】

由題意，同=4,同=1,

則空間向量方在向量色方向上的投影為。?々「"Hdcos]j

同一同-I2卜

故選：B.

6.B

【詳解】

VPE=2EB>PF=FC，

：.EF=EB+BA+AP+PF=--BP-AB+AP+-PC

32

=^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+BC-AP)=-^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+AD-AP)

1—.1—.1—.

=——AB+-AD+-AP,

626

XABA5=APAD=6x2xcos60°=6>AB-AP=6x6xcos60°=18.

1國+1通+/：=舊啟+：礪麗Y麗?正】說N+：而了

=J—x36+-x4+—x36--x6-—xl8+-x6=V2.

N364366186

7.A

因為?+4")=/4=@第2=0,

所以,

故選：A

8.C

【詳解】

卜+3囚=J(a+3l)=+6H+9片=+6|a|-|&|cos600+9|fe|

=Jl+3+9=A/13

故選：C

9.D

【詳解】

在平行六面體A3C￡)-A4CQi中，

有/=通+而，ACX=AC+A\=AB+AD+A\,

由題知，AB=AD=1,A4,=V2,ZBAAX=ZDAA,=45°,ZBAD=60°,

所以網(wǎng)=|碼=1,網(wǎng)=0,順與通的夾角為440=60。，

荏與眼的夾角為/&四=45。，而與麗的夾角為/44。=45。，

所以

----------?2

AC.

=(通+而+祠2

=網(wǎng)2+|15|2+陽1+2AB-AD+2AB?麗+2AD?麗

=l+l+2+2xlxlxcos600+2xlx及xcos450+2xlx垃xcos45°

=9.

所以|砌=3.

故選：D.

10.C

設(shè)Z與B的夾角為e.由Z+B+"=O,得2+7Y，兩邊平方，^+2a-b+b=

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cosd=g,又6e[0,TV],所以。=60'，

故選：c.

11.c

【詳解】

QAB、AC、AD兩兩垂直，則可得Afi_LCD、AC_L8￡>、ADLBC,

umuuuu

-S.AB-AC=0'AB-AD=0'AC-AD=0>AC-BD=0AD-BC=0,

..A,B、D選項均正確，

故選：C.

12.A

【詳解】

空間四邊形ABCD各邊及對角線長均為近,

所以四邊形ABC。構(gòu)成的四面體ABC。是正四面體，四個面是等邊三角形,

因為E,F,G分別是AB,AD,0c的中點，

所以AC〃產(chǎn)G,-AC//FG,

2

GE=GB+BE=~（BC+BD^+^BA,

GF=^CA,所以加.衣=一：（阮+麗一麗）?麗=一：（而+麗?瓦一麗?旦）

=-^BCCA+BD（BA-BC）-BAC^

=-^^BCCA+BDBA-BDBC-BACAj

=-|就'S^cos120。+1麗,麗卜osGO。—］而,叫cos60,一|網(wǎng)1司8$60）

1"C1C1C1C1

——2x—F2x—2x----2x-

422222

故選：A.

A

13.B

由題意得々?方二(%+e2)'(e^-2e2)=ei-ex-e2-2=1一lxlx；一2二2

2

舊I=V?=J(ei+62)2=Je；+2ei-€2+02=A/1+1+1=\/3,

\bI-=&ei_2/)2=J【一2一--2I------------------/—

€\—4臼?€2+4/—A/1—2+4=73?

cos國,0=_2.

麗F2

@5'=120。.

故選:B.

14.D

【詳解】

國L+通+麗卜J(詬+而+麗y

/---?2------?2------->2/------?------?------?-------?------?-------?\

=JAB+AD+A4,+2(ABAD+ABAAl+ADAAij

=^1+4+4+2(0+1+2)=715.

故選：D

15.A

【詳解】

記。=48，b=AD,c=AA',貝!J4%=4、3乂8$90。=0，同理五?。=萬，a-c=10.

由空間向量加法法則得k=Z+B+),

22222:222

/.|AC|=(a+&+c)=a+&+c+2a-&+2^-c+2a-(=4+3+5+2xy+2xl085,

.?.罔=病，即AC=體.

故選：A.

16.A

【詳解】

由長方體的性質(zhì)可知AD±AB,AD±BB1,AD〃BC,AD=BC=1,

BD[=BA+BC+BB(,

所以西.茄=（麗+患+甌）?赤=麗.而+初?而+甌.而

----2

=0+BC+0=1-

故選：A

17.C

【詳解】

解：向量苕=(3,0,4),5=(-3,2,5),

則|冽=5,忖=屈，a-b=U，

所以向量B在向量。上的投影向量為

/-711a,11_11/\

現(xiàn)1osRH島第卑后—,38x------==x—=—Q=—(3,0,4)

?/小\a\\b\\a\5x73852525、K

故選：C.

18.C

【詳解】

如圖:

由西^赤_詬+招

BD\=(AD-AB+A^)2

^AB+AD+A\-IABAD-IABAA.+IADAA,

=l+l+l-2xlxlxcos45°-2xlxlxcos60°+2xlxlxcos60°

=3-^2,

.[西i=h夜,

19.B

由題意得的所以西?麗=,衣?南=』xlxlxcos60°=L

2224

故選：B

20.B

對于①，a=|fl|cos0=|a|,①正確；

對于②，向量不能作比值，即2錯誤，②錯誤；

a

對于③，設(shè)于B的夾角為夕，則(。⑥)=(卜H4cose)=|a|-|5|cos20<ab,③錯誤;

對于④，由空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得R-B)2=Z2-27B+B2,④正確.

故選：B.

21.D

【詳解】

解：在平行六面體ABCD-AB'C'。'中，因為記=荏+蒞+而，所以

|ACI^CAB+AD+AA7)2=|AB|2+1AD|2+1A^l2+2AB-AD+2AB-AA+2.AD-AA

=9+16+25+2x3x4xcosl20°+2x3x5xcos60°=50-12+15=53.

所以|苑|=后.

22.A

【詳解】

、—I—>—>—>—>—>—>

^AB=a9AD=b9AP=cf

因為AB=AD=1,PA=2,

所以|/=|百=1，|c|=2?

又因為ZPAB=ZPAD=60",

所以商啰二。,a-c=b-c=2xlxcos60°=1.

易得氏M―5(+b+c),

所以

IBM|2=^-{-a+b+c)2+B。+c2+2x(-a-b-a-c+b-c)~^

=1X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|,

所以I嬴|=乎.

故選：A

23.B

解：因為底面A3C。是邊長為1的正方形，側(cè)棱的=2且NAAD=NAA3=60。,

則題2=1,劭2=上羽2=一冷.粉=o,ABA\=|AB|-|A4|-COSZ4AB^1,

葩?福二|而，呵|?cosZ4Ao=1,

則羽

=陛+而+詞

='(荏+通+可)2

/+2-?2*2?—?-*::二

={AB+AD+A4,+2AB-AA,+2AB-AD+2AD-AAt

=Jl+1+4+2+0+2

=Vw

故選：B.

24.A

因為點M滿足AM=xAB+yAC-(x+y-l)AD,

所以Me平面3co

因為點N滿足麗=X麗+(1-；l)或，

所以Ne直線AC,

若40、3N最短時，則AM,平面BCD,BNLAC,

所以M為△BCD的中心，N為AC的中點，

此時|林|=芋，

*/AM±平面BCD,MCu平面BCD,

：.AM±MC,

A|MA|=7|AC|2-|MC|2=普.

----1―.―.

y,MN=-(MC+MA),

：.AM-W=|(W-MC+AM-M4)--1|M4|2=-1.

故選：A.

25.AB

【詳解】

A：AAAR,4耳兩兩垂直，且1441=1AR1=1A4l,所以

（AXA+A]D}+\BA=4不+A?！?44一+24A.^Df+2Az>].44+24444=3aBj,正

確；

B：由荏=不+而+麗，所以

京?（麗-*）=（9+而+碣）.（宿-中）

=A^A-A^+A^-A^+A^'-A^A-AjX-A^A+A^-A^A=A^2-A^A=0>正確；

C：由正方體性質(zhì)知：AD,面AB旦4,而ABu面AB44，即AOLAH，即向量而與向

UU11

量的夾角為90°，錯誤；

D：由圖知：AB-AA^-AD=0,正方體ABC。-4瓦G2的體積不為|荏.羽.而|,錯誤；

故選：AB.

26.BC

如下圖所示：

2

對于A選項，AB-^C.=ABAC=AB\AB+AD^=AB=a,A選項錯誤；

對于B選項，

BDBD^=^AD-AB^（BD+DD\^=（Ai5-AB^（XD-AB+AA[^=AD2+AB=2a2,B選項正

確；

對于C選項，AC-BA^=（AB+AD）-（AA^-AB）=-AB2=-a2,C選項正確;

對于D選項，AB-AC1=AB?(AB+AD+AAJ=AB=a2,D選項錯誤.

故選：BC.

27.AB

【詳解】

由向量的加法得到：￥+H?+AK=NC，：A1C2=3A|B；,，(AQ)2=3(AK『，所以

A正確；

-率=AB1,ABiLAiC,.恒=0,故B正確；

：△AC。是等邊三角形，.?./&￡>《=60。，又ALB〃QC,...異面直線Ad與48所成的夾

角為60。，但是向量氐，與向量率的夾角是120。，故C不正確；

\'AB±AAi,.\AB-AA；=0,故|麗?麗?Z4=0,因此。不正確.

故選：AB.

28.AB

【詳解】

以頂點A為端點的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60。，

可設(shè)棱長為1,則麗?麗=可?而=正,而=lxlxcos60°=；

/--------?-------?--------?\2-------->2-------?2--------?2--------?------->------->-------->--------*--------?

(AA^AB+ADj=4^+AB+AD+2AACAB+2AB-AD+2AAX-AD

=l+l+l+3x2x—=6

2

而2(衣『=2/+而J=2(旃2+蒞?+2通.而)

=2(l+l+2x；［=2x3=6,所以A正確.

AQ-(AB-AD)=(AA+AB+AS)(AB-AD)

=A^-AB-A^-AD+AB2-AB-AD+AD-AB-AD=0,所以B正確.

向量麻=而，

顯然為等邊三角形，則乙取。=60。.

所以向量而與麗的夾角是120。，向量即與福的夾角是120。,則C不正確

又西=礪+麗-礪，AC=AB+AD

則|兩|="而+菊一百二五,|AC|=J(通+西,

西.衣=(15+福-砌.(而+礪)=1

所以cos（函,碼=黑=6/=號,所以D不正確.

'/IBDJ4MsQV2xV36

故選：AB

29.1-V2.

【詳解】

ab=0＜且商，b,不均為單位向量,

\a+b\=,伍+.=Va2+*2+2aF=A/P+F+2^0=應(yīng)，

|c1=1,c2=1,

".(a-c^-{b-c^=ab-(a+b^-c+c2=\-(a+b^-c.

設(shè)4+5與C的夾角為仇

則(a-e),值Y)=1—獷+磯?cos0=1-5/2cos0.

故僅一3）?僅一司的最小值為1一行.

故答案為：1-&.

30.

8

因為忖=2,忖=2,卜_q=V7,

所以R-4叩『一2￡」+|甲=7,

___1

解得=

1

所以儂（。肉=訕

2x28

故答案為：:

O

31.-

4

【詳解】

l^AB=a,AC=b,AD=c,則同=,=忖=1且兩兩夾角為60。

ffr\^a-b=b-c=a-c=—

2

EF=LBD=L(AD-AB]=^-,BA=-AB=-a

22、,2

所以方.麗=_('一“>"=一」("仄一￡2)=」

22\)4

故答案為：—

4

32.75

【詳解】

因為丞=率+*=41+通+也

所以|相2=(9+而+通)2=|^l|2+|AB|2+\ADf+2A^A-AB+2A^A-AD+2AB-AD

=9+4+4—232cos60°—232cos60°+0=17—12=5,

所以卜石，所以AC的長為石，

故答案為：下.

33