《高考中的正態(tài)分布問題及解題方法淺析》6100字（論文）

第1章引言在概率論中正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，又常常被稱作為常態(tài)分布，早在十七世紀(jì)三十年代時(shí)，德國的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家Moivre初次提出了正態(tài)分布的概念，在后來，數(shù)學(xué)家Gauss率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)的研究中，故正態(tài)分布又有“高斯分布”之稱，并且Gauss與法國概率論學(xué)家Laplace研究了正態(tài)分布的性質(zhì)，這項(xiàng)工作對后世的影響極大[1]，對此做出了很多重要的貢獻(xiàn).正態(tài)分布不只在數(shù)學(xué)中有很重要的地位，并且在生活中也有很廣泛的應(yīng)用．在當(dāng)今社會，許多隨機(jī)變量在科學(xué)試驗(yàn)或生產(chǎn)生活中的分布可以用正態(tài)分布近似描述．比如，在農(nóng)學(xué)中，觀察分析同一種植物的身長、體重以及含水量等指標(biāo)，通過建立正態(tài)分布模型來得出最適合該植物生長的溫度、水量、陽光等條件，以便于農(nóng)戶更好地種植此種植物，從而達(dá)到收益最大化．在醫(yī)學(xué)中，通過觀察分析同種群體的身高、血紅蛋白量、紅細(xì)胞數(shù)等，建立正態(tài)分布模型來得出群體在健康水平下的數(shù)據(jù)區(qū)間，以便于醫(yī)生在看診中更直觀的判斷出該患者的某一指標(biāo)是否處于健康水平．近年來，正態(tài)分布受到了國內(nèi)外廣泛關(guān)注，相關(guān)專業(yè)人員對關(guān)于正態(tài)分布在高考中的應(yīng)用進(jìn)行了更進(jìn)一步地調(diào)查研究，明確了正態(tài)分布在未來高考中的熱點(diǎn)趨勢．正態(tài)分布新課內(nèi)容在高中課本選修2-3中，雖然頁數(shù)和課時(shí)占的比重并不大，但它有自己的意義和應(yīng)用，并且為將來在大學(xué)中學(xué)習(xí)概率論打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．對此，下面來探討正態(tài)分布在高考中的解題方法，以便于高三考生們能夠更有針對性，更全面的掌握復(fù)習(xí)正態(tài)分布．第2章正態(tài)分布的基本理論2.1正態(tài)分布的定義定義2.1若一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：，，，的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線[2]．定義2.2對于，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記作[3].定義2.3在正態(tài)分布中，當(dāng)，時(shí)，現(xiàn)在的正態(tài)分布被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若,則，這樣一般正態(tài)分布就可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式.2.2正態(tài)分布的圖形與圖形特征圖2.1正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)分布曲線如圖2.1所示，根據(jù)圖形能夠看出，曲線呈鐘形，且關(guān)于對稱，最大值可以取到；圖形都處于第一、第二象限，與軸不相交，并且曲線與軸圍成的面積為固定值1.正態(tài)曲線完全依賴于正態(tài)分布中的和，在正態(tài)分布中，當(dāng)某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，曲線也會隨之發(fā)生變化.比如：當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀不會發(fā)生變化，但曲線的位置會隨著的變化而變化，當(dāng)變小時(shí)，曲線沿著軸平行向左移動，當(dāng)變大時(shí)，曲線沿著軸平行向右移動；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置不會發(fā)生變化，但曲線的形狀會隨著的變化而變化，越小，曲線上的點(diǎn)的分布越集中，形狀顯得越“瘦高”，越大，曲線上的點(diǎn)的分布越分散，形狀顯得越“矮胖”.可見，、分別決定了正態(tài)曲線的位置和形狀，所以我們稱和為正態(tài)概率密度函數(shù)的位置參數(shù)和形狀參數(shù)[4].圖2.2兩種參數(shù)不同情況下的正態(tài)分布概率密度曲線定理2.1原則[5]：若，則，，，當(dāng)和一定時(shí)，曲線和軸圍成的面積與的增減成反比，即減少時(shí)，它的面積就隨著增大，要使落在區(qū)間的概率大，就要使減小，即越小，集中在四周概率越大.因此有由此可見，若在區(qū)間外，則，幾乎不可能發(fā)生，所以隨機(jī)變量可能取值的區(qū)間為．在數(shù)學(xué)生活中或者現(xiàn)實(shí)生活中，原則的應(yīng)用特別廣泛，在高考中也是一個(gè)的熱門的考點(diǎn)，需要高三考生們熟記并且能夠熟練的應(yīng)用.第3章高考中正態(tài)分布的解題方法3.1考查正態(tài)分布的對稱性正態(tài)分布曲線一共有六個(gè)圖形特征，在這六個(gè)圖形特征中最基礎(chǔ)的，也是最重要的一個(gè)特征就是正態(tài)分布圖形的對稱性，這是很多種正態(tài)分布問題解題的關(guān)鍵點(diǎn)，并且在高考中占分比值也比較大，若高考中有正態(tài)分布的題，那么正態(tài)分布的對稱性是一定會考查到的，以下的這兩道例題考查到了正態(tài)分布的對稱性，我們來分析正態(tài)分布的對稱性的解法.例3.1在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為().分析：由題意可知道，根據(jù)圖形特征可以知道在和的概率是相等的，本題要求在的概率，就可以轉(zhuǎn)化為在的概率加上在的概率，也就是兩倍的在的概率．解：，，=0.8．小結(jié)：這道真題主要是考查正態(tài)分布圖形的對稱性來解答，也是解這道題的關(guān)鍵，通過正態(tài)分布圖形的對稱性可以得出在和在上的概率是相等的，知道了這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之后，答案也就出來了，這道題比較基礎(chǔ)，內(nèi)容也很簡單，沒有難點(diǎn)．例3.2三個(gè)燈泡按照圖3.1的方式連接而成，該部件正常工作的前提是燈泡正常工作，燈泡燈泡其中有一個(gè)正常工作，設(shè)每個(gè)燈泡的使用壽命（單位：小時(shí)）都服從正態(tài)分布，且每個(gè)燈泡相互獨(dú)立，求該部件的使用壽命超過小時(shí)的概率為[6]：圖3.1三個(gè)部件的連接圖分析：由題意可得，正態(tài)分布的對稱軸，該部件中每個(gè)燈泡使用壽命超過或者不超過的概率都為，燈泡與燈泡是并聯(lián)電路，燈泡燈泡與燈泡是串聯(lián)電路，去掉燈泡燈泡都不正常之后，剩余的概率為，也就是說燈泡1正常燈泡不正常，燈泡不正常燈泡正常和燈泡正常燈泡也正常這三種情況加起來的概率為，在乘以燈泡正常情況下的概率，就得出了總的該部件使用壽命超過小時(shí)的概率.解：設(shè)燈泡、燈泡、燈泡使用壽命超過小時(shí)分別為事件、、，當(dāng)使用壽命超過小時(shí)時(shí)，燈泡、燈泡至少有一個(gè)正常為事件,該部件的使用壽命超過小時(shí)為事件.由題意可得，三個(gè)燈泡的使用壽命都服從，所以，，，，超過小時(shí)時(shí)，燈泡正常的概率為，所以.小結(jié)：該題以實(shí)際生活中的電路串并聯(lián)為背景，首先通過正態(tài)分布圖形的對稱性得出每個(gè)燈泡使用壽命超過小時(shí)的概率和每個(gè)燈泡使用壽命不超過的概率是相等的，所以，每個(gè)燈泡使用壽命超過小時(shí)和不超過小時(shí)的概率都為，再用兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的條件下的概率公式求出最后的概率，希望高三考生們能夠捋清楚思路，把正態(tài)分布的對稱性與概率中的其他公式相結(jié)合，最終得出答案.前面的這兩道例題所用到的正態(tài)分布對稱性都是根據(jù)一個(gè)正態(tài)曲線的對稱軸來解答的，那在高考真題中并不是只單獨(dú)考查一個(gè)正態(tài)分布的對稱軸，也曾經(jīng)在某一個(gè)真題中出現(xiàn)過兩個(gè)正態(tài)曲線，那這兩個(gè)正態(tài)曲線就有兩個(gè)正態(tài)分布的對稱軸，可以通過這兩條對稱軸的所處軸上的數(shù)值來判斷這兩個(gè)正態(tài)分布圖形之間的關(guān)系.下面有一道例題是應(yīng)用了上面的這種方法來判斷兩個(gè)圖形之間的關(guān)系.例3.3設(shè)，，如圖3.2，分別給出了和的正態(tài)分布密度曲線圖，則下面結(jié)論正確的是（）....，.，圖3.2和的正態(tài)密度曲線分析：看圖3.2，的對稱軸在的對稱軸左邊，正態(tài)曲線與軸之間的面積為定值1，從而就可以得到，從正態(tài)分布密度曲線的特征來看，的數(shù)值越小，得到的正態(tài)分布的密度曲線形狀就越“瘦高”，由圖3.2，可以看出的曲線相比于的曲線更“瘦高”[7]，得出，從而得到，任意取一個(gè)正數(shù)，通過圖3.2和正態(tài)分布密度曲線可以看出.解：這道題答案應(yīng)該選，選項(xiàng)應(yīng)該是，選項(xiàng)應(yīng)該改為，選項(xiàng)是正確的，選項(xiàng)，，則.小結(jié)：這道題考查的主要就是正態(tài)分布曲線的對稱性，、兩個(gè)選項(xiàng)是根據(jù)和的正態(tài)曲線的對稱軸在軸上的值來判斷，從而來判斷、選項(xiàng)是否正確，、兩個(gè)選項(xiàng)是根據(jù)任意選取的的值與兩條正態(tài)曲線的對稱軸之間的距離來判斷選項(xiàng)和選項(xiàng)中的面積大小關(guān)系是否正確．這道真題考查的知識點(diǎn)比較基礎(chǔ)，但需要學(xué)生們很細(xì)心，一步一步按照學(xué)過的知識來解答，這種題型出現(xiàn)的次數(shù)并不是很多，所以需要同學(xué)們吃透，掌握好正態(tài)分布中的每一個(gè)知識點(diǎn)，這道題很好的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，同學(xué)們能夠從中體會到數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)也鍛煉了同學(xué)們的觀察思考能力.這一部分的真題主要考查到了正態(tài)分布圖形的對稱性，在正態(tài)分布圖形對稱軸的兩側(cè)，若隨機(jī)變量所處于的兩個(gè)區(qū)間是關(guān)于正態(tài)分布對稱軸對稱，那隨機(jī)變量在這兩個(gè)區(qū)間上的概率是相等的，若題目中有兩個(gè)正態(tài)曲線，可以根據(jù)這兩條對稱軸的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)是否正確，或者根據(jù)對稱軸的位置來解答問題，考查的這內(nèi)容本身比較簡單，沒有很大的難度，但需要同學(xué)們的認(rèn)真細(xì)心.3.2考查正態(tài)分布的3原則正態(tài)分布中的原則是非常重要的，不僅在數(shù)學(xué)中，在實(shí)際生活中都有很廣泛的應(yīng)用，通常在高考中考查到正態(tài)分布時(shí)，可能會單獨(dú)的考查原則，也有可能會結(jié)合其它內(nèi)容對正態(tài)分布中的原則進(jìn)行考查，下面我們就來舉例探討一下在高考中是怎樣考查正態(tài)分布的原則的.例3.3如圖3.3,在正方形中隨機(jī)投擲了個(gè)點(diǎn)，曲線為正態(tài)分布的密度曲線，估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（）[8]．圖3.3投擲點(diǎn)的分布情況附：若,則，．A．2386B．2718C．3413D．4772分析：落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)等同于求陰影部分的面積，由題意可以知道，，題目里的附帶信息給出了，也就是，在和上的概率是相等的，所以在上的概率就等于在上概率的一半．解：由知，，所以，故．所以落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為（古典概型），所以.小結(jié):這道題不僅僅用到了正態(tài)分布圖形的對稱性，還用到了原則，在解題過程中它們二者是相輔相成的，判斷出正態(tài)分布對稱軸兩邊對稱的區(qū)間后，根據(jù)原則進(jìn)一步的求解，最后又用到了概率論中的古典概型，與前面的知識相結(jié)合，求得最后的結(jié)果.例3.4已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布，從中這批零件中隨機(jī)抽取一件，它的長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）[9]．附：若服從，則，．分析：題目中的長度誤差服從的是正態(tài)分布，那這道題就可以用正態(tài)分布來解答，重點(diǎn)考察了正態(tài)分布的圖形特征，由題意及其附帶信息我們可以得到有關(guān)于和的信息，，，，，如果想得到在上的概率，可以用在上的概率減去在的概率，得出的概率是在的概率和在上的概率，而它們兩個(gè)是相等的，最后就可以得到在的概率．解：==．小結(jié)：這道題是以實(shí)際生活中的工廠生產(chǎn)零件為例，給出了零件的長度誤差服從正態(tài)分布，要求在某一個(gè)區(qū)間的概率值，正態(tài)分布的對稱性和原則相結(jié)合，最終求得某個(gè)隨機(jī)抽取的零件長度誤差在的概率．例3.5假設(shè)每天從地去地的旅客人數(shù)記為，服從正態(tài)分布，記一天中從地去地的旅客人數(shù)不超過的概率為，求的值[10].參考數(shù)據(jù)：若，有=0.6826，=0.9544，=0.9974．分析：本題題目中已經(jīng)給出正態(tài)分布，通過題目可以得知，，第一問要求得當(dāng)不超過900時(shí)的概率為多少，在上的概率等于在加上在上的概率，最終就可求得．解：因?yàn)榉?，所?，,所以.小結(jié)：這道題是以實(shí)際生活中的旅客人數(shù)為背景，已知服從的是正態(tài)分布，要求隨機(jī)變量小于的概率，同樣的也是把正態(tài)分布的對稱性和原則相結(jié)合，他們二者相輔相成，最終求得答案.這一部分考查的是原則，通常考查原則與正態(tài)分布的對稱性結(jié)合起來，也會在這個(gè)的基礎(chǔ)上再結(jié)合別的內(nèi)容進(jìn)行考查，但是做這種類型的題時(shí)，解題的重點(diǎn)還是在正態(tài)分布的原則上，考查的題目難度基本處于中等水平，同學(xué)們?nèi)绻軌蛘J(rèn)真的思考問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把題目中考查到的知識聯(lián)系起來，找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，題目的答案也就出來了.3.3考查化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布前面分析討論了在高考中考查到的正態(tài)分布的對稱性和原則的解法，在高考題中對正態(tài)分布的考查并不是只有這兩種類型的題，在前面我們也給出了將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的公式.一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就是將一般公式中的兩個(gè)參數(shù)和的值轉(zhuǎn)化為，，在這兩個(gè)條件下，正態(tài)分布就化成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．化繁為簡，化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，做題會更加高效.當(dāng)題目中給出了一般的正態(tài)分布，但用題目所給出的條件并不能進(jìn)行下一步的解答時(shí)，那在這個(gè)時(shí)候就可以把一般正態(tài)分布通過公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之后，來進(jìn)行下一步的解答.下面這道例題就是把一般正態(tài)分布公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之后，經(jīng)過運(yùn)算求解得到最后的結(jié)果.例3.7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在上取值的概率記為，若服從，則等于（）.分析：這個(gè)題首先要記得一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化公式，在把題目中要求的概率轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的式子，最后可以發(fā)現(xiàn)分式的分子和分母可以約分，得出最后的結(jié)果.解：因?yàn)椋裕?===.小結(jié)：這道題并沒有單純的考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及圖形情況，解答這道題最關(guān)鍵的地方是正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間轉(zhuǎn)化的公式，通過公式把復(fù)雜的問題變得簡單化，化成了標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，對同學(xué)們來說也比較熟悉，計(jì)算起來會更順手，并且轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，就會發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的式子可以進(jìn)行約分，約分之后就可以得到選項(xiàng)的答案，同時(shí)考查了考生們在概率方面的計(jì)算能力，這種題型在高考全國卷中幾乎沒有，也拓寬了高三考生的知識面，以后遇到類似的題目可以很好的把握.由上述內(nèi)容可以看出，高考并不是只考查熱門的常見的考點(diǎn)，在正態(tài)分布中，圖形的對稱性和原則可謂是炙手可熱，但盡管如此，也不能忽視，甚至忘記正態(tài)分布的其它內(nèi)容，上面這道例題考查到了一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化公式，同時(shí)也考查了考生們在概率方面的計(jì)算能力，這種題型在高考全國卷中幾乎沒有，也拓寬了高三考生的知識面，以后遇到類似的題目可以很好的把握.以上我們討論探究了在高考中的正態(tài)分布問題，針對正態(tài)分布在高考中的問題，我們大致提供了三種正態(tài)分布問題的解法，第一種是在高考中考查正態(tài)分布的對稱性，第二種是在高考中考查正態(tài)分布的原則，最后一種就是在高考中考查一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，正態(tài)分布本身的內(nèi)容比較簡單，也沒有很多的知識點(diǎn)，所以在考查正態(tài)分布時(shí)，出的題也不會特別難，所以需要高三考生熟記有關(guān)正態(tài)分布的知識，在做題時(shí)認(rèn)真細(xì)心，冷靜的分析題目要求，按照不同的解法來解決有關(guān)正態(tài)分布的問題.結(jié)論

文章以正態(tài)分布的定義定理為出發(fā)點(diǎn)，闡述了正態(tài)分布的圖形及其圖形特征，最后結(jié)合近幾年的高考真題來進(jìn)一步的分析近年來正態(tài)分布在高考中的熱點(diǎn)趨勢，并對在高考中考查到的有關(guān)正態(tài)分布的題的解法進(jìn)行分類歸納總結(jié)